Module sur un anneau/Exercices/Modules libres

Exercice 1

Soient $A$ un anneau intègre et $M$ un $A$-module. Un vecteur $m\in M$ est dit de torsion s'il existe un scalaire $a\in A$ non nul tel que $am=0$.

Montrer que l'ensemble $\operatorname {Tor} _{A}(M)$ des éléments de torsion de $M$ est un sous-module.

Solution

$\operatorname {Tor} _{A}(M)$ est évidemment stable pour la loi externe et contient le vecteur nul. Il est aussi stable par addition car si $ax=by=0$ avec ($a,b\in A$ non nuls et $x,y\in M$) alors $ab(x+y)=0$ et (puisque $A$ est intègre) $ab\neq 0$.

 

Exercice 2

Soient $A$ un anneau principal et $M$ un $A$-module sans torsion (c'est-à-dire tel que le sous-module $\operatorname {Tor} _{A}(M)$ soit réduit au vecteur nul). Montrer que si $M$ est de type fini, alors il est libre de rang fini.

Solution

Soit $(m_{1},\dots ,m_{n})$ une famille génératrice de $M$.

On en extrait une famille libre maximale, que l'on peut supposer être être $(m_{1},\dots ,m_{k})$ (quitte à renuméroter) et l'on pose $N:=\oplus _{i=1}^{k}Am_{i}$.

Pour tout $i$ de $k+1$ à $n$, il existe $a_{i}\neq 0$ tel que $a_{i}m_{i}\in N$. En posant $a$ égal au produit des $a_{i}$, on obtient $aM\subset N$, donc $aM$ est libre de rang $r\leq k$, si bien que $M$, qui lui est isomorphe, est aussi libre de rang $r$ (et même, finalement, $r=k$).

Autre méthode : d'après le théorème de classification, $M\simeq A^{r}\oplus \bigoplus _{k=1}^{s}A/d_{i}A$ avec $d_{1},\dots ,d_{s}\in A^{*}$ et comme $M$ est sans torsion, $s=0$.

 

Exercice 3

Soient $A$ un anneau principal et $M$ un $A$-module de type fini. Montrer que $M\simeq A^{r}\oplus \operatorname {Tor} _{A}(M)$ pour un certain $r\in \mathbb {N}$.

Solution

Le $A$-module quotient $M/\operatorname {Tor} _{A}(M)$ est de type fini et sans torsion, donc isomorphe à $A^{r}$ pour un certain $r\in \mathbb {N}$ d'après l'exercice précédent. Soit $({\bar {m}}_{1},\dots ,{\bar {m}}_{r})$ une base de ce quotient. Alors, $(m_{1},\dots ,m_{r})$ est libre, en particulier $\langle m_{1},\dots nm_{r}\rangle \cap \operatorname {Tor} _{A}(M)=\{0\}$. Ceci permet d'obtenir la surjectivité du morphisme suivant, qui est l'isomorphisme recherché : $M\to A^{r}\oplus \operatorname {Tor} _{A}(M),\;m\mapsto (a_{1},\dots ,a_{r},g-\sum a_{i}m_{i})$, où ${\bar {m}}=\sum a_{i}{\bar {m}}_{i}$.

Autre méthode : d'après le théorème de classification, $M\simeq A^{r}\oplus \bigoplus _{k=1}^{s}A/d_{i}A$ avec $d_{1},\dots ,d_{s}\in A^{*}$, et $\operatorname {Tor} _{A}(M)=\bigoplus _{k=1}^{s}A/d_{i}A$.