Le programme français qui a guidé l'écriture de cette page a fait l'objet d'une réforme en 2019. Ce cours ne répond plus aux attendus du Ministère de l'Éducation nationale (source).
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est la fonction définie par :
— Ⅰ —
1°a) Prouvez que est définie sur l'intervalle .
b) Étudiez la limite de en 0.
c) Étudiez la limite de en .
2° Étudiez le sens de variation de , puis tracez sa courbe dans un repère orthonormal (unité graphique : 3 cm).
3° est un réel strictement positif.
Calculez , puis .
— Ⅱ —
Dans cette partie, est un réel strictement positif.
1° Montrez que :
2° Montrez que :
,
et déduisez-en que :
.
— Ⅲ —
1° Montrez qu'il existe deux réels et tels que pour tout réel :
.
2° Pour tout naturel , on pose :
.
a) En utilisant la question 1°, simplifiez l'expression de .
b) Montrez que la suite est convergente et précisez sa limite.
3°a) Montrer que :
b) Trouvez la limite de la suite définie par :
4° est la suite définie par :
.
a) Vérifier que :
b) Déduisez-en que est convergente et précisez sa limite.
Corrigé
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