Leçons de niveau 13

Mathématiques financières/Exercices/Valeur acquise d'une suite de versements en progression arithmétique

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Valeur acquise d'une suite de versements en progression arithmétique
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Exercices no1
Leçon : Mathématiques financières

Exercices de niveau 13.

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Mathématiques financières/Exercices/Valeur acquise d'une suite de versements en progression arithmétique
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On considère une suite de versements sur un compte rémunéré à un taux constant mais le montant des versements, au lieu d'être fixe, est en progression arithmétique.

Les données du problèmes sont illustrées par l'exemple suivant : une personne place de l'argent sur un compte d'épargne rémunéré à 5 % l'an. Elle verse 1 000  la première année et augmente chaque versement ultérieur de 50 . Les 5 premiers versements sont donc de 1 000 , 1 050 , 1 100 , 1 150  et 1 200 . De quelle somme disposera-t-elle quand le cinquième versement sera effectué ? Dans cet exemple simple, il suffit de capitaliser 4 fois 1 000 , 3 fois 1 050 , 2 fois 1 100 , une seule fois 1 150  et aucune fois 1 200 , ce qui donne donc :

1 215,506 25 + 1 215,506 25 + 1 212,75 + 1 207,5 + 1 200 = 6 051,2625 soit 6 051,26 .

Revenons au cas général. On notera le montant du premier versement, la raison de la suite arithmétique des versements, et l'on cherche à calculer la valeur totale acquise lors du -ième versement. Cette somme est illustrée sur le schéma suivant :

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Les paramètres sont donc , et mais au cours des calculs, on allègera les notations en posant .

  1. Démontrer que .
  2. On pose . Vérifier que la suite est géométrique de raison .
  3. En calculant de deux façons la somme , en déduire l'expression de en fonction de et des paramètres.
  4. Vérifier la formule obtenue, sur l'exemple donné en introduction.
  5. Que donne cette même formule si  ?