Le programme français qui a guidé l'écriture de cette page a fait l'objet d'une réforme en 2019. Ce cours ne répond plus aux attendus du Ministère de l'Éducation nationale (source).
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— Ⅰ —
est la fonction définie par :
.
1° Montrez que est définie sur l'intervalle et que .
2° Étudiez la fonction , tracez la courbe représentant dans un repère orthonormal. Précisez la tangente à la courbe au point O, origine du repère.
— Ⅱ —
Le but de cette partie est d'étudier la primitive de sur qui s'annule en 1. On note cette primitive.
1° Écrivez sous forme d'une intégrale.
2° Déterminez le signe de selon les valeurs de .
3° Étudiez le sens de variation de .
4° Étudiez la limite de en zéro.
a) Justifiez que
b) Justifiez le résultat suivant : pour tout de .
c) Déduisez-en un encadrement de sur .
d) Montrez alors que est compris entre et .
5° Étude de la limite de en .
Montrez que pour tout , et déduisez-en la limite de en .
6° Le bur de cette question est d'encadrer la fonction par deux fonctions usuelles sur
a) Calculez lorsque .
Montrez que pour tout .
Déduisez-en que pour tout .
b) Calculez lorsque .
Montrez que pour tout .
c) On note l'amplitude de cet encadrement de .
Étudiez les variations de et commentez.
Corrigé
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