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Devoir : Logarithmes, exponentielles, suites et intégrales
Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithmes, exponentielles, suites et intégrales », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
— Ⅰ —
est la fonction définie sur l'intervalle par :
1° Étudiez la fonction .
2° Déduisez-en que pour tout réel ,
3° est la fonction définie sur par
- .
- a) Calculez et déduisez-en une primitive de sur .
- b) Calculez l'aire du domaine limité par la courbe représentant , l'axe des abscisses, et les droites d'équations .
4° Pour tout naturel , on pose :
- .
- Montrez que pour tout ,
— Ⅱ —
1° Montrez que pour tout
2° On donne réels strictement positifs .
- Montrer que :
- .
3° Montrez que l'intégrale est équivalente à :
— Ⅲ —
et sont les suites respectivement définies par :
.
1° Montrez que les suites et sont croissantes, convergentes, et que leurs limites respectives sont 1 et e.
- Déduisez-en que pour tout naturel .
2° En utilisant les inégalités et montrez que :
- pour tout .
3° Calculez l'intégrale :
- .
4° Montrez que pour tout , puis déduisez-en que est convergente et donnez sa limite.
Corrigé
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