Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable

Oscillations dans une cuvette d'énergie potentielle

     Un point matériel $M$ de masse $m$ est astreint à se déplacer sans frottement sur un axe $\overrightarrow{Ox}$.

     Il est soumis de la part du point $O$ à la force centrale $\overrightarrow{F}(x)=[-\frac{a}{x^2}+\frac{b}{x^3}]{\overrightarrow{u}}_x$ où $a$ et $b$ sont deux constantes positives ;

     on suppose que l'abscisse $x$ du point mobile reste $⩾0$.

Détermination de la position d'équilibre du point matériel M

     Exprimer la valeur $x_{\text{éq}}$ pour laquelle le point matériel est en équilibre.

Solution

     Bien sûr, il convient d'ajouter un schéma avec bilan de forces (une seule), le référentiel d'étude étant galiléen.

     L'équilibre correspond à $F_x(x_{\text{éq}})=0$ soit $-\frac{a}{x_{\text{éq}}^2}+\frac{b}{x_{\text{éq}}^3}=0$ dont on déduit aisément la valeur de l'abscisse de la position d'équilibre $x_{\text{éq}}=\frac{b}{a}$.

 

Détermination et représentation en fonction de x du diagramme de l'énergie potentielle dont dérive la force centrale, étude de la stabilité de la position d'équilibre du point matériel M

     Exprimer l'énergie potentielle $U(x)$ dont dérive la force centrale $\overrightarrow{F}(x)$ $[$on choisira la référence de l'énergie potentielle à l'infini$]$ ;

     représenter la courbe d'énergie potentielle en fonction de l'abscisse $x$ du point matériel $M$ ;

     déduire, de ce tracé, le caractère stable de la position d'équilibre du point mobile.

Solution

     L'énergie potentielle $U(x)$ est définie par $F_x(x)=-\frac{dU}{dx}(x)$ soit $-\frac{a}{x^2}+\frac{b}{x^3}=-\frac{dU}{dx}(x)$ $\iff$ $\frac{dU}{dx}(x)=\frac{a}{x^2}-\frac{b}{x^3}$ $\Rightarrow$ $U(x)=-\frac{a}{x}+\frac{b}{2x^2}+cste$ ou encore, avec la référence à l'infini, $U=-\frac{a}{x}+\frac{b}{2x^2}$.

Tracé du diagramme d'énergie potentielle U(x) d'un point M se déplaçant sur l'axe Ox et soumis à la composante de force F_x = -a/x² + b/x³ (référence de U à l'infini)

     $U$ est extrémale pour $x_{\text{éq}}=\frac{b}{a}$ avec :

• si $x\to 0$, $\frac{dU}{dx}(x)\sim -\frac{b}{x^3}\to -\mathrm{\infty }$ d'où $\frac{dU}{dx}(x)<0$ pour $x\in \left]0\text{ ; }{x}_{\text{éq}}\right]$ et par suite $U(x)\searrow$ sur cet intervalle, de plus, quand $x\to 0$, $U(x)\sim \frac{b}{2x^2}\to +\mathrm{\infty }$,
• si $x\to +\mathrm{\infty }$, $\frac{dU}{dx}(x)\sim \frac{a}{x^2}\to 0^{+}$ d'où $\frac{dU}{dx}(x)>0$ pour $x\in [x_{\text{éq}}\text{ ; }+\mathrm{\infty }[$ et par suite $U(x)\nearrow$ sur cet intervalle, de plus, quand $x\to +\mathrm{\infty }$, $U(x)\sim -\frac{a}{x}\to 0^{-}$ et enfin
• $U(x_{\text{éq}})=-\frac{a^2}{2b}<0$ $($voir tracé du diagramme ci-contre$)$ ;

     de ce qui précède, on déduit que $U(x)$ est minimale pour $x_{\text{éq}}$ et donc que cette position d'équilibre est stable.

 

Détermination et représentation en fonction de x du diagramme de l'énergie mécanique, étude des mouvements possibles du point matériel M

     Exprimer l'énergie mécanique $E_{m,M}(t)$ du point matériel $M$ dans le champ de la force centrale $\overrightarrow{F}(x)$ quand $M$ occupe la position d'abscisse $x(t)$ avec la vitesse $\dot{x}(t)$ et

     représenter, sur le même diagramme que précédemment, la courbe d'énergie mécanique en fonction de l'abscisse $x$ du point matériel $M$.

     Discuter, suivant la valeur de l'énergie mécanique initiale $E_{m,M}(0)$ du point matériel $M$, le (ou les) mouvement(s) possible(s) de ce dernier quand il est lâché sans vitesse initiale de la position d'abscisse $x_0$.

Solution

     L'énergie mécanique du point matériel $M$ à l'instant $t$ est défini selon $E_{m,M}(t)=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2(t)+U[x(t)]$ et, comme il n'y a pas de forces non conservatives, elle garde sa valeur initiale $E_{m,M}(0)=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2(0)+U(x_0)$ ou $E_{m,M}(0)=U(x_0)$ en absence de vitesse initiale soit finalement l'intégrale 1^ère énergétique $E_{m,M}(t)=E_{m,M}(0)$ $\iff$ $\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2(t)+U[x(t)]=U(x_0)$.

Tracé simultané de la courbe d'énergie potentielle U(x) d'un point M se déplaçant sur l'axe Ox et soumis à la composante de force F_x = -a/x² + b/x³ (référence de U à l'infini) (en bleu) et de deux courbes d'énergie mécanique l'une (en vert) définissant un état de diffusion et l'autre (en magenta) un état lié

     Des diagrammes d'énergies potentielle et mécanique du point $M$ sont représentés ci-contre,

• en bleu pour la courbe d'énergie potentielle $({\Gamma }_u)$ et
• deux exemples de courbe d'énergie mécanique $({\Gamma }_m)$ l'un en vert correspondant à $E_{m,M}(0)>0$, l'autre en magenta pour $E_{m,M}(0)<0$ ;

     les deux exemples de courbe d'énergie mécanique se différencient selon la discussion suivante :

• pour $E_{m,M}(0)⩾0$, c'est-à-dire pour $x_0⩽\frac{x_{\text{éq}}}{2}$, on observe un état de diffusion vers l'infini $[$assuré par la présence d'un seul mur d'énergie potentielle$]$, $x_0$ étant alors la distance minimale d'approche de l'origine,
• pour $E_{m,M}(0)<0$, c'est-à-dire pour $x_0>\frac{x_{\text{éq}}}{2}$, on observe un état lié $[$assuré par la présence de deux murs d'énergie potentielle en regard$]$, le mouvement de $M$ étant oscillatoire autour de la position d'équilibre stable avec $x_0$ distance minimale ou maximale d'approche suivant que cette abscisse initiale est $<$ ou $>$ à $x_{\text{éq}}$, l'abscisse de l'autre mur d'énergie potentielle étant alors $>$ ou $<$ à $x_{\text{éq}}$ et définissant la distance maximale ou minimale d'approche.

 

Détermination de l'équation différentielle du 2^ème ordre en x(t) du mouvement du point mobile, étude des petits mouvements de M au voisinage de sa position d'équilibre stable

     À partir de l'intégrale 1^ère énergétique précédemment établie, déterminer l'équation différentielle du 2^ème ordre en $x(t)$ du mouvement du point matériel $M$ et

     établir l'expression approchée de l'équation différentielle du 2^nd ordre en l'écart de l'abscisse du point relativement à sa position d'équilibre stable $\epsilon (t)=x(t)-x_{\text{éq}}$ dans le cadre des petits mouvements du point ;

     en déduire la nature périodique du mouvement des petites oscillations du point matériel $M$ autour de sa position d'équilibre et

     expliciter sa période $T$ en fonction des données.

Solution

     On détermine l'équation différentielle du 2^ème ordre en $x(t)$ du mouvement du point matériel $M$ en dérivant par rapport au temps l'intégrale 1^ère énergétique $E_{m,M}(t)=$ $E_{m,M}(0)$ soit $\frac{d{E}_{m,M}}{dt}(t)=0$ avec $\frac{d{E}_{m,M}}{dt}(t)=m\dot{x}(t)\ddot{x}(t)+\frac{dU}{dx}[x(t)]\dot{x}(t)$ $\Rightarrow$ $\dot{x}(t)\{m\ddot{x}(t)+\frac{dU}{dx}[x(t)]\}=0$ ou, en simplifiant par $\dot{x}(t)$ non identiquement nul et, en se souvenant de $F_x(x)=-\frac{dU}{dx}(x)$ avec $F_x(x)=-\frac{a}{x^2}+\frac{b}{x^3}$, la réécriture de l'équation différentielle du 2^ème ordre en $x(t)$ du mouvement du point matériel $M$ selon $m\ddot{x}(t)+\frac{a}{x^2(t)}-\frac{b}{x^3(t)}=0$ ;

     posant $x(t)=x_{\text{éq}}+\epsilon (t)$ avec $\epsilon (t)$ infiniment petit d'ordre un, le D.L. à l'ordre le plus bas non nul de $f(x)=-F_x(x)$ au voisinage de $x_{\text{éq}}$ est vraisemblablement $f(x)=-F_x(x)\simeq$ $\cancel{-F_x(x_{\text{éq}})}-\frac{d{F}_x}{dx}(x_{\text{éq}})\epsilon$ dans la mesure où $\frac{d{F}_x}{dx}(x_{\text{éq}})$ est $\ne 0$ et, dans ces conditions, l'équation différentielle au voisinage de la position d'équilibre devient : $m\ddot{\epsilon }(t)-\frac{d{F}_x}{dx}(x_{\text{éq}})\epsilon (t)=0$ ;

     il suffit de calculer $\frac{d{F}_x}{dx}(x_{\text{éq}})$ à partir de $\frac{d{F}_x}{dx}(x)=\frac{2a}{x^3}-\frac{3b}{x^4}$ soit $\frac{d{F}_x}{dx}(x_{\text{éq}})=\frac{2a}{x_{\text{éq}}^3}-\frac{3b}{x_{\text{éq}}^4}=\frac{2a^4}{b^3}-\frac{3a^4}{b^3}$ et finalement $\frac{d{F}_x}{dx}(x_{\text{éq}})=-\frac{a^4}{b^3}<0$ $[$dans l'hypothèse où cette dérivée est non nulle, elle doit effectivement être $<0$ pour caractériser un équilibre stable$]$ ;

     on en déduit l'équation différentielle linéarisée des petits mouvements du point $M$ autour de sa position d'équilibre stable $m\ddot{\epsilon }(t)+\frac{a^4}{b^3}\epsilon (t)=0$ ou, sous sa forme normalisée $\ddot{\epsilon }(t)+\frac{a^4}{m{b}^3}\epsilon (t)=0$ ;      la période des petites oscillations du point $M$ autour de sa position d'équilibre stable est alors $T\simeq 2\pi \sqrt{\frac{m{b}^3}{a^4}}$ ou encore $T\simeq \frac{2\pi b^2}{a^2}\sqrt{\frac{m}{b}}$.

 

Oscillateurs non linéaires, tentative de linéarisation (traitement par r.f.d.n.)

Oscillations transversales d'une balle fixée au milieu d'une corde idéale verticale

Oscillations transversales d'une balle ponctuelle fixée au milieu d'une corde sans masse, initialement verticale et supposée inélastique

     Une balle supposée ponctuelle $M$, de masse $m$, est fixée au milieu d'une corde, de masse nulle et de longueur $l_0$ quand la corde est tendue verticalement entre ses deux points d'attache $O_s$ et $O_i$ ;

     on écarte $M$, dans le sens positif, d'un angle ${\theta }_0\ll 1$ de sa position d'équilibre $O$, milieu du segment $\left[O_i{O}_s\right]$, et on le lâche sans vitesse initiale ;

     la longueur de la corde $l(x)$, avec $x$ abscisse du point $M$ sur l'axe $\overrightarrow{Ox}\perp$ au segment $\left[O_i{O}_s\right]$, varie donc, mais, si la corde doit être considérée comme extensible, nous la supposons inélastique c'est-à-dire que sa tension $T$ reste constante au cours du mouvement de $M$ ;

     le poids $m\overrightarrow{g}$ de la balle est de norme négligeable devant celle des forces de tension, ce qui entraîne, pour $M$, un mouvement rectiligne suivant $\overrightarrow{Ox}$.

Détermination de l'équation différentielle du 2^ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle sans tenir compte du caractère petit de θ₀

     Déterminer, par application de la r.f.d.n. à la balle $M$, l'équation différentielle du 2^ème ordre en $x(t)$ du mouvement de $M$, sans tenir compte de ${\theta }_0\ll 1$ et

     vérifier qu'elle n'est pas linéaire.

