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Mathématiques en terminale générale/Devoir/Fonctions irrationnelles, formule du binôme et complexes

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Fonctions irrationnelles, formule du binôme et complexes
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Devoir no19
Cours : Mathématiques en terminale générale

Devoir de niveau 13.

Dev préc. :Logarithme, fonctions puissances, suites et intégrales
Dev suiv. :Polynômes, logarithmes, intégrales et suites
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Mathématiques en terminale générale/Devoir/Fonctions irrationnelles, formule du binôme et complexes
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 On considère la fonction définie sur par :

a)  Montrez que pour tout réel ,
et déduisez-en le signe de .
b)  Étudiez cette fonction et tracez sa courbe représentative dans un repère orthonormal .

 On considère la fonction définie sur par :

.
Vérifiez que pour tout réel , et que pour tout réel .

 On considère la fonction définie par :

Dressez le tableau de variation de , précisez les limites aux bornes de son ensemble de définition.

  est un naturel.

On considère la fonction definie sur par :
a)  Montrez que est un polynôme.
Précisez son degré.
b)  Comparez, pour tout réel et .

 On note le polynôme .

Montrez que suivant la parité de ,
ou
Déduisez-en le tableau de variation de .

 On suppose dans cette question que est un naturel pair non nul.

a)   est un réel donné.
Discutez, suivant le choix de , le nombre de racines réelles de l'équation .
b)   est un réel donné strictement compris entre et .
Résolvez dans l'équation :
.
Déduisez-en les solutions complexes de l'équation :
(E).
Pour chacune des racines de l'équation (E), calculez , puis calculez
(On note encore le prolongement à du polynôme défini à la question ).