En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Valeur acquise d'une suite de versements en progression arithmétique Mathématiques financières/Exercices/Valeur acquise d'une suite de versements en progression arithmétique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On considère une suite de versements sur un compte rémunéré à un taux constant mais le montant des versements, au lieu d'être fixe, est en progression arithmétique.
Les données du problèmes sont illustrées par l'exemple suivant : une personne place de l'argent sur un compte d'épargne rémunéré à 5 % l'an. Elle verse 1 000 € la première année et augmente chaque versement ultérieur de 50 €. Les 5 premiers versements sont donc de 1 000 €, 1 050 €, 1 100 €, 1 150 € et 1 200 €. De quelle somme disposera-t-elle quand le cinquième versement sera effectué ? Dans cet exemple simple, il suffit de capitaliser 4 fois 1 000 €, 3 fois 1 050 €, 2 fois 1 100 €, une seule fois 1 150 € et aucune fois 1 200 €, ce qui donne donc :
Revenons au cas général. On notera le montant du premier versement, la raison de la suite arithmétique des versements, et l'on cherche à calculer la valeur totale acquise lors du -ième versement. Cette somme est illustrée sur le schéma suivant :
Les paramètres sont donc , et mais au cours des calculs, on allègera les notations en posant .
Démontrer que .
On pose . Vérifier que la suite est géométrique de raison .
En calculant de deux façons la somme , en déduire l'expression de en fonction de et des paramètres.
Vérifier la formule obtenue, sur l'exemple donné en introduction.
Que donne cette même formule si ?
Solution
et .
.
est égal d'une part (par définition) à et d'autre part (d'après la question précédente) à , donc .
.
Si , on retrouve la formule du cours pour la valeur acquise par versements constants : .