Solution

Oscillations transversales d'une balle ponctuelle fixée au milieu d'une corde sans masse, initialement verticale et supposée inélastique, avec représentation des forces appliquées à la balle

     Sur le schéma ci-contre sont représentées les deux forces appliquées à la balle supposée ponctuelle $M$ à savoir :

• la force exercée par la partie supérieure de la corde ${\overrightarrow{T}}_1(t)=-T_1\sin [\theta (t)]{\overrightarrow{u}}_x+T_1\cos [\theta (t)]{\overrightarrow{u}}_y$ avec $T_1=\Vert {\overrightarrow{T}}_1(t)\Vert$ restant constante au cours du temps et
• la force exercée par la partie inférieure de la corde ${\overrightarrow{T}}_2(t)=-T_2\sin [\theta (t)]{\overrightarrow{u}}_x-T_2\cos [\theta (t)]{\overrightarrow{u}}_y$ avec $T_2=\Vert {\overrightarrow{T}}_2(t)\Vert$ restant aussi constante au cours du temps, le texte ajoutant que $T_1=T_2$ de valeur commune notée $T$ ;

     appliquant la r.f.d.n. à la balle ponctuelle $M$ dans le référentiel d'étude supposé galiléen, on obtient ${\overrightarrow{T}}_1(t)+{\overrightarrow{T}}_2(t)=m{\overrightarrow{a}}_M(t)$ soit, en projetant sur ${\overrightarrow{u}}_x$ dans le cas où ${\theta }_0\cancel{\ll }1$, l'équation suivante $-2T\sin [\theta (t)]=m\ddot{x}(t)$ ou, en éliminant $\theta (t)$ au profit de $x(t)$ par $\sin [\theta (t)]=\frac{x(t)}{\sqrt{\frac{l_0^2}{4}+x^2(t)}}$, l'équation différentielle du 2^ème ordre en $x(t)$ du mouvement de $M$ suivante $m\ddot{x}(t)+\frac{2T}{\sqrt{\frac{l_0^2}{4}+x^2(t)}}x(t)=0$ sans tenir compte de ${\theta }_0\ll 1$,
équation différentielle caractéristique d'un oscillateur « non linéaire » non amorti.

 

Tentative de linéarisation de l'équation différentielle du 2^ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle en tenant compte du caractère petit de θ₀

     Considérant maintenant ${\theta }_0\ll 1$, vérifier que la linéarisation de l'oscillateur est possible en déterminant son équation différentielle en $x(t)$ puis

     donner son équation de mouvement $x=x(t)$ ainsi que

     donner sa période ${𝒯}_0$ des petites oscillations.

Solution

     Pouvant établir, pour cet oscillateur « non linéaire » non amorti lâché sans vitesse initiale, la nature oscillatoire dans le cas où ${\theta }_0$ n'est pas nécessairement $\ll 1$, ce qui a pour conséquence $|\theta (t)|⩽{\theta }_0\mathrm{\forall }t$ $\iff$ $|x(t)|⩽x_0\mathrm{\forall }t$, l'hypothèse restrictive ${\theta }_0\ll 1$ entraînant $|\theta (t)|\ll 1$ $\iff$ $|x(t)|\ll \frac{l_0}{2}$ ou $\frac{|x(t)|}{\frac{l_0}{2}}\ll 1$ permettant de considérer $\frac{x(t)}{\frac{l_0}{2}}=\frac{2x(t)}{l_0}$ comme un infiniment petit d'ordre un ;

     pour tenter de linéariser l'oscillateur « non linéaire » non amorti, il faut faire un D.L. de $f(x)=\frac{2T}{\sqrt{\frac{l_0^2}{4}+x^2}}x$ au voisinage de $x_{\text{éq}}=0$ à l'ordre un en $\frac{2x}{l_0}$ à condition que $f^{\prime }(x_{\text{éq}})$ ne soit pas nul, ce qui donne, en faisant apparaître l'infiniment petit d'ordre un dans l'expression à développer $f[x(t)]=\frac{T{l}_0}{\frac{l_0}{2}\sqrt{1+{\left[\frac{2x(t)}{l_0}\right]}^2}}\frac{2x(t)}{l_0}$ ou $f[x(t)]$ $=\frac{2T}{\sqrt{1+{\left[\frac{2x(t)}{l_0}\right]}^2}}\frac{2x(t)}{l_0}$ ; cette dernière expression étant un produit de deux facteurs dont l'un $\frac{2x(t)}{l_0}$ est un infiniment petit d'ordre un, il suffit, pour obtenir le D.L. du produit à l'ordre un en $\frac{2x(t)}{l_0}$, de prendre le 2^ème facteur $\{$c'est-à-dire $\frac{2T}{\sqrt{1+{\left[\frac{2x(t)}{l_0}\right]}^2}}=$ $2T{\{1+{\left[\frac{2x(t)}{l_0}\right]}^2\}}^{-\frac{1}{2}}\}$ à l'ordre zéro en $\frac{2x(t)}{l_0}$ d'où $f[x(t)]\simeq$ $[2T\times 1]\frac{2x(t)}{l_0}$ à l'ordre un en $\frac{2x(t)}{l_0}$ soit finalement $f[x(t)]\simeq \frac{4T}{l_0}x(t)$ et par suite la forme approchée à l'ordre un en $\frac{2x(t)}{l_0}$ de l'équation différentielle du 2^ème ordre en $x(t)$ de l'oscillateur « non linéaire » non amorti se réécrit, dans le cadre des petits mouvements autour de la position d'équilibre stable, selon : $m\ddot{x}(t)+\frac{4T}{l_0}x(t)=0$ correspondant à
une approximation harmonique de l'oscillateur $($c'est-à-dire une linéarisation réussie$)$ ;      son équation des petits mouvements est alors $x=A\cos ({\omega }_{0}t)+B\sin ({\omega }_{0}t)$ avec ${\omega }_0=\sqrt{\frac{4T}{m{l}_0}}$ pulsation propre des petites oscillations, $A$ et $B$ se déterminant à l'aide des C.I. $x(0)=x_0$ et $\dot{x}(0)=0$ $\Rightarrow$ $A=x_0$ par la 1^ère C.I. et $B{\omega }_0=0$ d'où $B=0$ par la 2^ème, soit finalement, l'équation des petits mouvements $x=x_0\cos ({\omega }_{0}t)$ avec ${\omega }_0=\sqrt{\frac{4T}{m{l}_0}}$ ;      la période ${𝒯}_0$ des petites oscillations est alors ${𝒯}_0=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=\pi \sqrt{\frac{m{l}_0}{T}}$.

 

Oscillations transversales d'une balle fixée entre deux ressorts identiques initialement d'axe commun vertical, les ressorts y étant allongés

Oscillations transversales d'une balle ponctuelle fixée entre deux ressorts idéaux, identiques, de même axe initial vertical avec un même allongement Δl_éq

     On remplace maintenant la corde par deux ressorts idéaux, identiques, de raideur $k$ et de longueur à vide $l_v$, avec l'extrémité supérieure de l'un fixée en $O_s$ et l'extrémité inférieure de l'autre en $O_i$, l'extrémité intermédiaire étant reliée à la balle supposée ponctuelle $M$ de masse $m$ ;

     à l'équilibre, la position de la balle est en $O$, milieu du segment $\left[O_i{O}_s\right]$ et les deux ressorts y sont tendus, leur allongement commun à l'équilibre valant $\Delta l_{\text{éq}}=l_{\text{éq}}-l_v>0$ ;

     le poids $m\overrightarrow{g}$ de la balle est toujours considéré de norme négligeable devant celle des forces de tension des ressorts, ce qui entraîne, pour $M$, un mouvement rectiligne suivant $\overrightarrow{Ox}$ ;

     on écarte $M$, dans le sens positif, d'un angle ${\theta }_0\ll 1$ de sa position d'équilibre $O$, milieu du segment $\left[O_i{O}_s\right]$, et on le lâche sans vitesse initiale.

Détermination de l'équation différentielle du 2^ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle sans tenir compte du caractère petit de θ₀

     Déterminer, par application de la r.f.d.n. à la balle $M$, l'équation différentielle du 2^ème ordre en $x(t)$ du mouvement de $M$, sans tenir compte de ${\theta }_0\ll 1$ et

     vérifier qu'elle n'est pas linéaire.

Solution

Oscillations transversales d'une balle ponctuelle M fixée entre deux ressorts idéaux, identiques, de même axe initial vertical avec un même allongement Δl_éq, représentation des forces appliquées à la balle

     Sur le schéma ci-contre sont représentées les deux forces appliquées à la balle supposée ponctuelle $M$ à savoir :

• la force exercée par le ressort supérieur ${\overrightarrow{T}}_1(t)=-T_1(t)\sin [\theta (t)]{\overrightarrow{u}}_x+T_1(t)\cos [\theta (t)]{\overrightarrow{u}}_y$ dans laquelle $T_1(t)=\Vert {\overrightarrow{T}}_1(t)\Vert =$ $k[\Vert \overrightarrow{O_{s}M}(t)\Vert -l_v]$ selon la loi de Hooke et
• la force exercée par le ressort inférieur ${\overrightarrow{T}}_2(t)=-T_2(t)\sin [\theta (t)]{\overrightarrow{u}}_x-T_2(t)\cos [\theta (t)]{\overrightarrow{u}}_y$ avec $T_2(t)=\Vert {\overrightarrow{T}}_2(t)\Vert =k[\Vert \overrightarrow{O_{i}M}(t)\Vert -l_v]$ selon la même loi de Hooke, le texte ajoutant que $T_{1,\text{éq}}=T_{2,\text{éq}}$ ce qui est un cas particulier de $T_1(t)=T_2(t)$, les deux ressorts ayant même raideur et les longueurs à charge et à vide de chacun étant la même ;

     appliquant la r.f.d.n. à la balle ponctuelle $M$ dans le référentiel d'étude supposé galiléen, on obtient ${\overrightarrow{T}}_1(t)+{\overrightarrow{T}}_2(t)=m{\overrightarrow{a}}_M(t)$ soit, en projetant sur ${\overrightarrow{u}}_x$ dans le cas où ${\theta }_0\cancel{\ll }1$, l'équation suivante $-2T(t)\sin [\theta (t)]=m\ddot{x}(t)$ avec $T(t)$ valeur commune de $T_1(t)=T_2(t)$ soit, avec $\Vert \overrightarrow{O_{s}M}(t)\Vert =\Vert \overrightarrow{O_{i}M}(t)\Vert =\sqrt{l_{\text{éq}}^2+x^2(t)}$ $\Rightarrow$ $T(t)=k[\sqrt{l_{\text{éq}}^2+x^2(t)}-l_v]$ ou, en éliminant $\theta (t)$ au profit de $x(t)$ par $\sin [\theta (t)]=$ $\frac{x(t)}{\sqrt{l_{\text{éq}}^2+x^2(t)}}$, l'équation différentielle du 2^ème ordre en $x(t)$ du mouvement de $M$ suivante $m\ddot{x}(t)+2k[1-\frac{l_v}{\sqrt{l_{\text{éq}}^2+x^2(t)}}]x(t)=0$ sans tenir compte de ${\theta }_0\ll 1$,
équation différentielle caractéristique d'un oscillateur « non linéaire » non amorti.$$

 

Tentative de linéarisation de l'équation différentielle du 2^ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle en tenant compte du caractère petit de θ₀

     Considérant maintenant ${\theta }_0\ll 1$, vérifier que la linéarisation de l'oscillateur est possible en déterminant son équation différentielle en $x(t)$ puis

     donner son équation de mouvement $x=x(t)$ ainsi que

     donner sa période ${𝒯}_0$ des petites oscillations.

