Moment cinétique en mécanique quantique/Définition et exemples

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Le moment cinétique orbital

En mécanique classique, le moment cinétique est défini par ${\vec {\mathcal {L}}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}$, on définit donc de même en mécanique quantique l'opérateur moment cinétique, dit orbital, par

$\mathbf {L} =\mathbf {R} \times \mathbf {P}$

Soit, composante par composante,

$L_{x}=Y\cdot P_{z}-Z\cdot P_{y}$

$L_{y}=Z\cdot P_{x}-X\cdot P_{z}$

$L_{z}=X\cdot P_{y}-Y\cdot P_{x}$

Remarque : On peut définir $\mathbf {L}$ ainsi, sans avoir à symetriser l'expression, c'est-à-dire à poser $\mathbf {L} ={\frac {1}{2}}\mathbf {R} \times \mathbf {P} -{\frac {1}{2}}\mathbf {P} \times \mathbf {R}$, car les différentes composantes commutent ($[R_{i},P_{j}]=0~$ pour $i\not =j$). En effet, on peut se persuader après calcul que : $\mathbf {L} =-\mathbf {P} \times \mathbf {R}$ ( Attention au symbole × qui ne fait pas référence à une multiplication, mais à un produit vectoriel étendu à des observables )

De même qu'en mécanique classique, cet opérateur est très utile, en effet on peut parfois exprimer l'hamiltonnien en fonction de $\mathbf {L}$, et par exemple trouver des méthodes de résolution de l'équation de Schrödinger.

Définition générale

On remarque (par un calcul facile de commutateurs) que les composantes du moment cinétique orbital vérifient les relations de commutation suivantes :

$[L_{x},L_{y}]=i\hbar L_{z}$

$[L_{y},L_{z}]=i\hbar L_{x}$

$[L_{z},L_{x}]=i\hbar L_{y}$

On verra par la suite (cf. chapitre 2) que ces relations suffisent à déterminer la forme des valeurs propres des ces trois opérateurs. On définit donc un moment cinétique de manière générale :

Définition

Un opérateur hermitien $\mathbf {J} =(J_{x},J_{y},J_{z})$ est appelé moment cinétique si ses composantes vérifient les relations :

$[J_{x},J_{y}]=i\hbar J_{z}$

$[J_{y},J_{z}]=i\hbar J_{x}$

$[J_{z},J_{x}]=i\hbar J_{y}$

On définit de plus l'opérateur norme au carré du moment cinétique par :

$\mathbf {J} ^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}$

et on vérifie que cet opérateur commute avec les composantes de $\mathbf {J}$