Module sur un anneau/Exercices/Modules libres

Leçons de niveau 16
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Modules libres
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Exercices no1
Leçon : Module sur un anneau

Exercices de niveau 16.

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Module sur un anneau/Exercices/Modules libres
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

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Wikipédia possède un article à propos de « Torsion (algèbre) ».

Soient un anneau intègre et un -module. Un vecteur est dit de torsion s'il existe un scalaire non nul tel que .

Montrer que l'ensemble des éléments de torsion de est un sous-module.

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Soient un anneau principal et un -module sans torsion (c'est-à-dire tel que le sous-module soit réduit au vecteur nul). Montrer que si est de type fini, alors il est libre de rang fini.

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Soient un anneau principal et un -module de type fini. Montrer que pour un certain .