Solution

     Pouvant établir, pour cet oscillateur « non linéaire » non amorti lâché sans vitesse initiale, la nature oscillatoire dans le cas où ${\theta }_0$ n'est pas nécessairement $\ll 1$, ce qui a pour conséquence $|\theta (t)|⩽{\theta }_0\mathrm{\forall }t$ $\iff$ $|x(t)|⩽x_0\mathrm{\forall }t$, l'hypothèse restrictive ${\theta }_0\ll 1$ entraînant $|\theta (t)|\ll 1$ $\iff$ $|x(t)|\ll l_{\text{éq}}$ ou $\frac{|x(t)|}{l_{\text{éq}}}\ll 1$ permettant de considérer $\frac{x(t)}{l_{\text{éq}}}$ comme un infiniment petit d'ordre un ;

     pour tenter de linéariser l'oscillateur « non linéaire » non amorti, il faut faire un D.L. de $f(x)=2k[1-\frac{l_v}{\sqrt{l_{\text{éq}}^2+x^2}}]x$ au voisinage de $x_{\text{éq}}=0$ à l'ordre un en $\frac{x}{l_{\text{éq}}}$ à condition que $f^{\prime }(x_{\text{éq}})$ ne soit pas nul, ce qui donne, en faisant apparaître l'infiniment petit d'ordre un, $f[x(t)]=2k{l}_{\text{éq}}\{1-\frac{l_v}{l_{\text{éq}}\sqrt{1+{\left[\frac{x(t)}{l_{\text{éq}}}\right]}^2}}\}\frac{x(t)}{l_{\text{éq}}}$ ; cette dernière expression étant un produit de deux facteurs dont l'un $2k{l}_{\text{éq}}\frac{x(t)}{l_{\text{éq}}}$ est $\propto$ l'infiniment petit d'ordre un $\frac{x(t)}{l_{\text{éq}}}$, il suffit, pour obtenir le D.L. du produit à l'ordre un en $\frac{x(t)}{l_{\text{éq}}}$, de prendre le 2^ème facteur $\{$c'est-à-dire $1-\frac{l_v}{l_{\text{éq}}\sqrt{1+{\left[\frac{x(t)}{l_{\text{éq}}}\right]}^2}}=1-\frac{l_v}{l_{\text{éq}}}{\{1+{\left[\frac{x(t)}{l_{\text{éq}}}\right]}^2\}}^{-\frac{1}{2}}\}$ à l'ordre zéro en $\frac{x(t)}{l_{\text{éq}}}$ d'où $f[x(t)]\simeq 2k{l}_{\text{éq}}\frac{x(t)}{l_{\text{éq}}}[1-\frac{l_v}{l_{\text{éq}}}\times 1]$ à l'ordre un en $\frac{x(t)}{l_{\text{éq}}}$ soit finalement $f[x(t)]\simeq 2k\frac{l_{\text{éq}}-l_v}{l_{\text{éq}}}x(t)$ et par suite la forme approchée à l'ordre un en $\frac{x(t)}{l_{\text{éq}}}$ de l'équation différentielle du 2^ème ordre en $x(t)$ de l'oscillateur « non linéaire » non amorti se réécrit, dans le cadre des petits mouvements autour de la position d'équilibre stable, selon : $m\ddot{x}(t)+\frac{2k\Delta l_{\text{éq}}}{l_{\text{éq}}}x(t)=0$ correspondant à
une approximation harmonique de l'oscillateur $($c'est-à-dire une linéarisation réussie$)$ ;      son équation des petits mouvements est alors $x=A\cos ({\omega }_{0}t)+B\sin ({\omega }_{0}t)$ avec ${\omega }_0=\sqrt{\frac{2k\Delta l_{\text{éq}}}{m{l}_{\text{éq}}}}$ pulsation propre des petites oscillations, $A$ et $B$ se déterminant à l'aide des C.I. $x(0)=x_0$ et $\dot{x}(0)=0$ $\Rightarrow$ $A=x_0$ par la 1^ère C.I. et $B{\omega }_0=0$ d'où $B=0$ par la 2^ème, soit finalement, l'équation des petits mouvements $x=x_0\cos ({\omega }_{0}t)$ avec ${\omega }_0=\sqrt{\frac{2k\Delta l_{\text{éq}}}{m{l}_{\text{éq}}}}$ ;      la période ${𝒯}_0$ des petites oscillations est alors ${𝒯}_0=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=\pi \sqrt{\frac{2m{l}_{\text{éq}}}{k\Delta l_{\text{éq}}}}$.

 

Oscillations transversales d'une balle fixée entre deux ressorts identiques initialement d'axe commun vertical, les ressorts y étant ni allongés ni comprimés

     On reprend le dispositif précédent dans lequel les deux ressorts idéaux, identiques, de raideur $k$ et de longueur à vide $l_v$, sont maintenant à spires non jointives ;

     on suppose maintenant que les deux ressorts ne sont ni tendus, ni comprimés, en leur état d'équilibre correspondant à $M$ en $O$, milieu du segment $\left[O_i{O}_s\right]$, leur longueur à l'équilibre étant donc leur longueur à vide selon $\Delta l_{\text{éq}}=0$ avec $\Delta l_{\text{éq}}=l_{\text{éq}}-l_v$ $\Rightarrow$ $l_{\text{éq}}=l_v$ ;

     bien que le poids $m\overrightarrow{g}$ de la balle ne puisse plus être considéré de norme négligeable devant celle des forces de tension des ressorts à l'équilibre $($celle-ci y étant nulle$)$, nous n'en tiendrons pas compte en imaginant un guide transversal $\perp$ à l'axe commun des ressorts dans leur état d'équilibre, guide confondu avec l'axe $\overrightarrow{Ox}$ sur lequel la balle peut glisser sans frottement solide, ce qui entraîne, pour $M$, un mouvement rectiligne suivant $\overrightarrow{Ox}$ ;

     on écarte $M$, dans le sens positif, d'un angle ${\theta }_0\ll 1$ de sa position d'équilibre $O$, milieu du segment $\left[O_i{O}_s\right]$, et on le lâche sans vitesse initiale.

Détermination de l'équation différentielle du 2^ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle sans tenir compte du caractère petit de θ₀

     Déterminer, par application de la r.f.d.n. à la balle $M$, l'équation différentielle du 2^ème ordre en $x(t)$ du mouvement de $M$, sans tenir compte de ${\theta }_0\ll 1$ et

     vérifier qu'elle n'est pas linéaire.

Solution

Oscillations transversales d'une balle ponctuelle M fixée entre deux ressorts idéaux, identiques, de même axe initial vertical avec absence d'allongement ou de compression (l_éq = l_v), représentation des forces appliquées à la balle

     La seule différence relativement à l'étude des « oscillations transversale d'une balle fixée entre deux ressorts identiques initialement d'axe commun vertical, les ressorts y étant allongés » de la question précédente de cet exercice est la longueur commune des ressorts à l'équilibre $l_{\text{éq}}$ égale maintenant à leur longueur à vide $l_v$ commune d'où $\Delta l_{\text{éq}}=l_{\text{éq}}-l_v=0$ ;

     on en déduit les deux forces appliquées à la balle supposée ponctuelle $M$ et ayant un effet possible sur le mouvement de celle-ci :

• la force exercée par le ressort supérieur ${\overrightarrow{T}}_1(t)=-T_1(t)\sin [\theta (t)]{\overrightarrow{u}}_x+T_1(t)\cos [\theta (t)]{\overrightarrow{u}}_y$ dans laquelle $T_1(t)=\Vert {\overrightarrow{T}}_1(t)\Vert =$ $k[\Vert \overrightarrow{O_{s}M}(t)\Vert -l_v]$ selon la loi de Hooke et
• la force exercée par le ressort inférieur ${\overrightarrow{T}}_2(t)=-T_2(t)\sin [\theta (t)]{\overrightarrow{u}}_x-T_2(t)\cos [\theta (t)]{\overrightarrow{u}}_y$ avec $T_2(t)=\Vert {\overrightarrow{T}}_2(t)\Vert =k[\Vert \overrightarrow{O_{i}M}(t)\Vert -l_v]$ selon la même loi de Hooke, le texte ajoutant que $T_{1,\text{éq}}=T_{2,\text{éq}}=0$ ce qui est un cas particulier de $T_1(t)=T_2(t)$, les deux ressorts ayant même raideur et les longueurs à charge et à vide de chacun étant la même ;

     appliquant la r.f.d.n. à la balle ponctuelle $M$ dans le référentiel d'étude supposé galiléen, on obtient ${\overrightarrow{T}}_1(t)+{\overrightarrow{T}}_2(t)=m{\overrightarrow{a}}_M(t)$ soit, en projetant sur ${\overrightarrow{u}}_x$ dans le cas où ${\theta }_0\cancel{\ll }1$, l'équation suivante $-2T(t)\sin [\theta (t)]=m\ddot{x}(t)$ avec $T(t)$ valeur commune de $T_1(t)=T_2(t)$ soit, avec $\Vert \overrightarrow{O_{s}M}(t)\Vert =\Vert \overrightarrow{O_{i}M}(t)\Vert =\sqrt{l_{\text{éq}}^2+x^2(t)}=\sqrt{l_v^2+x^2(t)}$ $\Rightarrow$ $T(t)=k[\sqrt{l_v^2+x^2(t)}-l_v]$ ou, en éliminant $\theta (t)$ au profit de $x(t)$ par $\sin [\theta (t)]=\frac{x(t)}{\sqrt{l_v^2+x^2(t)}}$, l'équation différentielle du 2^ème ordre en $x(t)$ du mouvement de $M$ suivante $m\ddot{x}(t)+2k[1-\frac{l_v}{\sqrt{l_v^2+x^2(t)}}]x(t)=0$ sans tenir compte de ${\theta }_0\ll 1$,
équation différentielle caractéristique d'un oscillateur « non linéaire » non amorti.$$

 

Tentative de linéarisation de l'équation différentielle du 2^ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle en tenant compte du caractère petit de θ₀

     Considérant maintenant ${\theta }_0\ll 1$, vérifier que la linéarisation de l'oscillateur n'est plus possible en déterminant son équation différentielle en $x(t)$ à l'ordre le plus bas en $\frac{x(t)}{l_v}$ puis

     vérifier que l'oscillateur peut être qualifié, dans le cadre des petits mouvements, d'anharmonique, son équation différentielle y étant de la forme $\ddot{x}(t)+\alpha x^3(t)=0$ avec $\alpha >0$ dont on explicitera l'expression ;

     en déduire l'intégrale 1^ère énergétique des petits mouvements de l'oscillateur dans son approximation anharmonique puis

     rappeler comment on peut établir sa nature oscillatoire et périodique ainsi que

     rappeler l'expression de sa période ${𝒯}_0$ des petites oscillations sous forme intégrale.

Solution

     Pouvant établir, pour cet oscillateur « non linéaire » non amorti lâché sans vitesse initiale, la nature oscillatoire dans le cas où ${\theta }_0$ n'est pas nécessairement $\ll 1$, ce qui a pour conséquence $|\theta (t)|⩽{\theta }_0\mathrm{\forall }t$ $\iff$ $|x(t)|⩽x_0\mathrm{\forall }t$, l'hypothèse restrictive ${\theta }_0\ll 1$ entraînant $|\theta (t)|\ll 1$ $\iff$ $|x(t)|\ll l_v$ ou $\frac{|x(t)|}{l_v}\ll 1$ permettant de considérer $\frac{x(t)}{l_v}$ comme un infiniment petit d'ordre un ;

     pour tenter de linéariser l'oscillateur « non linéaire » non amorti, il faut faire un D.L. de $f(x)=2k[1-\frac{l_v}{\sqrt{l_v^2+x^2}}]x$ au voisinage de $x_{\text{éq}}=0$ à l'ordre un en $\frac{x}{l_v}$ à condition que $f^{\prime }(x_{\text{éq}})$ ne soit pas nul ce qui, n'étant pas réalisé car $f^{\prime }(x)=2k[1-{\left(\frac{l_v}{\sqrt{l_v^2+x^2}}\right)}^3+x]$ $\Rightarrow$ $f^{\prime }(x_{\text{éq}}=0)=0$ conduit à un échec de la tentative de linéarisation de l'oscillateur « non linéaire » non amorti au voisinage de sa position d'équilibre ;

     l'équilibre étant stable, il faut faire un D.L. de $f(x)=2k[1-\frac{l_v}{\sqrt{l_v^2+x^2}}]x$ au voisinage de $x_{\text{éq}}=0$ au moins à l'ordre trois en $\frac{x}{l_v}$, l'ordre trois suffisant si $f^{‴}(x_{\text{éq}})$ est $\ne 0$ $[$on rappelle que la stabilité de l'équilibre dans la mesure où $f^{\prime }(x_{\text{éq}})=0$ nécessite $f^{″}(x_{\text{éq}})=0]$ et pour cela, il convient de faire apparaître l'infiniment petit d'ordre un, $f[x(t)]=2k{l}_v\{1-\frac{l_v}{l_v\sqrt{1+{\left[\frac{x(t)}{l_v}\right]}^2}}\}\frac{x(t)}{l_v}$ ou $f[x(t)]=2k{l}_v\{1-\frac{1}{\sqrt{1+{\left[\frac{x(t)}{l_v}\right]}^2}}\}\frac{x(t)}{l_v}$ ;

