Mécanique du solide/Exercices/Calcul de moments d'inertie

Moment d'inertie d'une boule homogène

On considère une boule sphérique de masse $m$, de masse volumique $\rho$ homogène. On donne deux méthodes pour calculer J, son moment d'inertie par rapport à tout axe passant par le centre.

Méthode 1

C'est la plus simple, elle utilise les symétries de la sphère.

Comme $J_{OX}=J_{Oy}=J_{Oz}=J$

on peut affirmer que :

$3J=\rho \int _{V}(x^{2}+y^{2})\,\mathrm {d} V+\rho \int _{V}(z^{2}+y^{2})\,\mathrm {d} V+\rho \int _{V}(x^{2}+z^{2})\,\mathrm {d} V=\rho \int _{V}2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,\mathrm {d} V=2\rho \int _{V}(r^{2})\,\mathrm {d} V$

où $r$ est la distance du point $M$ à l'origine.

Donc :

$3J=2\rho \int _{V}(r^{2})\,\mathrm {d} V$

$3J=2\rho \int _{r}r^{2}\ (\int _{S}\,\mathrm {d} S)\mathrm {d} r$

$3J=2\times 4\pi \rho \int _{r}r^{4}\mathrm {d} r$

$3J=2\times 4\pi \rho {\frac {R^{5}}{5}}$

avec $\rho ={\frac {m}{{\frac {4}{3}}\pi \ R^{3}}}$

$3J=3{\frac {2mR^{2}}{5}}$

donc

$J={\frac {2mR^{2}}{5}}$

Méthode 2

Le moment d'inertie d'une sphère massive homogène par rapport à un axe passant par le centre. Ici on se place dans un système de coordonnées où cet axe est Oz.

$J=\rho \int _{V}(x^{2}+y^{2})\,\mathrm {d} V$

On utilise les coordonnées sphériques.

$x=r\sin \vartheta \cos \varphi$
$y=r\sin \vartheta \sin \varphi$
$z=r\cos \vartheta$

avec le volume élémentaire :

$\mathrm {d} V=r^{2}\sin \vartheta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \vartheta \,\mathrm {d} \varphi .$

La définition donne :

$J=\rho \int _{0}^{R}\!\mathrm {d} r\,\int _{0}^{\pi }\!\mathrm {d} \vartheta \,\int _{0}^{2\pi }\!\mathrm {d} \varphi \;\;r^{4}\sin ^{3}\vartheta$

$J={\frac {2}{5}}\pi \rho R^{5}\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\vartheta \,\mathrm {d} \vartheta$

Intégration par linéarisation

On peut intégrer le sinus par linéarisation, en utilisant :

$\sin ^{3}x=\left({\dfrac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\right)^{3}={\dfrac {1}{4}}{\dfrac {3(e^{ix}-e^{-ix})-(e^{i3x}-e^{-i3x})}{2i}}$

D'où finalement :

$\sin(\theta )^{3}={\frac {3\sin(\theta )-\sin(3\theta )}{4}}$

Une primitive de $\sin(\theta )$ est $-\cos(\theta )$. On a donc :

$\int _{0}^{\pi }\mathrm {d} \theta \sin ^{3}\theta =-\left[{\frac {3}{4}}\cos {(\theta )}\right]_{0}^{\pi }+\left[{\frac {1}{12}}cos(3\theta )\right]_{0}^{\pi }=2\times {\dfrac {3}{4}}-2\times {\dfrac {1}{12}}={\dfrac {18-2}{12}}={\dfrac {4}{3}}$

D'où finalement :

$\int _{0}^{\pi }\mathrm {d} \theta \sin ^{3}\theta ={\dfrac {4}{3}}$

Intégration par changement de variable

Remarquons que :

$\sin \theta \mathrm {d} \theta =-\mathrm {d} \cos \theta$

et que d’autre part,

$\sin ^{2}\vartheta =1-\cos ^{2}\vartheta$.

