Mécanique du solide/Exercices/Étude d'un anémomètre

Étude d'un anémomètre

Dans un anémomètre, l’ensemble mobile (S), en rotation autour de l'axe vertical ascendant Oz du repère galiléen orthonormé direct ${\mathcal {R}}$ = (Oxyz), est constitué d'un rotor et de trois pales identiques disposées à 120° l'une de l'autre (figures 1 et 2).

Figure 1 (perspective)	Figure 2 (dans le plan Oxy)

Le rotor est un cylindre, d'axe Oz, de rayon a et de centre d’inertie O.

Chaque pale est constituée d'une tige et d'une plaque. La figure 1 montre, en perspective, l'une d'elles qui est constituée par :

• une tige AB contenue dans le plan Oxy, de longueur a, soudée en A au rotor dans le prolongement du rayon OA (ainsi ${\overrightarrow {OA}}={\overrightarrow {AB}}$) ;
• une plaque $B'B''C''C'\!$, homogène, carrée de côté 2a, soudée à la tige en B ; les cotés $B'C'$ et $B''C''$ sont parallèles à la tige et les cotés $B'B''$ et $C''C''$, de milieux respectifs B et C, sont verticaux.

On note :

• M la masse totale de l’ensemble (S),
• ${\overrightarrow {g}}=-{\overrightarrow {gu}}_{z}$ l'accélération de la pesanteur (g constante positive),
• $\theta =({\overrightarrow {u}}_{x}$, ${\overrightarrow {AB}}$) l'angle définissant la position de (S) par rapport à ${\mathcal {R}}$,
• ${\overrightarrow {u}}_{r}={\frac {\overrightarrow {OA}}{a}}$ et ${\overrightarrow {u}}_{\theta }={\overrightarrow {u}}_{z}\land {\overrightarrow {u}}_{r}$
• J le moment d'inertie de l’ensemble mobile (S) par rapport à l'axe Oz.

La rotation de l’ensemble mobile est provoquée par un jet de fluide situé sur la droite x=2a du plan Oxy et orienté vers les y croissants. L'action de ce jet sur la plaque $B'B''C''C'\!$ est représentée, pour $-{\frac {\pi }{3}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{3}}$ par une force aérodynamique ${\overrightarrow {F}}$ :

${\overrightarrow {F}}=\lambda F_{0}\sin \theta {\overrightarrow {u}}_{r}+F_{0}\cos \theta {\overrightarrow {u}}_{\theta }$

s'appliquant au point M d'impact du jet sur cette plaque (cf. figure 2). F₀ et λ sont des constantes positives.

Il est tenu compte du frottement de (S) sur l'axe Oz selon 4 hypothèses :

• (H1) pas de frottement ;
• (H2) frottement solide : le moment en O de l'action de l'axe Oz sur (S) (action de liaison) est

${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{FS}=-f{\frac {a}{2}}\lambda F_{0}|\sin \theta |\,{\overrightarrow {u}}_{z}$

où f est une constante positive (coefficient de frottement solide) ;

• (H3) frottement visqueux : le moment en O de l'action de l'axe Oz sur (S) (action de liaison) est

${\mathcal {M}}_{FV}=-\alpha {\dot {\theta }}{\overrightarrow {u}}_{z}$

où α est une constante positive (coefficient de frottement visqueux).

• (H4) frottement solide (H2) et frottement visqueux (H3) : le moment en O de l'action de l'axe Oz sur (S) (action de liaison) est ${\mathcal {M}}_{FS}+{\mathcal {M}}_{FV}$.

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1. a. Calculer le moment en O de la force aérodynamique pour $-{\frac {\pi }{3}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{3}}$ par une force aérodynamique ${\overrightarrow {F}}$.

b. Montrer que ce moment est indépendant de la position de l’ensemble mobile (S).

2. a. Montrer que le centre d'inertie de l’ensemble mobile (S) est en O.

b. Déterminer la force la résultante ${\overrightarrow {R}}$ de l'action de l'axe Oz sur (S) (action de liaison) pour $-{\frac {\pi }{3}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{3}}$ par une force aérodynamique ${\overrightarrow {F}}$.

c. Représenter graphiquement la variation de la composante R_x de ${\overrightarrow {R}}$ sur ${\overrightarrow {R}}_{x}$ en fonction de θ pour une rotation de (S) d'un tour complet.