     cette dernière expression étant un produit de deux facteurs dont l'un $2k{l}_v\frac{x(t)}{l_v}$ est $\propto$ l'infiniment petit d'ordre un $\frac{x(t)}{l_v}$, il suffit, pour obtenir le D.L. du produit à l'ordre trois en $\frac{x(t)}{l_v}$, de prendre le 2^ème facteur $\{$c'est-à-dire $1-\frac{1}{\sqrt{1+{\left[\frac{x(t)}{l_v}\right]}^2}}=1-{\{1+{\left[\frac{x(t)}{l_v}\right]}^2\}}^{-\frac{1}{2}}\}$ à l'ordre deux en $\frac{x(t)}{l_v}$, ce qui donne $f[x(t)]\simeq$ $2k{l}_v\frac{x(t)}{l_v}\{1-[1-\frac{1}{2}\frac{x^2(t)}{l_v^2}]\}$ à l'ordre trois en $\frac{x(t)}{l_v}$ soit finalement $f[x(t)]\simeq \frac{k}{l_v^2}{x}^3(t)$ et par suite la forme approchée à l'ordre trois en $\frac{x(t)}{l_{\text{éq}}}$ de l'équation différentielle du 2^nd ordre en $x(t)$ de l'oscillateur « non linéaire » non amorti se réécrit, dans le cadre des petits mouvements autour de la position d'équilibre stable, selon : $m\ddot{x}(t)+\frac{k}{l_v^2}{x}^3(t)=0$ correspondant à
une approximation anharmonique de l'oscillateur $($c'est-à-dire une linéarisation impossible$)$ ;      pour obtenir l'intégrale 1^ère énergétique de l'oscillateur « non linéaire » (non amorti) dans le cadre de petits mouvements autour de sa position d'équilibre stable à l'aide de son équation différentielle du 2^ème ordre en $x(t)$, on multiplie les deux membres de cette dernière par $\dot{x}(t)$ et on intègre entre l'instant initial et un instant $t$ quelconque, ce qui donne ${\int }_0^{t}m\ddot{x}(t^{\prime })\dot{x}(t^{\prime })d{t}^{\prime }+{\int }_0^t\frac{k}{l_v^2}{x}^3(t^{\prime })\dot{x}(t^{\prime })d{t}^{\prime }=0$ soit finalement l'intégrale 1^ère énergétique suivante $\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2(t)+\frac{k}{4l_v^2}[x^4(t)-x_0^4]=0$ ou encore $\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2(t)+\frac{k}{4l_v^2}{x}^4(t)=\frac{k}{4l_v^2}{x}_0^4$ $\iff$ $E_{m,M}(t)=E_{m,M}(0)$ ;

Diagramme d'énergies potentielle et mécanique de l'oscillateur non linéaire (non amorti) au voisinage de sa position d'équilibre stable à approximation des petits mouvements anharmonique

     pour obtenir la nature oscillatoire des petits mouvements de cet oscillateur « non linéaire » autour de sa position d'équilibre stable, on trace son diagramme d'énergies potentielle et mécanique sur lequel on observe la présence de deux murs d'énergie potentielle en regard, d'abscisses respectives $x_{\text{mur}}=\pm x_0$ $($voir ci-contre, $X_m$ étant égale ici à $x_0)$ ;

     pour obtenir sa nature périodique, on évalue, par utilisation successive de son intégrale 1^ère énergétique et de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique, la durée de la n^ème oscillation sous forme intégrale $\Delta t_{P_{x_{\text{mur}}=x_0}\stackrel{n}{\to }{P}_{x_{\text{mur}}=-x_0}\stackrel{n}{\to }{P}_{x_{\text{mur}}=x_0}}=2{\int }_{-x_0}^{x_0}\sqrt{\frac{2m{l}_v^2}{k}}\frac{dx}{\sqrt{x_0^4-x^4}}$ et on observe que cette durée ne dépend pas de $n$ d'où la nature périodique, sa période des petites oscillations se réécrivant ${𝒯}_0=4{\int }_0^{x_0}\sqrt{\frac{2m{l}_v^2}{k}}\frac{dx}{\sqrt{x_0^4-x^4}}$ ou encore ${𝒯}_0=$ $4\sqrt{\frac{2m{l}_v^2}{k}}{\int }_0^{x_0}\frac{dx}{\sqrt{x_0^4-x^4}}$ soit finalement ${𝒯}_0=8\sqrt{\frac{m}{2k}}\frac{l_v}{x_0}{\int }_0^1\frac{du}{\sqrt{1-u^4}}$,
établissant l'absence d'isochronisme des petites oscillations dans l'approximation anharmonique.

 

Point matériel M dans une rigole hémi-circulaire, relié à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal d'axe coudé passant par le bord B du diamètre horizontal de la rigole et dont l'autre extrémité est fixée en un point extérieur à ce diamètre

Point matériel M lié de façon bilatérale sans frottements solides avec une rigole hémi-circulaire située dans un plan vertical, à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal d'axe coudé MBA, la partie BA de l'axe étant horizontale et de longueur égale à la longueur à vide l₀ du ressort

     Un point matériel $M$, de masse $m$, est solidaire, par liaison bilatérale, d'une rigole circulaire de centre $O$ et de rayon $𝔞$ d'un plan vertical $($voir figure ci-contre$)$ dans laquelle il peut glisser sans frottements solides dans le champ de pesanteur terrestre uniforme $\overrightarrow{g}$ ;

     ce point est relié à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal, d'axe coudé $MBA$, dont la tension, étant supposée indépendante du caractère coudé de son axe, est imposée par la longueur à charge de son axe coudé $MBA$ ; le ressort est de raideur $k$ et sa longueur à vide est $l_0$ ; d'autre part le point $B$ étant à la distance $l_0$ de $A$, le ressort reste allongé en toute position de $M$ autre que celle de $B$.

     On repère $M$ par son abscisse angulaire $\theta =\widehat{({\overrightarrow{u}}_z,\overrightarrow{OM})}$ où ${\overrightarrow{u}}_z$ est le vecteur unitaire vertical descendant, ${\overrightarrow{u}}_x$ le vecteur unitaire horizontal dirigé de $O$ vers $B$ et ${\overrightarrow{u}}_y$ le vecteur unitaire horizontal orientant les angles du plan vertical de la rigole, ces trois vecteurs unitaires $\{{\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z\}$ définissant la base cartésienne orthonormée directe du repère associé au référentiel supposé galiléen et lié à la rigole.

Détermination de la position d'équilibre du point matériel

     Déterminer, en raisonnant en termes de forces, l'abscisse angulaire ${\theta }_{\text{éq}}$ de la position d'équilibre du point matériel $M$.

Solution

Point matériel M lié de façon bilatérale sans frottements solides avec une rigole hémi-circulaire située dans un plan vertical, à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal d'axe coudé MBA, la partie BA de l'axe étant horizontale et de longueur égale à la longueur à vide l₀ du ressort, avec représentation des forces appliquées à M

     Le point matériel $M$ est soumis aux trois forces suivantes :

• son poids $m\overrightarrow{g}=mg{\overrightarrow{u}}_z$ vertical,
• la force $\overrightarrow{T}(t)$ exercée par le ressort, de ligne d'action $(BM)$, de sens dirigé vers $B$ et de norme $\propto$ à l'allongement du ressort égal à $\Vert \overrightarrow{MB}\Vert$, la longueur $BA$ étant égale à la longueur à vide $l_0$ soit $\overrightarrow{T}(t)=k\Vert \overrightarrow{MB}(t)\Vert {\overrightarrow{u}}_{M\to B}$ et
• la réaction $\overrightarrow{R}(t)$ de la rigole, de direction normale à cette dernière en absence de frottements solides, soit, en utilisant la base locale polaire de pôle $O$ et d'axe polaire $\overrightarrow{Oz}$ liée à $M$, $\overrightarrow{R}(t)=\bar{R}(t){\overrightarrow{u}}_r$ ;

     adoptant le repérage polaire du point $M$ avec $\theta =\widehat{({\overrightarrow{u}}_z,\overrightarrow{OM})}$ on peut réécrire :

• le poids de $M$ selon $m\overrightarrow{g}=mg\cos [\theta (t)]{\overrightarrow{u}}_r-mg\sin [\theta (t)]{\overrightarrow{u}}_{\theta }$ et
• la force $\overrightarrow{T}(t)=k\Vert \overrightarrow{MB}(t)\Vert {\overrightarrow{u}}_{M\to B}$ exercée par le ressort en évaluant
     $\succ$l'angle $\alpha =\widehat{({\overrightarrow{u}}_{\theta },\overrightarrow{MB})}=\frac{\pi }{4}-\frac{\theta }{2}$ $[$en effet $\widehat{MOB}=\frac{\pi }{2}-\theta$ $\Rightarrow$ $\widehat{OMB}+\widehat{MBO}=\frac{\pi }{2}+\theta$ $($relation dans le triangle $OMB)$ et utilisant le caractère isocèle du triangle $MOB$ on en déduit $\widehat{OMB}=\frac{\pi }{4}+\frac{\theta }{2}$ soit encore le résultat énoncé car $\alpha$ est le complémentaire de $\widehat{OMB}]$,
     $\succ$l'allongement du ressort $\Vert \overrightarrow{MB}\Vert =2𝔞\sin (\frac{\pi }{4}-\frac{\theta }{2})$ $[$en effet $MB$ étant la base du triangle isocèle $OMB$, on utilise la hauteur issue de $O$ qui est en même temps médiane et bissectrice, soit, en appelant $H$ le pied de cette hauteur, $MB=2MH$ avec $MH=OM\sin \left(\frac{\widehat{MOB}}{2}\right)$ où $\widehat{MOB}=\frac{\pi }{2}-\theta$, $OM$ étant égal à $𝔞]$ et
     $\succ$le vecteur unitaire ${\overrightarrow{u}}_{M\to B}=-\sin (\alpha ){\overrightarrow{u}}_r+\cos (\alpha ){\overrightarrow{u}}_{\theta }=-\sin (\frac{\pi }{4}-\frac{\theta }{2}){\overrightarrow{u}}_r+\cos (\frac{\pi }{4}-\frac{\theta }{2}){\overrightarrow{u}}_{\theta }$ soit finalement
     $\succ$la force exercée par le ressort $\overrightarrow{T}(t)=2k𝔞\sin (\frac{\pi }{4}-\frac{\theta }{2})[-\sin (\frac{\pi }{4}-\frac{\theta }{2}){\overrightarrow{u}}_r+\cos (\frac{\pi }{4}-\frac{\theta }{2}){\overrightarrow{u}}_{\theta }]=k𝔞[-2{\sin }^2(\frac{\pi }{4}-\frac{\theta }{2}){\overrightarrow{u}}_r+\sin (\frac{\pi }{2}-\theta ){\overrightarrow{u}}_{\theta }]$ ;

     la direction du mouvement de $M$ étant ${\overrightarrow{u}}_{\theta }$ la composante de la force « motrice » sur cette direction est $F_{\theta }(M)=-mg\sin (\theta )+k𝔞\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )$ soit finalement $F_{\theta }(M)=-mg\sin (\theta )+k𝔞\cos (\theta )$ et

     la condition d'équilibre s'obtenant par $F_{\theta }(M_{\text{éq}})=0$, la recherche des zéros de $F_{\theta }(M)=F_{\theta }(\theta )$ nous conduit à l'équation $-mg\sin ({\theta }_{\text{éq}})+k𝔞\cos ({\theta }_{\text{éq}})=0$ ou $\tan ({\theta }_{\text{éq}})=\frac{k𝔞}{mg}$ soit, en limitant la recherche des zéros sur l'intervalle $]-\frac{\pi }{2},+\frac{\pi }{2}[$ ${\theta }_{\text{éq}}=\arctan \left(\frac{k𝔞}{mg}\right)$.

 

Détermination de la stabilité de la position d'équilibre du point matériel

     Démontrer, en raisonnant en termes de forces, la stabilité de la position d'équilibre du point matériel $M$.

Solution

     Pour déterminer la nature stable de l'équilibre étudié, on s'intéresse à la composante de force « motrice » $F_{\theta }(\theta )=-mg\sin (\theta )+ka\cos (\theta )$ et on établit que celle-ci est « de rappel » relativement à la position d'équilibre ;

     pour cela on pose $\theta ={\theta }_{\text{éq}}+\epsilon$ et on fait un D.L. de $F_{\theta }(\theta )$ à l'ordre un en $\epsilon$ au voisinage de ${\theta }_{\text{éq}}$ soit $F_{\theta }(\theta )\simeq \cancel{F_{\theta }({\theta }_{\text{éq}})+}{F_{\theta }}^{\prime }({\theta }_{\text{éq}})\epsilon$, la stabilité nécessitant, dans la mesure où ${F_{\theta }}^{\prime }({\theta }_{\text{éq}})$ est non nulle, ${F_{\theta }}^{\prime }({\theta }_{\text{éq}})<0$ ;

     la dérivation de $F_{\theta }(\theta )=-mg\sin (\theta )+ka\cos (\theta )$ relativement à $\theta$ conduisant à $\frac{d{F}_{\theta }}{d\theta }(\theta )=-mg\cos (\theta )-ka\sin (\theta )$, nous en déduisons $\frac{d{F}_{\theta }}{d\theta }({\theta }_{\text{éq}})<0$ car ${\theta }_{\text{éq}}\in ]0,\frac{\pi }{2}[$ et par suite que la position d'équilibre étudiée est effectivement stable.

