Leçons de niveau 16

Moment cinétique en mécanique quantique/Composition de deux moments cinétiques

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Composition de deux moments cinétiques
Icône de la faculté
Chapitre no 5
Leçon : Moment cinétique en mécanique quantique
Chap. préc. :Le spin ½
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Moment cinétique en mécanique quantique : Composition de deux moments cinétiques
Moment cinétique en mécanique quantique/Composition de deux moments cinétiques
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Lorsqu'on étudie un système constitué de plusieurs particules, auxquelles sont associés des opérateurs moment cinétique , il peut être intéressant de considérer le moment cinétique total .

Le but de ce chapitre est de faire le lien entre les éléments propres des différents moments cinétiques et ceux du moment cinétique total, dans le cas de l'addition de deux moments cinétique, en traitant d’abord le cas simple de deux spins 1/2. Nous verrons enfin les applications de cette opération.

Un cas simple : composition de deux spins ½[modifier | modifier le wikicode]

On s'intéresse ici à la diagonalisation de l'opérateur et sont des moments cinétiques vérifiant , et donc .

Notations[modifier | modifier le wikicode]

Pour alléger les notations, on pose pour les kets de  :



On veut trouver une nouvelle base de qui diagonalise et , on utilise les notations :



La base constituée des kets est appelée base découplée, celle constituée des kets base couplée.

Calcul[modifier | modifier le wikicode]

L'action de et de sur les kets de la base découplée se fait selon les règles de calcul dans un espace produit tensoriel, par exemple, on a

Or

et de même

d'où finalement :

Tous calculs effectués, on obtient les matrices suivantes (en rangeant les kets de la base découplée selon ) :

On voit directement les valeurs propres de  : et une valeur propre de  : soit . Il reste a diagonaliser la sous-matrice 2x2 suivante :

.

Ce calcul ne pose pas de problème, on trouve les valeurs propres associée au ket propre normalisé et associé au ket propre .

Résultats[modifier | modifier le wikicode]

La base couplée s'écrit , et les relations avec la base découplée sont :

Pour , on a 3 kets propres différents, on parle d'état triplet, alors que pour , on a un seul ket propre, on parle d'état singulet.

Cas général[modifier | modifier le wikicode]

Dans le cas général, l'espace des états associé à une particule n’est pas forcément de dimension 2, et donc le problème est beaucoup plus complexe. On ne pourra pas avoir une expression des nouveaux kets propres (de la base couplée) en fonction de ceux de la base découplée comme dans le paragraphe précédent, mais on peut toujours avoir accès aux valeurs propres, et caractériser les kets propres.

Notations[modifier | modifier le wikicode]

On note les kets de . On se place à fixés, il n'est donc pas nécessaire de tenir compte de ces nombres dans les notations : on pose pour les kets de la base découplée de , et pour ceux de la base couplée.





Dans le paragraphe suivant, on va chercher à déterminer les valeurs possibles de et de .

Détermination des valeurs propres[modifier | modifier le wikicode]

On remarque que l’on a simplement , donc les valeurs propres de sont nécessairement de la forme .

Or on a la condition , on en déduit les valeurs possibles pour  : . On a vu que prenait toutes les valeurs (entières ou demi entières, par saut d'une unité) entre et , donc réciproquement est la plus grande valeur de , c'est-à-dire .

D'autre part, le calcul (dont un exemple est brièvement présenté au paragraphe suivant) donne .

On retient :



Détermination des kets propres[modifier | modifier le wikicode]

Pour éviter les confusions, on note ici les kets de la base découplée, et ceux de la base couplée.

On cherche à caractériser les espaces .

On peut dénombrer les kets de la base découplée qui vérifient les conditions précédentes, c'est-à-dire dénombrer les couples qui vérifient , pour une valeur de fixée entre et  :


  • est réalisée 1 fois, pour , soit pour le ket .
  • est réalisée 2 fois, pour et . Pour trouver les kets couplés correspondants (c'est-à-dire trouver , puisqu'on sait déjà que ), il faut calculer l'image des kets découplés correspondants par l'opérateur  :

On cherche ensuite tel que , et on trouve les deux solutions et .

Pour , on a donc un ket de et un ket de .


  • En raisonnant de même pour tout , on montre qu’il y a un unique ket , un unique , jusqu'à .


Ainsi, prend toutes les valeurs entre et , par saut d'une unité, et pour chacune de ces valeurs, il y a un espace .

On peut résumer cette propriété dans la tableau suivant :

Applications[modifier | modifier le wikicode]