On a donc

$\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,\mathrm {d} \theta =-\int _{0}^{\pi }(1-\cos ^{2}(\theta ))\mathrm {d} \cos \theta$

On pose $x=\cos \theta$, et on change les bornes : $\cos 0\rightarrow 1$, $\cos \pi \rightarrow -1$.

D'où

$\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,\mathrm {d} \theta =\int _{-1}^{1}(1-x^{2})\mathrm {d} x={\dfrac {6-2}{3}}={\dfrac {4}{3}}$

(même résultat)

Application au calcul du moment cinétique

Finalement, on remplace ce résultat dans l’expression suivante :

$J=\rho \times \int _{0}^{R}\!\mathrm {d} r\,\;r^{4}\times \int _{0}^{\pi }\!\mathrm {d} \vartheta \,\sin ^{3}\vartheta \times \int _{0}^{2\pi }\!\mathrm {d} \varphi \;$

Avec :

• $\rho ={\dfrac {M}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}$
• $\int _{0}^{R}r^{4}\mathrm {d} r={\dfrac {R^{5}}{5}}$
• $\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \mathrm {d} \theta ={\dfrac {4}{3}}$
• $\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi =2\pi$

Et on obtient :

$J={\dfrac {M}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}\times {\frac {R^{5}}{5}}\times {\frac {4}{3}}\times 2\pi ={\dfrac {2MR^{2}}{5}}$

Moment d'inertie d'une sphère creuse homogène

On considère une sphère creuse de masse $m$, de masse surfacique $\sigma$ homogène.

On donne deux méthodes pour calculer $J$, son moment d'inertie par rapport à tout axe passant par le centre.

Méthode 1

C'est la plus simple, elle utilise les symétries de la sphère.

Comme $J_{OX}=J_{Oy}=J_{Oz}=J$

on peut affirmer que :

$3J=\sigma \int _{S}(x^{2}+y^{2})\,\mathrm {d} S+\sigma \int _{S}(z^{2}+y^{2})\,\mathrm {d} S+\sigma \int _{S}(x^{2}+z^{2})\,\mathrm {d} S=2\sigma \int _{S}(r^{2})\,\mathrm {d} S$

où $r$ est la distance du point $M$ à l'origine, qui est constante sur la sphère.

Donc :

$3J=2\sigma \int _{S}(r^{2})\,\mathrm {d} S$

$3J=2\sigma r^{2}\ (\int _{S}\,\mathrm {d} S)$

$3J=2r^{2}\times m$

donc :

$J={\frac {2mR^{2}}{3}}$

Méthode 2

Le moment d'inertie d'une surface sphérique homogène, de rayon $R$, calculé par rapport à un axe passant par le centre de cette sphère, se calcule de la même manière que celui d'une sphère pleine et homogène.

Ici on se place dans un système de coordonnées où cet axe est Oz.

$J=\rho \int _{V}(x^{2}+y^{2})\,\mathrm {d} V$

On utilise les coordonnées sphériques.

• $x=r\sin \theta \cos \phi$
• $y=r\sin \theta \sin \phi$
• $z=r\cos \theta$

L'élément différentiel de surface sur cette sphère est, à la distance R du centre, est :$\mathrm {d} S=R^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi$

La distance à l'axe Oz est, avec les définitions précédentes, $\Delta _{z}(r,\theta ,\varphi )=r\sin \theta$

La densité surfacique est $\sigma ={\dfrac {M}{4\pi R^{2}}}$.

La définition donne : $J=\sigma \iint \mathrm {d} S\Delta _{z}^{2}(R,\theta ,\varphi )$

D'où, en substituant avec les grandeurs sus-nommées : $J={\dfrac {M}{4\pi R^{2}}}R^{4}\int _{0}^{\pi }\!\mathrm {d} \theta \sin ^{3}\theta \,\int _{0}^{2\pi }\!\mathrm {d} \phi \;\;$

D'autre part, nous avons vu précédemment que $\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\mathrm {d} \theta ={\dfrac {4}{3}}$.

D'où finalement : $J={\dfrac {MR^{2}}{2}}{\dfrac {4}{3}}={\dfrac {2MR^{2}}{3}}$