3. On se place dans l'hypothèse (H3).

Déterminer l’expression de la vitesse angulaire ${\dot {\theta }}_{t}$ en prenant comme condition initiale ${\dot {\theta }}(0)=0$.

4. On se place dans l’hypothèse (H4).

a. Établir l'équation différentielle vérifiée par ${\dot {\theta }}_{t}$.

b. Les conditions initiales du mouvement sont : $\theta (0)=\theta _{(0)},{\dot {\theta }}(0)=0$. Quelle condition, dépendant de λ et

$\theta _{0}$ , doit satisfaire le coefficient de frottement f pour qu’il y ait mise en mouvement de (S) ? Discuter cette

condition quand θ varie de $-{\frac {\pi }{3}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{3}}$ par une force aérodynamique ${\overrightarrow {F}}$.

5. Calculer la variation de ${\dot {\theta }}_{2}$ pour une rotation d'un tour complet de l’ensemble mobile (S).

a. dans l'hypothèse (H1) (pas de frottement) ;

b. dans l'hypothèse (H2) (frottement solide seul).

Solution

1. a. ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}({\overrightarrow {F}})={\overrightarrow {OM}}\land {\overrightarrow {F}}={\frac {2a}{\cos \theta }}{\overrightarrow {u_{r}}}\land {\big (}\lambda F_{O}\sin \theta {\overrightarrow {u_{r}}}+F_{0}\cos \theta {\overrightarrow {u_{\theta }}}{\big )}=2aF_{0}{\overrightarrow {u_{z}}}$

b. Pour $\theta \in {\bigg [}-{\frac {\pi }{3}},{\frac {\pi }{3}}{\bigg ]},{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}({\overrightarrow {F}})$ ne dépend pas de $\theta$ ; pour $\theta \in {\bigg [}{\frac {\pi }{3}},\pi {\bigg ]}$ et $\theta \in {\bigg [}-\pi ,-{\frac {\pi }{3}}{\bigg ]}$ une autre pale reçoit le jet mais le moment de la force aérodynamique est le même.

2. a. Oz est axe de symétrie d'ordre 3 pour (S) et Oxy est plan de symétrie pour (S), le centre d'inertie de (S) appartient donc à la fois à Oz et Oxy, c’est le point O.

b. TRC pour (S) :

$M{\overrightarrow {a_{O}}}=m{\overrightarrow {g}}+{\overrightarrow {F}}+{\overrightarrow {R}}$, avec ${\overrightarrow {a_{O}}}={\overrightarrow {O}}\Rightarrow {\overrightarrow {R}}=-M{\overrightarrow {g}}-{\overrightarrow {F}}=-Mg{\overrightarrow {u_{z}}}-\lambda F_{0}\sin \theta {\overrightarrow {u_{r}}}-F_{0}\cos \theta {\overrightarrow {u_{\theta }}}$

c. Pour $\theta \in {\bigg [}-{\frac {\pi }{3}},{\frac {\pi }{3}}{\bigg ]},R_{x}=F_{0}(1-\lambda )\sin \theta \cos \theta ={\frac {1}{2}}F_{0}(1-\lambda )\sin 2\theta$ ; par symétrie $R_{x}$ est une fonction de période ${\frac {2\pi }{3}}$.

3. TMC par rapport à l'axe Oz appliqué à (S) : $J{\ddot {\theta }}=2aF_{0}-\alpha {\dot {\theta }}$.

Solution vérifiant ${\dot {\theta }}(0)=0:{\begin{array}{|c|}\hline {\rm {{\dot {\theta }}(t)={\frac {2aF_{0}}{\alpha }}{\Bigg (}1-\exp {\bigg (}-{\frac {-\alpha t}{J}}{\bigg )}{\Bigg )}}}\\\hline \end{array}}$

La vitesse de rotation atteint la valeur limite $\Omega ={\frac {2aF_{0}}{\alpha }}$ en un temps caractéristique $\tau ={\frac {J}{\alpha }}$.

