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Moment cinétique en mécanique quantique/Le moment cinétique orbital, l'atome d'hydrogène

Leçons de niveau 16
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Le moment cinétique orbital, l'atome d'hydrogène
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Chapitre no 3
Leçon : Moment cinétique en mécanique quantique
Chap. préc. :Base des états propres
Chap. suiv. :Le spin ½
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On étudie ici l'opérateur moment cinétique orbital . Cette étude est particulièrement intéressante car elle s'applique à toutes les molécules, nous en verrons une application aux particules dans un potentiel central, et en particulier au potentiel coulombien pour l'électron dans la molécule d'hydrogène.

Étude générale de , harmoniques sphériques[modifier | modifier le wikicode]

On montre qu'en coordonnées sphériques (choix naturel vu l’application à l'étude des potentiels centraux), les opérateurs ne font pas intervenir la variable . On va donc chercher les fonctions propres de et sous la forme suivante :

Les fonctions sont appelées harmoniques sphériques (où l’on note pour le moment cinétique orbital), et est une fonction quelconque.

Par définition, est fonction propre de et , donc les harmoniques sphériques sont solutions des équations différentielles :

  • On a d’abord

Or doit être invariante par rotation de par rapport à la variable (ici le choix des axes est arbitraire), on en déduit directement :

  • En utilisant les opérateurs , on montre que les vérifient les équations :

On en déduit (pour ) :

où les sont les fonctions de Legendre définies par .

Particule dans un potentiel central[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce cas, , et on montre qu'alors et commutent. Les fonctions d'ondes stationnaires (solutions de l'équation de Schrödinger et donc fonctions propres de ) sont donc aussi fonctions propres de , c'est-à-dire de la forme . L'étude précédente nous permet donc réduire le problème à la recherche de la fonction d'une seule variable.

En coordonnées sphériques, on a , l'équation de Schrödinger stationnaire s'écrit donc :


On remarque qu'on a une équation pour chaque valeur de , on note donc l'énergie associée à la fonction radiale ( désigne un indice en cas de dégénérescence). On pose , on a alors :

L'atome d'hydrogène et hydrogénoïdes[modifier | modifier le wikicode]