Module sur un anneau/Exercices/Modules de type fini

Exercice 1

Soient $A$ un anneau commutatif (unitaire) et $R$ son radical de Jacobson. On rappelle que $R$ est un idéal de $A$ et que pour tout $r\in R$, $1-r$ est inversible dans $A$.

Soit $M$ un $A$-module. On note $RM$ le sous-module des éléments de la forme $\sum _{i=1}^{s}r_{i}m_{i}$ avec $r_{i}\in R$ et $m_{i}\in M$.

1. Montrer que pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$ et tous $m_{1},\dots ,m_{n}\in M$, si $m_{n}\in \sum _{i=1}^{n}Rm_{i}$ alors $m_{n}\in \sum _{i=1}^{n-1}Rm_{i}$.
2. En déduire que si $M$ est de type fini et $M\subset RM$ alors $M=\{0\}$.

Solution

1. Soient $r_{1},\dots ,r_{n}\in R$ tels que $m_{n}\in \sum _{i=1}^{n}r_{i}m_{i}$. Alors, $(1-r_{n})m_{n}\in \sum _{i=1}^{n-1}Rm_{i}$ donc (en multipliant par l'inverse de $1-r_{n}$) on a bien $m_{n}\in \sum _{i=1}^{n-1}Rm_{i}$.
2. D'après la question 1, si $M\subset RM$ et si $M$ est engendré par $n$ éléments (avec $n>0$) alors il est engendré par $n-1$ éléments. Par récurrence descendante, il est donc engendré par 0 élément, c'est-à-dire qu'il est nul.