 

Étude des petits mouvements du point matériel autour de sa position d'équilibre stable

     Dans le but d'étudier les petits mouvements du point matériel $M$ autour de sa position d'équilibre stable, écrire l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\theta (t)$ du mouvement de $M$ sans tenir compte de la petitesse de $|\theta (t)-{\theta }_{\text{éq}}|$ puis,

     en introduisant l'écart angulaire $\epsilon (t)=\theta (t)-{\theta }_{\text{éq}}$ relativement à l'abscisse angulaire d'équilibre, écart dont on ne tient toujours pas compte de la petitesse de sa valeur absolue, réécrire cette équation différentielle du 2^ème ordre en $\epsilon (t)$ ;

     faire un D.L. à l'ordre un de l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\epsilon (t)$ tenant compte du caractère « petit » de la valeur absolue de l'écart angulaire relativement à l'abscisse de la position d'équilibre puis

     vérifier que l'approximation des petits mouvements de l'oscillateur non linéaire $M$ est alors harmonique et

     préciser la période ${𝒯}_0$ de ses petites élongations.

Solution

     L'équation différentielle du 2^ème ordre en $\theta (t)$ du mouvement de $M$ $($sans tenir compte de $|\theta (t)-{\theta }_{\text{éq}}|\ll 1)$, s'obtient, par projection sur ${\overrightarrow{u}}_{\theta }$, de la r.f.d.n. appliquée à $M$ dans le référentiel d'étude supposé galiléen soit $F_{\theta }[\theta (t)]=m{a}_{M,\theta }(t)$ avec $a_{M,\theta }(t)=𝔞\ddot{\theta }(t)$, ou $-mg\sin [\theta (t)]+ka\cos [\theta (t)]=m𝔞\ddot{\theta }(t)$ d'où, en normalisant, $\ddot{\theta }(t)+\frac{g}{𝔞}\sin [\theta (t)]-\frac{k}{m}\cos [\theta (t)]=0$ ;      en introduisant $\epsilon (t)=\theta (t)-{\theta }_{\text{éq}}$ $\Rightarrow$ $\theta (t)={\theta }_{\text{éq}}+\epsilon (t)$ ainsi que $\ddot{\theta }(t)=\ddot{\epsilon }(t)$, puis en reportant dans l'expression de l'équation différentielle du 2^ème ordre précédemment déterminée, on obtient $\ddot{\epsilon }(t)+\frac{g}{𝔞}\sin [{\theta }_{\text{éq}}+\epsilon (t)]-\frac{k}{m}\cos [{\theta }_{\text{éq}}+\epsilon (t)]=0$ ou, avec $\left\{\begin{array}{c}\sin ({\theta }_{\text{éq}}+\epsilon )=\sin ({\theta }_{\text{éq}})\cos (\epsilon )+\cos ({\theta }_{\text{éq}})\sin (\epsilon )\\ \cos ({\theta }_{\text{éq}}+\epsilon )=\cos ({\theta }_{\text{éq}})\cos (\epsilon )-\sin ({\theta }_{\text{éq}})\sin (\epsilon )\end{array}\right\}$, la réécriture de l'équation différentielle selon $\ddot{\epsilon }(t)+\frac{g}{𝔞}\{\sin ({\theta }_{\text{éq}})\cos [\epsilon (t)]+\cos ({\theta }_{\text{éq}})\sin [\epsilon (t)]\}-\frac{k}{m}\{\cos ({\theta }_{\text{éq}})\cos [\epsilon (t)]-\sin ({\theta }_{\text{éq}})\sin [\epsilon (t)]\}=0$ soit encore, en regroupant les facteurs de $\cos [\epsilon (t)]$ et ceux de $\sin [\epsilon (t)]$ et en remarquant que celui de $\cos [\epsilon (t)]$ est nul $\{$en effet de la condition d'équilibre $-mg\sin ({\theta }_{\text{éq}})+k𝔞\cos ({\theta }_{\text{éq}})=0$ on en déduit $\frac{g}{𝔞}\sin ({\theta }_{\text{éq}})-\frac{k}{m}\cos ({\theta }_{\text{éq}})=\frac{-1}{m𝔞}[-mg\sin ({\theta }_{\text{éq}})+k𝔞\cos ({\theta }_{\text{éq}})]=0\}$, $\ddot{\epsilon }(t)+[\frac{g}{𝔞}\cos ({\theta }_{\text{éq}})+\frac{k}{m}\sin ({\theta }_{\text{éq}})]\sin [\epsilon (t)]=0$ ;      avec $|\epsilon (t)|\ll 1$, correspondant à $\epsilon (t)$ infiniment petit d'ordre un, le D.L. de $\sin (\epsilon )$ à l'ordre un en $\epsilon$ au voisinage de $0$ étant $\sin (\epsilon )\simeq \epsilon$, on en déduit l'expression approchée à l'ordre un de l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\epsilon (t)$ $\ddot{\epsilon }(t)+[\frac{g}{𝔞}\cos ({\theta }_{\text{éq}})+\frac{k}{m}\sin ({\theta }_{\text{éq}})]\epsilon (t)=0$ ou,

     après mise en facteur de $\frac{g}{𝔞}\cos ({\theta }_{\text{éq}})$ dans le cœfficient de $\epsilon (t)$ de façon à pouvoir utiliser la condition d'équilibre $\tan ({\theta }_{\text{éq}})=\frac{k𝔞}{mg}$ et simplifier l'équation différentielle approchée, $\ddot{\epsilon }(t)+\frac{g}{𝔞}\cos ({\theta }_{\text{éq}})[1+\frac{k𝔞}{mg}\tan ({\theta }_{\text{éq}})]\epsilon (t)=0$ dont on déduit :

• en remplaçant $\frac{k𝔞}{mg}$ par $\tan ({\theta }_{\text{éq}})$, $\ddot{\epsilon }(t)+\frac{g}{𝔞}\cos ({\theta }_{\text{éq}})[1+{\tan }^2({\theta }_{\text{éq}})]\epsilon (t)=0$ soit, avec $1+{\tan }^2({\theta }_{\text{éq}})=\frac{1}{{\cos }^2({\theta }_{\text{éq}})}$, l'équation différentielle approchée suivante $\ddot{\epsilon }(t)+\frac{g}{𝔞\mathfrak{cos}\mathfrak{(}{\theta }_{\text{éq}}\mathfrak{)}}\epsilon (t)=0$ ou
• en remplaçant $\tan ({\theta }_{\text{éq}})$ par $\frac{k𝔞}{mg}$, $\ddot{\epsilon }(t)+\frac{g}{𝔞}\cos ({\theta }_{\text{éq}})[1+\frac{k^2{𝔞}^2}{m^2{g}^2}]\epsilon (t)=0$ et $\cos ({\theta }_{\text{éq}})$ par $\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2({\theta }_{\text{éq}})}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{k^2{𝔞}^2}{m^2{g}^2}}}$, une autre forme de l'équation différentielle approchée n'utilisant pas ${\theta }_{\text{éq}}$, soit $\ddot{\epsilon }(t)+\frac{g}{𝔞}\sqrt{1+\frac{k^2{𝔞}^2}{m^2{g}^2}}\epsilon (t)=0$ ou encore $\ddot{\epsilon }(t)+\sqrt{\frac{g^2}{{𝔞}^2}+\frac{k^2}{m^2}}\epsilon (t)=0$ ;

     on constate que, quelle que soit la forme approchée de l'équation différentielle à l'ordre un en $\epsilon (t)$ des petits mouvements du point $M$, l'approximation est harmonique, l'équation différentielle étant linéarisée, ce qui implique que les petits mouvements de $M$ sont sinusoïdaux de période des petites élongations ${𝒯}_0=\frac{2\pi }{\sqrt{\frac{g}{𝔞\mathfrak{cos}\mathfrak{(}{\theta }_{\text{éq}}\mathfrak{)}}}}=2\pi \sqrt{\frac{𝔞\mathfrak{cos}\mathfrak{(}{\theta }_{\text{éq}}\mathfrak{)}}{g}}=\frac{2\pi }{\sqrt[4]{\frac{g^2}{{𝔞}^2}+\frac{k^2}{m^2}}}$.

 

Étude des petits mouvements autour de l'équilibre (ou des équilibres) stable(s) d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale

Schéma d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure R fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel M de masse m pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale

     L'objet de cet exercice consiste à étudier les petites oscillations d'un système mécanique au voisinage de sa (ou de ses) position(s) d'équilibre stable et en particulier de les observer au voisinage d'une bifurcation $($c'est-à-dire d'un changement du nombre de positions d'équilibre, de la position d'équilibre stable ou autres changements consécutifs à une variation d'un paramètre caractérisant les équilibres du système mécanique $\dots )$.

     On s'intéresse au système mécanique suivant : un objet assimilé à un point matériel $M$, de masse $m$, est fixé à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal, à spires non jointives, de longueur à vide $l_v$ et de constante de raideur $k$, dont l'extrémité supérieure est fixée en un point $R$.

     L'objet peut coulisser sans frottement horizontalement sur une tige (voir la figure ci-contre).

     On repère la position du point $M$ sur cette tige par son abscisse $x$ sur l'axe confondu avec la tige dont l'origine $O$ est située sur la même verticale que le point d’attache $R$ fixe du ressort, cet axe horizontal $\overrightarrow{Ox}$ étant orienté arbitrairement vers la droite, l'axe vertical $\overrightarrow{Oy}$ l'étant vers le haut.

     La tige se trouve à une distance $\lambda$ du point $R$ c'est-à-dire $OR=\lambda$.

     La 1^ère partie « recherche des positions d'équilibre » de cet exercice ayant déjà été traité dans « étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale … » de la série d'exercices du chap.$18$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » nous nous contenterons de rappeler les questions ainsi que les principaux résultats de la solution en renvoyant à l'exercice précité pour les détails.

Recherche des positions d'équilibre

     On recherche les positions d'équilibre ainsi que leur stabilité suivant le paramètre $\lambda =OR$ dont on fera varier la valeur.

Détermination qualitative du nombre de positions d'équilibre et de la stabilité de celles-ci (détermination graphique) quand λ varie à partir de sa valeur initiale l_v

     Initialement le point matériel $M$ se trouve en $O$ et $\lambda =OR=l_v$.

     Décrire qualitativement (aucun calcul n'est demandé) le nombre de positions d'équilibre et graphiquement la stabilité de celles-ci suivant qu'on

• rapproche la tige du point $R$ c'est-à-dire que $\lambda \searrow$ à partir de $l_v$ ou
• éloigne la tige du point $R$ c'est-à-dire que $\lambda \nearrow$ à partir de $l_v$.

Solution

     Voir la solution de la question « détermination qualitative du nombre de positions d'équilibre et de la stabilité de celles-ci (détermination graphique) quand λ varie à partir de sa valeur initiale l_v » ayant déjà été traitée dans « étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale … » de la série d'exercices du chap.$18$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ; les principaux résultats sont :

• dans le cas $\lambda >l_v$ il y a « une seule position d'équilibre $O$» « stable » ;
• dans le cas $\lambda <l_v$ il y a « trois positions d'équilibre $O$, $M_{\text{éq},d}$ et $M_{\text{éq},g}$», $O$ est un équilibre « instable » alors que $M_{\text{éq},d}$ et $M_{\text{éq},g}$ sont des équilibres « stables » ;
• dans le cas $\lambda =l_v$ il y a « une seule position d'équilibre $O$» et cet équilibre est « stable ».

 

Détermination de l'expression de l'énergie potentielle élastique de l'objet M pour λ quelconque

     On considère maintenant $OR=\lambda$ quelconque.

     Déterminer l'expression de l'énergie potentielle élastique $U_{\text{élast}}(x)$ de l'objet $M$ en fonction de $k$, $l_v$, $\lambda$ et $x$ en choisissant sa référence en $O$.

Solution

     Voir la solution de la question « détermination de l'expression de l'énergie potentielle élastique de l'objet M pour λ quelconque » ayant déjà été traitée dans « étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale … » de la série d'exercices du chap.$18$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ; le principal résultat est $U_{\text{élast}}(x)=\frac{1}{2}k{(\sqrt{{\lambda }^2+x^2}-l_v)}^2-\frac{1}{2}k{(\lambda -l_v)}^2$.

