Mathématiques en terminale générale/Devoir/Polynômes, logarithmes, intégrales et suites

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1°  Pour tout naturel $n\geqslant 2$, on note $Q_{n-2}$ la fonction polynôme définie sur $\mathbb {R}$ par :

$Q_{n-2}(t)=1-t+t^{2}-t^{3}+\cdots +(-1)^{n-2}t^{n-2}$.

a)  Montrez que pour tout réel $t\neq -1$.

$Q_{n-2}(t)={\frac {1-(-t)^{n-1}t^{n-1}}{1+t}}$

b)  Déduisez-en que pour tout réel $t\neq -1$:

${\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-t^{3}+\cdots +(-1)^{n-2}t^{n-2}+(-1)^{n-1}{\frac {t^{n-1}}{1+t}}$

c)  Déduire de la question précédente, par intégration, que pour tout $x\in [0;\,1]$ :

$\ln(1+x)=P_{n-1}(x)+(-1)^{n-1}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n-1}}{1+t}}\,\mathrm {d} t\qquad$ [A]

où l'on a posé $P_{n-1}(x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+\cdots +(-1)^{n-2}{\frac {x^{n-1}}{n-1}}$

2°  On note $f$ la fonction définie sur $]0;\,1]$ par $f(0)=1$ et $f(x)={\frac {\ln(1+x)}{x}}$ lorsque $x\neq 0$.

a)  Montrez que pour tout réel $x>0,\,x-\ln(1+x)>0$, et déduisez-en que pour tout $x$ dans $[0;\,1],\,f(x)\leqslant 1$.

b)  Montrez que pour tout naturel $n$ non nul,

$0\leqslant \int _{0}^{\frac {1}{n}}f(x)\,\mathrm {d} x\leqslant {\frac {1}{n}}$,

et déduisez-en que $\lim _{n\to \infty }\left(\int _{0}^{\frac {1}{n}}f(x)\,\mathrm {d} x\right)=0$

c)  Montrez que $\lim _{n\to \infty }\left(\int _{\frac {1}{n}}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x\right)=\int _{0}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x$

Retrouvez ce résultat en utilisant une primitive $F$ de $f$.

(Il est inutile de calculer $F$.)

3°  a)  Montrez que pour tout $x$ dans $[0;\,1]$,

$\int _{0}^{x}{\frac {t^{n-1}}{1+t}}\,\mathrm {d} t\leqslant \int _{0}^{x}t^{n-1}\,\mathrm {d} t,\quad (n\geqslant 2)$,

puis déduisez-en que $\int _{0}^{x}{\frac {t^{n-1}}{1+t}}\,\mathrm {d} t\leqslant {\frac {1}{n}}$.

b)  En utilisant la relation [A] de la première question, montrez que pour tout $x$ dans $]0;\,1]$,

$-{\frac {1}{nx}}\leqslant f(x)-{\frac {P_{n-1}(x)}{x}}\leqslant {\frac {1}{nx}}$.

c)  Par intégration, montrez que :

$\left(\int _{\frac {1}{n}}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x\right)+{\frac {1}{n}}\ln {\frac {1}{n}}+S_{n}\left({\frac {1}{n}}\right)\leqslant S_{n}(1)\leqslant \left(\int _{\frac {1}{n}}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x\right)-{\frac {1}{n}}\ln {\frac {1}{n}}+S_{n}\left({\frac {1}{n}}\right)\qquad$ [B],

dans laquelle on a posé :

$S_{n}(x)=x-{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {x^{3}}{3^{2}}}-\cdots +(-1)^{n-2}{\frac {x^{n-1}}{(n-1)^{2}}}\quad (n\geqslant 2)$.

d)  Montrez que pour tout naturel $p$ et tout $x$ dans $[0;\,1]$,

${\frac {x^{p}}{p^{2}}}\geqslant {\frac {x^{p+1}}{(p+1)^{2}}}$

Déduisez-en que pour tout $n\geqslant 2$, tout $x$ dans $[0;\,1]$,

$S_{n}(x)\geqslant 0$.

e)  Montrez que $S_{n}(x)\leqslant x$, et donc que $0\leqslant S_{n}(x)\leqslant x$.

f)  Calculez $\lim _{n\to \infty }S_{n}\left({\frac {1}{n}}\right)$, puis déduisez-en que que :

$\lim _{n\to \infty }S_{n}(1)=\int _{0}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x$.

4°  a)  En regroupant convenablement les termes de la somme :

$S_{n}(1)=1-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-\cdots +(-1)^{n-2}{\frac {1}{(n-1)^{2}}}$,

Montrez que pour tout $n\geqslant 5$:

$1-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}\leqslant S_{n}(1)\leqslant 1-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}$.

b)  Déduisez-en un encadrement de $\int _{0}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x$.

Corrigé

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