Moment cinétique en mécanique quantique/Base des états propres

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D'après les postulats de la mécanique quantique, la mesure d'une grandeur physique correspond à une valeur propre de l'opérateur associé. On va donc chercher dans ce chapitre à déterminer la forme des valeurs propres d'un moment cinétique.

Notations

Par convention, la composante $J_{z}~$ est étudiée préférentiellement, et on note ses valeurs propres $m\hbar$, où $\hbar ~$ est la constante de Planck réduite, et $m~$ est un nombre sans dimension (réel puisque $J_{z}~$ est hermitien).

D'autre part, on veut avoir des informations sur la norme du moment cinétique, on va donc aussi chercher à déterminer les valeurs propres de $\mathbf {J} ^{2}$, que l’on notera $j(j+1)\hbar ^{2}$ (avec $j~$ réel positif et sans dimension).

Les opérateurs $\mathbf {J} ^{2}$ et $J_{z}~$ commutent, ils sont donc diagonalisables dans la même base. On note alors $|j,m,k\rangle ~$ leurs kets propres communs ($k~$ désignant un indice - discret ou continu - en cas de dégénérescence d'un niveau caractérisé par $(j,m)~$) :

Définition

$J_{z}~|j,m,k\rangle =m\hbar ~|j,m,k\rangle$

$\mathbf {J} ^{2}~|j,m,k\rangle =j(j+1)\hbar ^{2}~|j,m,k\rangle$

On utilisera aussi les opérateurs (non hermitiens a priori) $J_{+}~$ et $J_{-}~$ définis par :

$J_{+}=J_{x}+iJ_{y}~$

$J_{-}=J_{x}-iJ_{y}~$

Propriétés

Les trois résultats suivants permettent de caractériser $m~$ et $j~$ :

Propriété

On a l'encadrement $-j\leq m\leq j~$

Propriété

• $m=-j~~\Rightarrow ~~J_{-}~|j,-j,k\rangle =0$
• $m>-j~~\Rightarrow ~~J_{-}~|j,m,k\rangle$ est ket propre de $\mathbf {J} ^{2}$ avec la valeur propre $j(j+1)\hbar ^{2}$ et de $J_{z}~$ avec la valeur propre $(m-1)\hbar ~$.

Propriété

• $m=j~~\Rightarrow ~~J_{+}~|j,j,k\rangle =0$
• $m<j~~\Rightarrow ~~J_{+}~|j,m,k\rangle$ est ket propre de $\mathbf {J} ^{2}$ avec la valeur propre $j(j+1)\hbar ^{2}$ et de $J_{z}~$ avec la valeur propre $(m+1)\hbar ~$.

On en déduit l'action de $J_{+}~$ et $J_{-}~$ sur les kets étudiés :

Propriété

$J_{+}~|j,m,k\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m+1)}}~|j,m+1,k\rangle$ tant que $m<j~$

$J_{-}~|j,m,k\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m-1)}}~|j,m-1,k\rangle$ tant que $m>-j~$

Conclusion

Ces propriétés permettent de montrer (par un raisonnement assez simple) que le nombre $j~$ est nécessairement entier ou demi entier, ce qui justifie la notation utilisée. Selon les cas, sa valeur peut varier ou rester fixe. S'il s'agit d'un moment cinétique de spin, la valeur de $j~$ (souvent noté $s~$) est une caractéristique intrinsèque de la particule étudiée (on parle par exemple du spin 1/2 de l'électron), alors que s'il s'agit du moment cinétique orbital, la valeur de $j~$ (souvent noté $l~$) caractérise l'état de la particule, par exemple pour l'électron $l~$ est le deuxième nombre quantique, utilisé pour représenter la configuration électronique d'un atome (numéro de la sous couche dans laquelle se trouve l'électron).

En revanche, le nombre $m~$ varie et peut toujours prendre toutes les valeurs permises, c'est-à-dire comprises entre $-j~$ et $j~$, et variant par sauts d'une unité. Par exemple, si on étudie une particule de spin 1/2, $m\in \lbrace -1/2,+1/2\rbrace$ (pour un électron dans un atome il s'agit du troisième nombre quantique, dit de moment magnétique), et si on étudie une particule de spin 1 (photon), $m\in \lbrace -1,0,+1\rbrace$.

On organise donc d’abord l'espace des états $E~$ en sous-espaces $E(j,m)=Vect(|j,m,k\rangle )$ où $j~$ et $m~$ sont fixés, et $k~$ peut varier a priori.

Ces sous-espaces sont de dimensions variables, et ne sont donc pas pratiques à manipuler en général, on préfère organiser l'espace total comme somme des sous-espaces $E(j,k)=Vect(|j,m,k\rangle ,m=-j..j)$ où $j~$ et $k~$ sont fixés, et $m~$ varie de $-j~$ à $j~$. Chacun de ces sous-espace est de dimension $2j+1~$. De plus, $E(j,k)~$ se construit simplement par application des opérateurs $J_{+}~$ ou $J_{-}~$ à parti d'un ket $|j,m,k\rangle$ connu, grâce aux formules :

$|j,m+1,k\rangle ={\frac {1}{\sqrt {j(j+1)-m(m+1)}}}J_{+}~|j,m,k\rangle$

$|j,m-1,k\rangle ={\frac {1}{\sqrt {j(j+1)-m(m-1)}}}J_{-}~|j,m,k\rangle$