Mathématiques en terminale générale/Devoir/Fonctions irrationnelles, formule du binôme et complexes

Le programme français qui a guidé l'écriture de cette page a fait l'objet d'une réforme en 2019. Ce cours ne répond plus aux attendus du Ministère de l'Éducation nationale (source).

Vous êtes invité à créer un nouveau cours (aide) et de nouvelles leçons (aide) conformes au nouveau programme. En cas de doute, discutez-en (février 2021).
Une liste de cours conformes à d'anciens programmes français est disponible ici : Catégorie:Anciens programmes.

1°  On considère la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par :

$f(x)=x+\sqrt{1+x^2}$

a)  Montrez que pour tout réel $x$,

$\sqrt{1+x^2}>|x|$

et déduisez-en le signe de $f(x)$.

b)  Étudiez cette fonction et tracez sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(0;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

2°  On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par :

$g(x)=\frac{x^2-1}{2x}$.

Vérifiez que pour tout réel $x,g(f(x))=x$, et que pour tout réel $x>0,f(g(x))=x$.

3°  On considère la fonction $h$ définie par :

$h(u)=\frac{1}{2}(u+\frac{1}{u})$

Dressez le tableau de variation de $h$, précisez les limites aux bornes de son ensemble de définition.

4°  $n$ est un naturel.

On considère la fonction $P_n$ definie sur $ℝ$ par :

$P_n(x)=\frac{1}{2}({(x+\sqrt{1+x^2})}^n+{(x-\sqrt{1+x^2})}^n)$

a)  Montrez que $P_n$ est un polynôme.

Précisez son degré.

b)  Comparez, pour tout réel $x,P_n(x)$ et $P_n(-x)$.

5°  On note $\phi$ le polynôme $x\mapsto x^n$.

Montrez que suivant la parité de $n$,

$P_n=h\circ \phi \circ f$ ou $P_n=g\circ \phi \circ f$

Déduisez-en le tableau de variation de $P_n$.

6°  On suppose dans cette question que $n$ est un naturel pair non nul.

a)  $m$ est un réel donné.

Discutez, suivant le choix de $m$, le nombre de racines réelles de l'équation $P_n(x)=m$.

b)  $\lambda$ est un réel donné strictement compris entre $0$ et $\frac{\pi }{2}$.

Résolvez dans $ℂ$ l'équation :

$\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})=\cos \lambda$.

Déduisez-en les solutions complexes de l'équation :

$\frac{1}{2}(z^n+\frac{1}{z^n})=\cos \lambda$(E).

Pour chacune des racines $z$ de l'équation (E), calculez $x=\frac{1}{2}(z-\frac{1}{z})$, puis calculez $P_n(x)$

(On note encore $P_n$ le prolongement à $ℂ$ du polynôme défini à la question 4°).

'Corrigé'

Le corrigé de ce devoir n'a pas été rédigé. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}