4. a. TMC par rapport à l'axe Oz appliqué à (S) : $J{\ddot {\theta }}=2aF_{0}-\alpha {\dot {\theta }}-f{\frac {a}{2}}\lambda F_{0}|\sin \theta |$.

b. Mise en mouvement si ${\ddot {\theta }}(0)>0\Leftrightarrow {\begin{array}{|c|}\hline {\rm {f<{\frac {4\lambda }{|\sin \theta _{0}|\,}}}}\\\hline \end{array}}$.

Pour $\theta _{0}=0$, la condition est vérifiée quel que soit f ; elle est d'autant plus contraignante que $|\theta _{0}|$ est
​grand ; elle est vérifiée quel que soit $\theta _{0}\in {\bigg [}-{\frac {\pi }{3}},{\frac {\pi }{3}}{\bigg ]}$ si $f<8\lambda$.

5. a. $J{\ddot {\theta }}=2aF_{0}\Rightarrow J{\dot {\theta }}{\ddot {\theta }}=2aF_{0}{\dot {\theta }}\Rightarrow$ (intégration par rapport au temps) ${\frac {1}{2}}J{\dot {\theta }}^{2}=2aF_{0}\theta$ + constante.

La variation de ${\dot {\theta }}^{2}$ lorsque $\theta$ varie de $2\pi$ est donc : ${\begin{array}{|c|}\hline {\rm {(\Delta {\dot {\theta }}^{2})_{1tour}={\frac {4aF_{0}}{J}}\times 2\pi ={\frac {8\pi aF_{0}}{J}}}}\\\hline \end{array}}$.

b. $J{\ddot {\theta }}=2aF_{0}-f{\frac {a}{2}}\lambda F_{0}|\sin \theta |$ ; attention cette équation n'est valable que pour $\theta \in {\bigg [}-{\frac {\pi }{3}},{\frac {\pi }{3}}{\bigg ]}$, de plus la valeur absolue oblige à séparer les cas $\theta \in {\bigg [}-{\frac {\pi }{3}},0{\bigg ]}$ et $\theta \in {\bigg [}0,{\frac {\pi }{3}}{\bigg ]}$.

Pour $\theta \in {\bigg [}0,{\frac {\pi }{3}}{\bigg ]}$ : la multiplication par ${\dot {\theta }}$ intégration par rapport au temps conduit à :

${\frac {1}{2}}J{\dot {\theta }}^{2}=2aF_{0}\theta +f{\frac {a}{2}}\lambda F_{0}\cos \theta$ + constante ; il vient pour $\theta$ variant de 0 à ${\frac {\pi }{3}}$ :

$(\Delta {\dot {\theta }}^{2})_{0\to {\frac {\pi }{3}}}={\frac {4aF_{0}}{J}}\times {\frac {\pi }{3}}+{\frac {f\lambda aF_{0}}{J}}\times {\bigg (}\cos {\frac {\pi }{3}}-\cos 0{\bigg )}={\frac {4\pi aF_{0}}{3J}}-{\frac {f\lambda aF_{0}}{2J}}$

Pour $\theta \in {\bigg [}-{\frac {\pi }{3}},0{\bigg ]}:|\sin \theta |\,=-\sin \theta$, il vient de même que ${\frac {1}{2}}J{\dot {\theta }}^{2}=2aF_{0}\theta -f{\frac {a}{2}}\lambda F_{0}\cos \theta$ + constante et :

$(\Delta {\dot {\theta }}^{2})_{-{\frac {\pi }{3}}\to 0}={\frac {4aF_{0}}{J}}\times {\frac {\pi }{3}}-{\frac {f\lambda aF_{0}}{J}}\times {\bigg (}\cos 0-\cos {\Big (}-{\frac {\pi }{3}}{\Big )}{\bigg )}={\frac {4\pi aF_{0}}{3J}}-{\frac {f\lambda aF_{0}}{2J}}=(\Delta {\dot {\theta }}^{2})_{0\to {\frac {\pi }{3}}}$

Par symétrie du dispositif :

$(\Delta {\dot {\theta }}^{2})_{1tour}=6\times (\Delta {\dot {\theta }}^{2})_{0\to {\frac {\pi }{3}}}={\frac {8\pi aF_{0}}{J}}-{\frac {3f\lambda aF_{0}}{J}}$