Leçons de niveau 15

Mécanique du solide/Exercices/Mouvement d'un clown sur un ballon

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Mouvement d'un clown sur un ballon
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Exercices no3
Leçon : Mécanique du solide

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Étude d'un anémomètre
Exo suiv. :Sommaire
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Mécanique du solide/Exercices/Mouvement d'un clown sur un ballon
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Mouvement d'un clown sur un ballon[modifier | modifier le wikicode]

Le référentiel terrestre est supposé galiléen. On le rapporte à un repère orthonormé direct (Oxyz) tel que l'axe Oz est vertical ascendant. L'accélération de la pesanteur est .

Un ballon sphérique rigide a un rayon R, une masse m uniformément répartie en surface et un moment d'inertie par rapport à tout axe passant par son centre. Il roule sans glisser sur le sol horizontal de sorte que son centre C reste dans le plan Ozx.

Le coefficient de frottement de glissement au contact entre le ballon et le sol est f. Ce coefficient caractérise l'action de contact du sol sur le ballon. Cette action se réduit à une force inconnue appliquée en I. Si le ballon ne glisse pas sur le sol ; si le ballon glisse alors : .

Exercice frottement ballon sol.svg

Un clown a ses pieds en un point A du ballon situé dans le plan Ozx et tel que la droite CA fasse un angle α donné et constant avec la verticale (cf. figure). Le clown, de centre de masse H, marche ou court à petits pas sur le ballon en direction de son point le plus haut ; il fait en sorte qu’à tout instant la droite instantanée CA fasse l'angle α avec la verticale et la droite AH soit constamment verticale (cf. figure). On donne : . Le clown est assimilé à un solide de masse M en mouvement de translation dans  ; on néglige ainsi l'inertie des parties mobiles du clown dans sa marche ou sa course petits pas.

On appelle le système matériel constitué par le clown et le ballon.

Notations : la vitesse du centre C du ballon dans le référentiel est notée et son vecteur rotation dans est noté .

Partie A — Cinématique et cinétique[modifier | modifier le wikicode]

1.a. Quelles sont la vitesse et l'accélération de H dans  ?
2. Quelle est la relation traduisant le roulement sans glissement du ballon sur le sol ?
3. Exprimer la vitesse du clown par rapport à la surface du ballon soit .
4.a. Quel est, dans , le moment cinétique du ballon en son centre C ? On exprimera en fonction de m, R et v.
b. En déduire le moment cinétique dans du ballon au point de contact avec le sol I.
5.a. Quel est, dans , le moment cinétique du clown en H ? En déduire, dans , le moment cinétique du clown en I.
b. Exprimer en fonction de R, v, m, M et α le moment cinétique total du système S en I, dans le référentiel .

Partie B — Dynamique[modifier | modifier le wikicode]

1. Faire le bilan des actions mécaniques extérieures appliquées au système S. Ces actions sont-elles connues ou inconnues ?
2.a. Écrire le théorème de Koœnig donnant le moment cinétique . En déduire que : désigne le moment, pris en I, de toutes les actions extérieures appliquées à S. Pouviez-vous écrire directement cette relation ?
b. Montrer que :
c. Calculer numériquement pour M = 60 kg ; m = 6 kg R = 0,5 m ; α = 5° ; g = 9,8 m.s-2.
3.a. Calculer littéralement (en fonction de M, m, g et a) puis numériquement les composantes Rx et Rz de la réaction du sol sur le ballon.
b. Montrer que f = 0,2 il ne peut y avoir glissement ni au départ, ni en un instant ultérieur.
4. Le clown ne peut courir à petits pas à plus de Vmax = 2 m.-1 par rapport à la surface du ballon. Initialement le clown et le ballon sont immobiles. Au bout de quel temps T cette vitesse est-elle atteinte ? Quelle est la distance L parcourue par le ballon ? On demande pour T et L les expressions littérales (en fonction de Vmax et de a) et les valeurs numériques.

Partie C — Statique et dynamique sur un plan incliné[modifier | modifier le wikicode]

Exercice frottement ballon sol 2.svg

Le ballon est désormais sur une planche inclinée d'un angle β par rapport au sol. Le clown est toujours vertical : AH est orthogonal au sol. Le clown marche ou court à petit pas pour maintenir l'angle algébrique entre les vecteurs et constamment égal à α.

On admet que la démarche menée dans les parties A et B conduit, dans ce cas, au résultat suivant :

en notant et un vecteur unitaire de la ligne de plus grande pente de la planche inclinée dirigé vers le bas (cf. figure).

1. Commenter ce résultat en le comparant à celui de la question 2.b. de la partie B.
2. Clown en équilibre :
a. Montrer que, pour une valeur particulière de α dépendant de l'angle β, l'équilibre du système clown-ballon est possible.
b. Quelle est la condition sur β pour que le glissement en I ne s'amorce pas ? Faire l’application numérique en prenant f = 0, 2.
c. Calculer numériquement α à l'équilibre pour β = 5°.
3. Mouvement descendant : Le système clown-ballon descend le plan incliné. Initialement le ballon et le clown sont immobiles. On prend α = β = 5°.
a. Calculer numériquement puis la distance parcourue quand le clown atteint la vitesse limite, par rapport au ballon, de 2 m.s-1.
b. Comparer au résultat de la question 4.
4. Mouvement ascendant : Le clown veut avoir un mouvement ascendant, c'est-à-dire remonter la pente .
a. Montrer que α doit satisfaire à une inégalité, dépendant de β. Si β = 5°, la valeur α = −15° est-elle satisfaisante ? Calculer numériquement dans ce cas.
b. Calculer, littéralement et numériquement, les composantes Rx et Rz de la réaction du sol sur le ballon et vérifier que le glissement ne peut s'amorcer si f = 0, 2.
c. Quelle longueur le ballon peut-il parcourir avant que le clown perde l'équilibre ? À quelle hauteur cela correspond-il ?