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Moment cinétique en mécanique quantique : Le moment cinétique orbital, l'atome d'hydrogène
Moment cinétique en mécanique quantique/Le moment cinétique orbital, l'atome d'hydrogène », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On étudie ici l'opérateur moment cinétique orbital . Cette étude est particulièrement intéressante car elle s'applique à toutes les molécules, nous en verrons une application aux particules dans un potentiel central, et en particulier au potentiel coulombien pour l'électron dans la molécule d'hydrogène.
Étude générale de , harmoniques sphériques[modifier | modifier le wikicode]
On montre qu'en coordonnées sphériques (choix naturel vu l’application à l'étude des potentiels centraux), les opérateurs ne font pas intervenir la variable . On va donc chercher les fonctions propres de et sous la forme suivante :
Les fonctions sont appelées harmoniques sphériques (où l’on note pour le moment cinétique orbital), et est une fonction quelconque.
Par définition, est fonction propre de et , donc les harmoniques sphériques sont solutions des équations différentielles :
- On a d’abord
Or doit être invariante par rotation de par rapport à la variable (ici le choix des axes est arbitraire), on en déduit directement :
Propriété
et sont toujours entiers.
- En utilisant les opérateurs , on montre que les vérifient les équations :
On en déduit (pour ) :
Propriété
où les sont les fonctions de Legendre définies par .
Dans ce cas, , et on montre qu'alors et commutent. Les fonctions d'ondes stationnaires (solutions de l'équation de Schrödinger et donc fonctions propres de ) sont donc aussi fonctions propres de , c'est-à-dire de la forme . L'étude précédente nous permet donc réduire le problème à la recherche de la fonction d'une seule variable.
En coordonnées sphériques, on a , l'équation de Schrödinger stationnaire s'écrit donc :
On remarque qu'on a une équation pour chaque valeur de , on note donc l'énergie associée à la fonction radiale ( désigne un indice en cas de dégénérescence). On pose , on a alors :
Équation de Schrödinger