Leçons de niveau 15

Mécanique du solide/Exercices/Calcul de moments d'inertie

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Calcul de moments d'inertie
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Exercices no1
Leçon : Mécanique du solide

Ces exercices sont de niveau 15.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Étude d'un anémomètre
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Mécanique du solide/Exercices/Calcul de moments d'inertie
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Moment d'inertie d'une boule homogène[modifier | modifier le wikicode]

On considère une boule sphérique de masse , de masse volumique homogène. On donne deux méthodes pour calculer J, son moment d'inertie par rapport à tout axe passant par le centre.

Méthode 1[modifier | modifier le wikicode]

C'est la plus simple, elle utilise les symétries de la sphère.

Comme

on peut affirmer que :

est la distance du point à l'origine.

Donc :



avec

donc

Méthode 2[modifier | modifier le wikicode]

Le moment d'inertie d'une sphère massive homogène par rapport à un axe passant par le centre. Ici on se place dans un système de coordonnées où cet axe est Oz.

On utilise les coordonnées sphériques.



avec le volume élémentaire :


La définition donne :



Intégration par linéarisation[modifier | modifier le wikicode]

On peut intégrer le sinus par linéarisation, en utilisant :

D'où finalement :

Une primitive de est . On a donc :

D'où finalement :

Intégration par changement de variable[modifier | modifier le wikicode]

Remarquons que :

et que d’autre part,

.

On a donc

On pose , et on change les bornes : , .

D'où

(même résultat)

Application au calcul du moment cinétique[modifier | modifier le wikicode]

Finalement, on remplace ce résultat dans l’expression suivante :

Avec :

Et on obtient :

Moment d'inertie d'une sphère creuse homogène[modifier | modifier le wikicode]

On considère une sphère creuse de masse , de masse surfacique homogène.

On donne deux méthodes pour calculer , son moment d'inertie par rapport à tout axe passant par le centre.

Méthode 1[modifier | modifier le wikicode]

C'est la plus simple, elle utilise les symétries de la sphère.

Comme

on peut affirmer que :

est la distance du point à l'origine, qui est constante sur la sphère.

Donc :


donc :

Méthode 2[modifier | modifier le wikicode]

Le moment d'inertie d'une surface sphérique homogène, de rayon , calculé par rapport à un axe passant par le centre de cette sphère, se calcule de la même manière que celui d'une sphère pleine et homogène.

Ici on se place dans un système de coordonnées où cet axe est Oz.

On utilise les coordonnées sphériques.

L'élément différentiel de surface sur cette sphère est, à la distance R du centre, est :

La distance à l'axe Oz est, avec les définitions précédentes,

La densité surfacique est .

La définition donne :

D'où, en substituant avec les grandeurs sus-nommées :

D'autre part, nous avons vu précédemment que .

D'où finalement :