 

Tracé des deux types principaux de profils d'énergie potentielle élastique de l'objet M suivant les valeurs de λ quelconque

     Vérifier que l'allure des diagrammes d'énergie potentielle élastique de l'objet $M$ diffère suivant que $\left\{\begin{array}{c}\lambda <l_v\\ \lambda ⩾l_v\end{array}\right\}$ et

     représenter chaque type de profil d'énergie potentielle élastique $($pour $\lambda ⩾l_v$ tracer un profil associé à $\lambda >l_v$ et celui à $\lambda =l_v)$.

Solution

Diagrammes d'énergie potentielle d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure R fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel M de masse m pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale suivant que le ressort dans son état initial vertical est comprimé, à vide ou étiré

     Voir la solution de la question « tracé des deux types principaux de profils d'énergie potentielle élastique de l'objet M suivant les valeurs de λ quelconque » ayant déjà été traitée dans « étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale … » de la série d'exercices du chap.$18$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;

     ci-contre est rappelé les différents types de profil d'énergie potentielle élastique suivant que

• $\lambda <l_v$ $($en rouge$)$ ou
• $\lambda ⩾l_v$ $($en vert et bleu$)$.

 

Détermination algébrique des abscisses d'équilibre x_éq de M et vérification de leur stabilité (de façon algébrique) suivant les valeurs de λ quelconque

     Déterminer les abscisses des positions d'équilibre $x_{\text{éq}}$ de l'objet $M$ en distinguant les deux cas $\left\{\begin{array}{c}\lambda <l_v\\ \lambda ⩾l_v\end{array}\right\}$ et

     préciser, dans chaque cas, si la position d’équilibre est stable ou non.

Solution

     Voir la solution de la question « détermination algébrique des abscisses d'équilibre x_éq de M et vérification de leur stabilité (de façon algébrique) suivant les valeurs de λ quelconque » ayant déjà été traitée dans « étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale … » de la série d'exercices du chap.$18$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ; les principaux résultats sont :

• $x=0$ est une 1^ère abscisse de position d'équilibre pour tout $\lambda =OR$ et
• pour $\lambda <l_v$, il y avait deux autres abscisses de positions d'équilibre notées respectivement $x_{\text{éq},d}$ et $x_{\text{éq},g}$ déterminées par
     pour $colortransparent\lambda <l_v$, $\succ$ $l_{\text{éq},d}=l_v$ soit, avec $l_{\text{éq},d}=\sqrt{{\lambda }^2+x_{\text{éq},d}^2}$ et $x_{\text{éq},d}>0$, $x_{\text{éq},d}=\sqrt{l_v^2-{\lambda }^2}$ et par
     pour $colortransparent\lambda <l_v$, $\succ$ $l_{\text{éq},g}=l_v$ soit, avec $l_{\text{éq},g}=\sqrt{{\lambda }^2+x_{\text{éq},g}^2}$ et $x_{\text{éq},g}<0$, $x_{\text{éq},g}=-\sqrt{l_v^2-{\lambda }^2}$ ;

     la détermination algébrique s'obtient par recherche des zéros de ${\overrightarrow{T}}_h=T_x{\overrightarrow{u}}_x$ avec $T_x=-\frac{d{U}_{\text{élast}}}{dx}(x)=-kx(1-\frac{l_v}{\sqrt{{\lambda }^2+x^2}})$ qui s'annule effectivement

• en $x_{\text{éq},1}=0\mathrm{\forall }\lambda$ et,
• sous conditions, en $x_{\text{éq},d}>0$ et $x_{\text{éq},g}<0$ de même valeur absolue $x_{\text{éq},2}>0$ telle que $\sqrt{{\lambda }^2+x_{\text{éq},2}^2}=l_v$ $\Rightarrow$ $x_{\text{éq},2}=\sqrt{l_v^2-{\lambda }^2}$ n'existant en étant $\ne 0$ que pour $\lambda <l_v$ d'où les deux autres zéros conditionnels $\left\{\begin{array}{c}{x}_{\text{éq},d}=\sqrt{l_v^2-{\lambda }^2}\\ x_{\text{éq},g}=-\sqrt{l_v^2-{\lambda }^2}\end{array}\right\}\text{si }\lambda <l_v$.

     Ces équilibres sont stables dans la mesure où la force « motrice » ${\overrightarrow{T}}_h=T_x{\overrightarrow{u}}_x$ est une composante « de rappel » ; on le justifie en calculant $\frac{d{T}_x}{dx}(x_{\text{éq}})=$ $-k[1-l_v\frac{{\lambda }^2}{{({\lambda }^2+x^2)}^{\frac{3}{2}}}]$ d'où :

• pour $x_{\text{éq},1}=0$, $\frac{d{T}_x}{dx}(x_{\text{éq},1})=-k(1-\frac{l_v}{\lambda })\left\{\begin{array}{c}<0\text{si}\lambda >l_v\\ =0\text{si}\lambda =l_v\\ >0\text{si}\lambda <l_v\end{array}\right\}$ $\Rightarrow$ équilibre $\left\{\begin{array}{c}\text{stable si}\lambda >l_v\\ \text{? si}\lambda =l_v\\ \text{instable si}\lambda <l_v\end{array}\right\}$,
• pour $\left\{\begin{array}{c}{x}_{\text{éq},d}=\sqrt{l_v^2-{\lambda }^2}=x_{\text{éq},2}\\ x_{\text{éq},g}=-\sqrt{l_v^2-{\lambda }^2}=-x_{\text{éq},2}\end{array}\right\}\text{avec }\lambda <l_v$, $\frac{d{T}_x}{dx}(x_{\text{éq},2})=-k(1-\frac{{\lambda }^2}{l_v^2})<0$ d'où la stabilité des deux équilibres $\left\{\begin{array}{c}{x}_{\text{éq},d}=\sqrt{l_v^2-{\lambda }^2}\\ x_{\text{éq},g}=-\sqrt{l_v^2-{\lambda }^2}\end{array}\right\}$ ;
• équilibre $x_{\text{éq},1}=0$ pour $\lambda =l_v$ : $\frac{d{T}_{x,\lambda =l_v}}{dx}(x_{\text{éq},1})$ étant nul, il faut calculer $\frac{d^2{T}_{x,\lambda =l_v}}{d{x}^2}(x)=-k\frac{3l_v^{3}x}{{(l_v^2+x^2)}^{\frac{5}{2}}}$ $\Rightarrow$ $\frac{d^2{T}_{x,\lambda =l_v}}{d{x}^2}(x_{\text{éq},1})=0$ et $\frac{d^3{T}_{x,\lambda =l_v}}{d{x}^3}(x)=$ $-3k{l}_v^3\frac{l_v^2-4x^2}{{(l_v^2+x^2)}^{\frac{7}{2}}}$ donnant $\frac{d^3{T}_{x,\lambda =l_v}}{d{x}^3}(x_{\text{éq},1})=$ $-\frac{3k}{l_v^2}<0$ et par suite assurant la stabilité de l'équilibre $x_{\text{éq},1}=0$ pour $\lambda =l_v$.

 

Représentation des abscisses d'équilibre x_éq de M en fonction du paramètre λ avec précision de leur stabilité, notion de bifurcation fourche

     Représenter, sur un même diagramme, les abscisses d'équilibre $x_{\text{éq}}$ de l'objet $M$ en fonction du paramètre $OR=\lambda$ caractérisant le système, on indiquera nettement sur ce graphe $($par exemple à l'aide de couleurs différentes$)$ la nature de l'équilibre $($stabilité ou instabilité$)$.

     Tenter alors de justifier le nom donné à la bifurcation $($observée en $\lambda =l_v)$ « bifurcation fourche ».

Solution

Diagramme de bifurcation représentant les abscisses d'équilibre d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure R fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel M de masse m pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale avec leur stabilité (ou instabilité) suivant la distance verticale séparant la tige de R

     Voir la solution de la question «  représentation des abscisses d'équilibre x_éq de M en fonction du paramètre λ avec précision de leur stabilité, notion de bifurcation fourche » ayant déjà été traitée dans « étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale … » de la série d'exercices du chap.$18$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;

     ci-contre le « diagramme de bifurcation » représentant les abscisses $x_{\text{éq}}$ d'équilibre du point matériel $M$ suivant le paramètre $\lambda =OR$ caractérisant le système, $($l'état de « stabilité » de l'équilibre étant indiqué en traits pleins rouges et celui d'« instabilité » en traits pointillés bleus$)$.

     « Une bifurcation dans un diagramme représentant les abscisses d'équilibre du point matériel d'un système en fonction du paramètre caractérisant le système étudié » est « la valeur de ce paramètre correspondant à un changement de nombre de positions d'équilibre »,

~Une bifurcation elle peut aussi, « quand une position d'équilibre existe pour toute valeur du paramètre », être « la valeur de celui-ci accompagnant la modification de stabilité de cet équilibre » :

     ainsi, dans le diagramme ci-contre, $\lambda =l_v$ est une bifurcation car

• d'une part cette valeur correspond à un changement de nombre de positions d’équilibre $($passant de trois à une quand $\lambda$ traverse $l_v$ en $\nearrow )$ et
• d'autre part l'abscisse $x_{\text{éq},1}=0$ existe pour toute valeur de $\lambda$ avec une modification de stabilité lors de la traversée de la bifurcation $($passant de l'instabilité à la stabilité quand $\lambda$ traverse $l_v$ en $\nearrow )$ $[$une conséquence de ce 2^ème aspect de la bifurcation est que cette dernière caractérise un changement de positions d'équilibre stable $($passant de deux équilibres stables d'abscisses $\ne 0$ à un équilibre stable d'abscisse $=0$ quand $\lambda$ traverse $l_v$ en $\nearrow \left)\right]$.

 

Bifurcation à symétrie brisée

     On dit également de cette bifurcation qu'elle est « à symétrie brisée » ; tenter de justifier cette propriété.

Solution

     La solution de la question «  bifurcation à symétrie brisée » déjà traitée dans « étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale … » de la série d'exercices du chap.$18$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » étant relativement courte, est rappelée, in extenso, ci-dessous :

     Cette bifurcation est dite « à symétrie brisée » car

• pour $\lambda >l_v$, la position d'équilibre stable étant $x_{\text{éq},1}=0$, les oscillations autour de cette dernière se fait de façon symétrique relativement à $x_{\text{éq},1}=0$ alors que
• pour $\lambda <l_v$, il y a deux positions d'équilibre stable $x_{\text{éq},d}=\sqrt{l_v^2-{\lambda }^2}$ et $x_{\text{éq},g}=-\sqrt{l_v^2-{\lambda }^2}$, les oscillations autour de chaque position d'équilibre ne se faisant pas de façon symétrique relativement à l'abscisse de l'équilibre considéré d'où

une brisure de symétrie.

 

Détermination des pulsations possibles des petits mouvements autour d'une position d'équilibre stable

     On cherche maintenant à déterminer les pulsations des petites oscillations autour des positions d’équilibre stable.

Établissement de l'expression de la pulsation des petites oscillations autour d'une position d'équilibre stable pour laquelle l'approximation de l'oscillateur non linéaire est harmonique

     En écrivant la r.f.d.n. appliqué à un point matériel $M$ de masse $m$ représentant un oscillateur « non linéaire » unidirectionnel selon l'axe $\overrightarrow{x^{\prime }x}$ $($il ne s'agit pas nécessairement de l'oscillateur « non linéaire » étudié dans cet exercice$)$, montrer que la pulsation $\omega$ des petites oscillations s'exprime selon

$\omega \simeq \sqrt{\frac{1}{m}\frac{d^2{U}_{\text{oscill}}}{d{x}^2}(x_{\text{éq. st.}})}$ dans laquelle $U_{\text{oscill}}(x)$ est l'énergie potentielle de $M$ dont dérive la composante motrice,

     ceci dans la mesure où $x_{\text{éq. st.}}$ est l'abscisse d'une position d'équilibre stable pour laquelle l'approximation de l'oscillateur « non linéaire » au voisinage de cette dernière est harmonique.

