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Moment cinétique en mécanique quantique : Le moment cinétique orbital, l'atome d'hydrogène
Moment cinétique en mécanique quantique/Le moment cinétique orbital, l'atome d'hydrogène », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On étudie ici l'opérateur moment cinétique orbital
. Cette étude est particulièrement intéressante car elle s'applique à toutes les molécules, nous en verrons une application aux particules dans un potentiel central, et en particulier au potentiel coulombien pour l'électron dans la molécule d'hydrogène.
On montre qu'en coordonnées sphériques
(choix naturel vu l’application à l'étude des potentiels centraux), les opérateurs
ne font pas intervenir la variable
. On va donc chercher les fonctions propres de
et
sous la forme suivante :

Les fonctions
sont appelées harmoniques sphériques (où l’on note
pour le moment cinétique orbital), et
est une fonction quelconque.
Par définition,
est fonction propre de
et
, donc les harmoniques sphériques sont solutions des équations différentielles :
- On a d’abord

Or
doit être invariante par rotation de
par rapport à la variable
(ici le choix des axes est arbitraire), on en déduit directement :
Propriété

et

sont toujours entiers.
- En utilisant les opérateurs
, on montre que les
vérifient les équations :
On en déduit (pour
) :
Propriété

où les
sont les fonctions de Legendre définies par
.
Dans ce cas,
, et on montre qu'alors
et
commutent. Les fonctions d'ondes stationnaires (solutions de l'équation de Schrödinger et donc fonctions propres de
) sont donc aussi fonctions propres de
, c'est-à-dire de la forme
. L'étude précédente nous permet donc réduire le problème à la recherche de la fonction
d'une seule variable.
En coordonnées sphériques, on a
, l'équation de Schrödinger stationnaire s'écrit donc :
On remarque qu'on a une équation pour chaque valeur de
, on note donc
l'énergie associée à la fonction radiale
(
désigne un indice en cas de dégénérescence). On pose
, on a alors :
Équation de Schrödinger
