Mathématiques en terminale générale/Devoir/Fonctions puissances, exponentielles, intégrales et suites

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On note $f_{0}$ la fonction définie sur $[0;\,+\infty [$ par $f_{0}(x)=e^{-x}$, et pour tout réel $\alpha >0$, on note $f_{\alpha }$ la fonction définie sur $[0;\,+\infty [$ par $f_{\alpha }(x)=x^{\alpha }e^{-x}$ lorsque $x>0$ et $f_{\alpha }(0)=0$.

On note ${\mathcal {C}}_{\alpha }$ avec $\alpha \geqslant 0$, la courbe représentant $f_{\alpha }$ dans un repère orthonormal choisi (unité graphique de longueur : 5 cm).

— Ⅰ —

1°  Étudiez les fonctions $f_{0}$ et $f_{1}$, puis tracez ${\mathcal {C}}_{0}$ et ${\mathcal {C}}_{1}$ après avoir précisé la position de ${\mathcal {C}}_{0}$ par rapport à ${\mathcal {C}}_{1}$.

2°  a)  On suppose $\alpha >0$ et $\alpha \neq 1$. Montrez que :

$\lim _{x\to 0}f_{\alpha }(x)=f_{\alpha }(0)=0$

et que $f_{\alpha }$ est dérivable en zéro lorsque $\alpha <1$.

Dans ce dernier cas, vérifiez que l’axe des ordonnées est tangent à ${\mathcal {C}}_{\alpha }$ à l'origine du repère.

b)  Étudiez les variations de $f_{\alpha }$.

3°  a)  On suppose $\alpha >0$. Précisez les positions relatives des courbes ${\mathcal {C}}_{0}$ et ${\mathcal {C}}_{\alpha }$ restreintes à $]0;\,+\infty [$.

b)  $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels tels que $0<\alpha <\beta$.

Précisez les positions relatives des courbes ${\mathcal {C}}_{\alpha }$ et ${\mathcal {C}}_{\beta }$ restreintes à $]0;\,+\infty [$.

Prouvez que toutes les courbes ${\mathcal {C}}_{\alpha }$ passent par un même point et donnez une équation de la tangente à ${\mathcal {C}}_{\alpha }$ en ce point.

4°  Représentez les courbes ${\mathcal {C}}_{\frac {1}{2}}$ et ${\mathcal {C}}_{e}$.

— Ⅱ —

Dans cette partie, on suppose que $\alpha$ est un entier naturel, on pose alors $\alpha =n$.

On note $F_{n}$ la fonction définie sur $[0;\,+\infty [$ par :

$F_{n}=\int _{0}^{x}f_{n}(t)\,\mathrm {d} t$

1°  Quelle est la fonction dérivée de $F_{n}$ ?

2°  Calculez $F_{0}(x)$ et $F_{1}(x)$, puis étudiez la limite en $+\infty$ des fonctions $F_{0}$ et $F_{1}$.

3°  Montrez que :

$F_{n}(x)=-x^{n}e^{-x}+nF_{n-1}(x)$ pour tout $n\geqslant 1$, tout $x\geqslant 0$.

4°  a)  Montrez par récurrence que chaque fonction $F_{n}$ a une limite réelle en $+\infty$. On notera $u_{n}$ cette limite.

b)  Quelle relation existe-t-il entre $u_{n}$ et $u_{n-1}$ ? Déduisez-en la valeur de $u_{n}$ pour tout n.

5°  a)  Étudiez les variations de $F_{n}$ lorsque $n\neq 0$.

b)  Donnez l'allure de la courbe représentative $F_{3}$.

6°  a)  Montrez que pour tout $n\geqslant 1,\,{\frac {F_{n}(1)}{n!}}=-{\frac {e^{-1}}{n!}}+{\frac {F_{n-1}(1)}{(n-1)!}}$.

b)  Déduisez-en que pour tout n :

${\frac {F_{n}(1)}{n!}}=1-e^{-1}\left(\sum _{p=0}^{n}{\frac {1}{p!}}\right)$.

c)  En utilisant une majoration de $f_{n}(t)$ sur l'intervalle $[0;\,1]$, montrez que pour tout $n\geqslant 1,\,0\leqslant F_{n}(1)\leqslant e^{-1}$.

d)  Déduisez de b) et c) la limite de la suite $(s_{n})$ définie par $s_{n}=\sum _{p=0}^{n}{\frac {1}{p!}}$.

'Corrigé'

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