Solution

     Dans le cas général où un point matériel $M$, de masse $m$, à un degré de liberté $($on se limite à un mouvement unidirectionnel le long de l'axe $\overrightarrow{x^{\prime }x}$, la position de $M$ étant repérée par son abscisse $x)$ possède l'énergie potentielle $U_{\text{oscill}}(x)$ associée à la force conservative « motrice » $\overrightarrow{F}(M)=F(x){\overrightarrow{u}}_x$, c'est-à-dire telle que $F(x)=-\frac{d{U}_{\text{oscill}}}{dx}(x)$ découlant de $\overrightarrow{F}(M)=-\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U_{\text{oscill}}\right](M)$, la condition d'équilibre stable repérée par $x_{\text{éq. st.}}$ correspondant à $F(x_{\text{éq. st.}})=0$ avec, dans le cas où l'approximation des petits mouvements autour de la position d'équilibre stable est harmonique, $F^{\prime }(x_{\text{éq. st.}})<0$, on peut en déduire $\frac{d{U}_{\text{oscill}}}{dx}(x_{\text{éq. st.}})=0$ avec $\frac{d^2{U}_{\text{oscill}}}{d{x}^2}(x_{\text{éq. st.}})>0$ dans le même cas d'approximation harmonique des petits mouvements autour de la position d'équilibre stable ;

     l'application, dans le référentiel d'étude supposé galiléen, de la r.f.d.n. au point matériel $M$, projetée sur ${\overrightarrow{u}}_x$, donnant $F[x(t)]=m\ddot{x}(t)$ ou, en introduisant l'écart de l'abscisse instantanée de $M$ relativement à celle de sa position d'équilibre stable $\epsilon (t)=x(t)-x_{\text{éq. st.}}$ $\Rightarrow$ $\ddot{x}(t)=\ddot{\epsilon }(t)$ et en faisant un D.L. de $F(x_{\text{éq. st.}}+\epsilon )$ à l'ordre un en $\epsilon$ au voisinage de $x_{\text{éq. st.}}$ $\Rightarrow$ $F(x_{\text{éq. st.}}+\epsilon )\simeq$ $\cancel{F(x_{\text{éq. st.}})+}{F}^{\prime }(x_{\text{éq. st.}})\epsilon =-\frac{d^2{U}_{\text{oscill}}}{d{x}^2}(x_{\text{éq. st.}})\epsilon$, la réécriture de l'équation différentielle des petits mouvements de $M$ autour de la position d'équilibre stable à approximation harmonique $-\frac{d^2{U}_{\text{oscill}}}{d{x}^2}(x_{\text{éq. st.}})\epsilon (t)=m\ddot{\epsilon }(t)$ soit, en regroupant dans un même membre et en normalisant, $\ddot{\epsilon }(t)+\frac{1}{m}\frac{d^2{U}_{\text{oscill}}}{d{x}^2}(x_{\text{éq. st.}})\epsilon (t)=0$

     dont on déduit la pulsation des petites oscillations du mouvement de $M$ au voisinage de la position d'équilibre stable, à savoir $\omega \simeq \sqrt{\frac{1}{m}\frac{d^2{U}_{\text{oscill}}}{d{x}^2}(x_{\text{éq. st.}})}$.

 

Expression de la pulsation des petites oscillations autour d'une position d'équilibre stable de l'oscillateur « non linéaire » étudié dans cet exercice pour laquelle son approximation est harmonique

     Pour le système étudié dans cet exercice, exprimer la pulsation $\omega$ des petites oscillations dans le cadre de l'approximation harmonique en fonction de $k$, $m$, $\lambda$ et $l_v$ en distinguant les cas $\lambda <l_v$ et $\lambda >l_v$.

Solution

     Dans le cas $\lambda =OR>l_v$, il y a une seule position d'équilibre stable $x_{\text{éq},1}=0$ et $\frac{d^2{U}_{\text{oscill}}}{d{x}^2}(x_{\text{éq},1})=-\frac{d{T}_x}{dx}(x_{\text{éq},1})=k(1-\frac{l_v}{\lambda })$ d'où l'expression de la pulsation $\omega$ des petites oscillations autour de la position d'équilibre stable dans le cadre de l'approximation harmonique $\omega \simeq \sqrt{\frac{k}{m}(1-\frac{l_v}{\lambda })}$ ;      dans le cas $\lambda =OR<l_v$, il y a deux positions d'équilibre stable $\left\{\begin{array}{c}{x}_{\text{éq},d}=\sqrt{l_v^2-{\lambda }^2}=x_{\text{éq},2}\\ x_{\text{éq},g}=-\sqrt{l_v^2-{\lambda }^2}=-x_{\text{éq},2}\end{array}\right\}$ et $\frac{d^2{U}_{\text{oscill}}}{d{x}^2}(\pm x_{\text{éq},2})=-\frac{d{T}_x}{dx}(\pm x_{\text{éq},2})=k(1-\frac{{\lambda }^2}{l_v^2})$ d'où l'expression de la pulsation $\omega$ des petites oscillations autour de l'une ou l'autre des positions d'équilibre stable dans le cadre de l'approximation harmonique $\omega \simeq \sqrt{\frac{k}{m}(1-\frac{{\lambda }^2}{l_v^2})}$.

 

Tracé du diagramme représentant la pulsation des petites oscillations autour d'une position d'équilibre stable de l'oscillateur « non linéaire » étudié dans le cadre de son approximation harmonique en fonction du paramètre λ

     Tracer le graphe de la pulsation $\omega$ des petites oscillations de l'oscillateur « non linéaire » étudié dans le cadre de l'approximation harmonique en fonction du paramètre $\lambda \ne l_v$.

Solution

Diagramme représentant la pulsation des petites oscillations autour d'une position d'équilibre stable de l'approximation harmonique d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure R fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel M de masse m pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale, suivant la distance verticale séparant la tige de R

     Voir ci-contre le tracé du graphe de la pulsation $\omega$ des petites oscillations de l'oscillateur « non linéaire » étudié dans le cadre de l'approximation harmonique en fonction du paramètre $\lambda \ne l_v$ avec

• en rouge la partie correspondant à $\lambda =OR>l_v$ $\{$on s'est limité à l'intervalle $]l_v,2l_v]$ pour rester dans le domaine d'élasticité au voisinage de la position d'équilibre correspondant à l'axe du ressort vertical$\}$ la pulsation des petites oscillations autour de la position d'équilibre stable $x_{\text{éq},1}=0$ ayant pour équation $\omega \simeq \sqrt{\frac{k}{m}(1-\frac{l_v}{\lambda })}$ et
• en bleu la partie correspondant à $\lambda =OR<l_v$ $\{$on a choisi l'intervalle $[0,l_v[$ car on s'intéresse aux deux positions d'équilibre stable $\pm x_{\text{éq},2}=\pm \sqrt{l_v^2-{\lambda }^2}$ et non à la position d'équilibre instable $x_{\text{éq},1}=0$ pour laquelle les petites valeurs de $\lambda$ conduirait le ressort à être en dehors de son domaine d'élasticité$\}$ la pulsation des petites oscillations autour de l'une ou l'autre position d'équilibre stable $\pm x_{\text{éq},2}=\pm \sqrt{l_v^2-{\lambda }^2}$ ayant pour équation $\omega \simeq \sqrt{\frac{k}{m}(1-\frac{{\lambda }^2}{l_v^2})}$ ;

     on constate sur la courbe rouge que $\omega \to 0^{+}$ quand $\lambda \to l_v^{+}$, de même

     on constate sur la courbe bleue que $\omega \to 0^{+}$ quand $\lambda \to l_v^{-}$, les deux pulsations d'équilibre stable se rapprochant alors symétriquement de la position d'équilibre instable $x_{\text{éq},1}=0$ et

     on constate sur la courbe bleue que $\omega \to {\left[\sqrt{\frac{k}{m}}\right]}^{-}$ quand $\lambda \to 0^{+}$, les deux pulsations d'équilibre stable tendant vers $\pm l_v^{\mp }$.

 

Détermination d'une expression approchée de la pulsation des petites oscillations autour d'une position d'équilibre stable de l'oscillateur « non linéaire » étudié dans le cadre de son approximation harmonique quand le paramètre λ reste dans le voisinage de l_v

     Montrer que la pulsation $\omega$ des petites oscillations autour d'une position d'équilibre stable de l'oscillateur « non linéaire » étudié dans le cadre de son approximation harmonique peut s'écrire, quand le paramètre $\lambda$ reste dans le voisinage de $l_v$ selon

$\omega \simeq \left\{\begin{array}{c}a{(\lambda -l_v)}^{\alpha }\text{si }\lambda \in 𝒱\left[l_v^{+}\right]\\ b{(l_v-\lambda )}^{{\alpha }^{\prime }}\text{si }\lambda \in 𝒱\left[l_v^{-}\right]\end{array}\right\}$ ;

     expliciter les exposants, dits critiques, $\alpha$ et ${\alpha }^{\prime }$ ainsi que les cœfficients $a$ et $b$.

     Proposer une démarche expérimentale pour déterminer les exposants critiques $\alpha$ et ${\alpha }^{\prime }$ ;

     leur obtention vous semble-t-elle aisée ?

Solution

     Quand $\lambda \in 𝒱\left[l_v^{+}\right]$, nous sommes dans le cas $\lambda =OR>l_v$ et la pulsation des petites oscillations étant définie par $\omega \simeq \sqrt{\frac{k}{m}(1-\frac{l_v}{\lambda })}$, permet de déduire aisément ${\omega }^2\simeq \frac{k}{m\lambda }(\lambda -l_v)$ ou, en considérant $(\lambda -l_v)\ll l_v$ $\iff$ $\frac{\lambda -l_v}{l_v}\ll 1$ comme un infiniment petit d'ordre un, ${\omega }^2\simeq \frac{k{l}_v}{m\lambda }\frac{\lambda -l_v}{l_v}$ $[$c'est-à-dire un produit de deux facteurs dans lequel le 2^ème facteur est un infiniment petit d'ordre un, il suffira, pour obtenir un D.L. de cette expression à l'ordre un, de considérer le D.L. du 1^er facteur à l'ordre zéro$]$ dans lequel le 1^er facteur $\frac{k{l}_v}{m\lambda }$ se réécrit, en faisant apparaître l'infiniment petit d'ordre un dans $\lambda =l_v+(\lambda -l_v)=l_v(1+\frac{\lambda -l_v}{l_v})$, selon $\frac{k{l}_v}{m\lambda }=\frac{k}{m}{(1+\frac{\lambda -l_v}{l_v})}^{-1}$ d'où son D.L. à l'ordre zéro $\frac{k{l}_v}{m\lambda }\simeq \frac{k}{m}\times 1=\frac{k}{m}$ et par suite, le D.L. de ${\omega }^2$ à l'ordre un s'écrit ${\omega }^2\simeq \frac{k}{m}\frac{\lambda -l_v}{l_v}=$ $\frac{k}{m{l}_v}(\lambda -l_v)$, soit la réécriture de la pulsation des petites oscillations sous la forme approchée $\omega \simeq \sqrt{\frac{k}{m{l}_v}}{(\lambda -l_v)}^{\frac{1}{2}}$ c'est-à-dire effectivement de la forme
$\omega \simeq a{(\lambda -l_v)}^{\alpha }$ avec $a=\sqrt{\frac{k}{m{l}_v}}$ et $\alpha =\frac{1}{2}$ ;      quand $\lambda \in 𝒱\left[l_v^{-}\right]$, nous sommes dans le cas $\lambda =OR<l_v$ et la pulsation des petites oscillations étant définie par $\omega \simeq \sqrt{\frac{k}{m}(1-\frac{{\lambda }^2}{l_v^2})}$, permet de déduire aisément ${\omega }^2\simeq \frac{k}{m{l}_v^2}(l_v^2-{\lambda }^2)$ ou, en considérant $(l_v-\lambda )\ll l_v$ $\iff$ $\frac{l_v-\lambda }{l_v}\ll 1$ comme un infiniment petit d'ordre un, ${\omega }^2\simeq \frac{k}{m}\frac{l_v+\lambda }{l_v}\frac{l_v-\lambda }{l_v}$ $[$c'est-à-dire un produit de trois facteurs dans lequel le 3^ème facteur est un infiniment petit d'ordre un et le 1^er est constant, il suffira, pour obtenir un D.L. de cette expression à l'ordre un, de considérer le D.L. du 2^ème facteur à l'ordre zéro$]$ dans lequel le 2^ème facteur $\frac{l_v+\lambda }{l_v}$ se réécrit, en faisant apparaître l'infiniment petit d'ordre un dans $\lambda =l_v-(l_v-\lambda )=l_v(1-\frac{l_v-\lambda }{l_v})$, selon $\frac{l_v+\lambda }{l_v}=1+\frac{\lambda }{l_v}=2-\frac{l_v-\lambda }{l_v}=2(1-\frac{1}{2}\frac{l_v-\lambda }{l_v})$ d'où son D.L. à l'ordre zéro $\frac{l_v+\lambda }{l_v}\simeq 2\times 1=2$ et par suite, le D.L. de ${\omega }^2$ à l'ordre un s'écrit ${\omega }^2\simeq$ $\frac{k}{m}2\frac{l_v-\lambda }{l_v}=\frac{2k}{m{l}_v}(l_v-\lambda )$, soit la réécriture de la pulsation des petites oscillations sous la forme approchée $\omega \simeq \sqrt{\frac{2k}{m{l}_v}}{(l_v-\lambda )}^{\frac{1}{2}}$ c'est-à-dire effectivement de la forme
$\omega \simeq b{(l_v-\lambda )}^{{\alpha }^{\prime }}$ avec $b=\sqrt{\frac{2k}{m{l}_v}}$ et ${\alpha }^{\prime }=\frac{1}{2}$.

     Pour déterminer expérimentalement les exposants critiques $\alpha$ et ${\alpha }^{\prime }$, on mesure la période $𝒯$ des petits mouvements en faisant varier $\lambda =OR$ au voisinage de $l_v$ d'où

• pour $\lambda \in 𝒱\left[l_v^{+}\right]$, $𝒯=\frac{2\pi }{\omega }\simeq \frac{2\pi }{a}{(\lambda -l_v)}^{-\alpha }$ et
• pour $\lambda \in 𝒱\left[l_v^{-}\right]$, $𝒯=\frac{2\pi }{\omega }\simeq \frac{2\pi }{b}{(\lambda -l_v)}^{-{\alpha }^{\prime }}$ puis

     Pour déterminer expérimentalement les exposants critiques $\alpha$ et ${\alpha }^{\prime }$, on trace $𝒯$ en fonction de $\left\{\begin{array}{c}\ln (\lambda -l_v)\text{pour}\lambda \in 𝒱\left[l_v^{+}\right]\\ \ln (l_v-\lambda )\text{pour}\lambda \in 𝒱\left[l_v^{-}\right]\end{array}\right\}$, ce qui donne deux droites de pentes respectives $-\alpha$ et $-{\alpha }^{\prime }$, la mesure des pentes donnant donc les exposants critiques cherchés ;

     c'est expérimentalement très délicat car $𝒯\to \mathrm{\infty }$ quand $\lambda \to l_v$, les valeurs de $𝒯$ sont donc très grandes dès lors qu'on travaille au voisinage de $l_v$ et sur une durée grande, il devient difficile de ne pas tenir compte des frottements !

 

Étude des mouvements de l'oscillateur « non linéaire » quand le paramètre λ vaut l_v par diagramme d'énergies potentielle et mécanique, expression de sa période sous forme intégrale et observation de son approximation anharmonique dans le cadre de ses petits mouvements

     On s’intéresse maintenant au cas limite $\lambda =l_v$.

     On lâche le point matériel $M$, sans vitesse initiale, à partir d'une distance algébrique $x(0)=x_0\ne 0$ de sa position d'équilibre stable, cette distance étant non nécessairement petite en valeur absolue.

Établissement graphique de la nature oscillatoire du mouvement de M

     Tracer le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel $M$ puis

     en déduire la nature oscillatoire de son mouvement.

Solution

     L'expression de l'énergie potentielle ayant été déterminée dans la solution de la question « détermination de l'expression de l'énergie potentielle élastique de l'objet M pour λ quelconque » de l'« étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale … » de la série d'exercices du chap.$18$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », il a été trouvé $U_{\text{élast},\mathrm{\forall }\lambda }(x)=\frac{1}{2}k{(\sqrt{{\lambda }^2+x^2}-l_v)}^2-\frac{1}{2}k{(\lambda -l_v)}^2$ pour $\lambda$ quelconque soit, pour $\lambda =l_v$, l'expression particulière $U_{\text{élast},\lambda =l_v}(x)=\frac{1}{2}k{(\sqrt{l_v^2+x^2}-l_v)}^2$ ;

Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un pendule élastique à extrémités supérieure R fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel M de masse m pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale, le ressort dans sa position verticale étant ni étiré, ni comprimé, M étant initialement écarté de x₀ de sa position d'équilibre stable sur la tige et lâché sans vitesse initiale

     la courbe d'énergie potentielle pour $\lambda =l_v$ ayant été tracée dans la solution de la question « tracé des deux types principaux de profils d'énergie potentielle élastique de l'objet M suivant les valeurs de λ quelconque » de l'« étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale … » de la même série d'exercices du chap.$18$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », il ne reste qu'à y ajouter la courbe d'énergie mécanique correspondant à la conservation de cette dernière soit $E_{m,M,\lambda =l_v}(t)=E_{m,0}$ avec $\left\{\begin{array}{ccc}{E}_{m,M,\lambda =l_v}(t)& =\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2(t)+& U_{\text{élast},\lambda =l_v}[x(t)]\\ E_{m,0}& =& U_{\text{élast},\lambda =l_v}(x_0)\end{array}\right\}$ d'où le diagramme d'énergies potentielle et mécanique ci-contre :

• courbe d'énergie potentielle $({\Gamma }_u)$ en bleu et
• courbe d'énergie mécanique $({\Gamma }_m)$ en rouge ;

     on y observe deux murs d'énergie potentielle en regard, d'équations $x_{\text{mur}}=\pm x_0$, ce qui a pour conséquence la nature oscillatoire de $M$ autour de la position d'équilibre stable $x_{\text{éq},1}=0$ $[$le point $M$ est donc dans un état lié, sa trajectoire est cinétiquement bornée, les points génériques des courbes $({\Gamma }_m)$ et $({\Gamma }_u)$ effectuent des allers-retours successifs dans la cuvette d'énergie potentielle limitée par les deux murs d'énergie potentielle$]$ avec $x_0$ (non nécessairement petit) pour amplitude d'oscillations.

 

Établissement de la nature périodique du mouvement de M et expression de sa période sous forme intégrale

     Établir la nature périodique du mouvement du point matériel $M$ par utilisation simultanée de son intégrale 1^ère énergétique et de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique puis

     en déduire sa période $𝒯$ sous forme intégrale en fonction

• de $k$, $m$, $l_v$, $x_0$ et $x$ puis
• de ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$, $l_v$, $x_0$ et $x$ ;

     montrer, en faisant le changement de variable $u=\frac{x}{x_0}$ ainsi qu'en introduisant l'abscisse initiale réduite ${\chi }_0=\frac{x_0}{l_v}$,

     montrer, que la période $𝒯$ du mouvement du point $M$ s'écrit en fonction de ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$, ${\chi }_0$ et $J={\int }_0^1\frac{du}{\sqrt{f_{{\chi }_0}(u)}}$ dans laquelle $f_{{\chi }_0}(u)$ est une fonction particulière de $u$ paramétrée par ${\chi }_0=\frac{x_0}{l_v}$, fonction que l'on explicitera.

Solution

     De l'intégrale 1^ère énergétique du point $M$ à savoir $E_{m,M,\lambda =l_v}(t)=E_{m,0}$ avec $\left\{\begin{array}{ccc}{E}_{m,M,\lambda =l_v}(t)& =\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2(t)+& \frac{1}{2}k{[\sqrt{l_v^2+x^2(t)}-l_v]}^2\\ E_{m,0}& =& \frac{1}{2}k{(\sqrt{l_v^2+x_0^2}-l_v)}^2\end{array}\right\}$ on tire $|\dot{x}(t)|=$ $\sqrt{\frac{k}{m}}\sqrt{{(\sqrt{l_v^2+x_0^2}-l_v)}^2-{[\sqrt{l_v^2+x^2(t)}-l_v]}^2}=\sqrt{\frac{k}{m}}\sqrt{[x_0^2-x^2(t)]-2l_v[\sqrt{l_v^2+x_0^2}-\sqrt{l_v^2+x^2(t)}]}$ et par suite, l'expression de la durée élémentaire $dt$ nécessaire pour la variation élémentaire d'abscisse $dx$, à savoir $dt=\pm \frac{dx}{\sqrt{\frac{k}{m}}\sqrt{[x_0^2-x^2(t)]-2l_v[\sqrt{l_v^2+x_0^2}-\sqrt{l_v^2+x^2(t)}]}}$ avec le signe $\left\{\begin{array}{c}-\\ \text{ou}\\ +\end{array}\right\}$ quand $P_u$ se déplace $\left\{\begin{array}{c}\text{de}{P}_0\text{à}{P^{\prime }}_0\\ \text{ou}\\ \text{de}{P^{\prime }}_0\text{à}{P}_0\end{array}\right\}$ soit

• pour le n^ème aller du point générique $P_u$ de $P_0$ à ${P^{\prime }}_0$, une durée $\Delta t_{P_0\stackrel{n}{\to }{P^{\prime }}_0}={\int }_{x_0}^{-x_0}-\frac{dx}{\sqrt{\frac{k}{m}}\sqrt{(x_0^2-x^2)-2l_v(\sqrt{l_v^2+x_0^2}-\sqrt{l_v^2+x^2})}}$ ou finalement $\Delta t_{P_0\stackrel{n}{\to }{P^{\prime }}_0}=\sqrt{\frac{m}{k}}{\int }_{-x_0}^{x_0}\frac{dx}{\sqrt{(x_0^2-x^2)-2l_v(\sqrt{l_v^2+x_0^2}-\sqrt{l_v^2+x^2})}}$ et
• pour le n^ème retour du même point générique $P_u$ de ${P^{\prime }}_0$ à $P_0$, une durée $\Delta t_{{P^{\prime }}_0\stackrel{n}{\to }{P}_0}={\int }_{-x_0}^{x_0}\frac{dx}{\sqrt{\frac{k}{m}}\sqrt{(x_0^2-x^2)-2l_v(\sqrt{l_v^2+x_0^2}-\sqrt{l_v^2+x^2})}}$ ou finalement $\Delta t_{{P^{\prime }}_0\stackrel{n}{\to }{P}_0}=\sqrt{\frac{m}{k}}{\int }_{-x_0}^{x_0}\frac{dx}{\sqrt{(x_0^2-x^2)-2l_v(\sqrt{l_v^2+x_0^2}-\sqrt{l_v^2+x^2})}}$ d'où
• la durée du n^ème aller-retour du point générique $P_u$ entre les deux murs d'énergie potentielle $\Delta t_{P_0\stackrel{n}{\to }{P^{\prime }}_0\stackrel{n}{\to }{P}_0}=\Delta t_{P_0\stackrel{n}{\to }{P^{\prime }}_0}+\Delta t_{{P^{\prime }}_0\stackrel{n}{\to }{P}_0}$ soit encore, la durée de l'aller étant égale à celle du retour, $\Delta t_{P_0\stackrel{n}{\to }{P^{\prime }}_0\stackrel{n}{\to }{P}_0}=2\sqrt{\frac{m}{k}}{\int }_{-x_0}^{x_0}\frac{dx}{\sqrt{(x_0^2-x^2)-2l_v(\sqrt{l_v^2+x_0^2}-\sqrt{l_v^2+x^2})}}$ indépendante de $n$, ce qui établit la nature périodique du mouvement de $M$ ;

     on en déduit la période $𝒯$ du mouvement de $M$ par $𝒯=\Delta t_{P_0\stackrel{\cancel{n}}{\to }{P^{\prime }}_0\stackrel{\cancel{n}}{\to }{p}_0}=2\sqrt{\frac{m}{k}}{\int }_{-x_0}^{x_0}\frac{dx}{\sqrt{(x_0^2-x^2)-2l_v(\sqrt{l_v^2+x_0^2}-\sqrt{l_v^2+x^2})}}$ ou, la fonction à intégrer étant une fonction paire de $x$ et l'intervalle d'intégration $[-x_0,x_0]$, $𝒯=4\sqrt{\frac{m}{k}}{\int }_0^{x_0}\frac{dx}{\sqrt{(x_0^2-x^2)-2l_v(\sqrt{l_v^2+x_0^2}-\sqrt{l_v^2+x^2})}}$ ou,
en posant ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$, $𝒯=\frac{4}{{\omega }_0}{\int }_0^{x_0}\frac{dx}{\sqrt{(x_0^2-x^2)-2l_v(\sqrt{l_v^2+x_0^2}-\sqrt{l_v^2+x^2})}}$ ;      en introduisant le paramètre ${\chi }_0=\frac{x_0}{l_v}$ et en faisant le changement de variable $u=\frac{x}{x_0}$, l'expression sous le radical du dénominateur de la fonction à intégrer devient, en mettant $x_0^2$ en facteur, $(x_0^2-x^2)-2l_v(\sqrt{l_v^2+x_0^2}-\sqrt{l_v^2+x^2})=x_0^2[(1-u^2)-2\frac{1}{{\chi }_0}(\sqrt{\frac{1}{{\chi }_0^2}+1}-\sqrt{\frac{1}{{\chi }_0^2}+u^2})]$ soit encore, en mettant $\frac{1}{{\chi }_0^2}$ en facteur pour que dans l'autre facteur n'apparaisse que ${\chi }_0^2$, $(x_0^2-x^2)-2l_v(\sqrt{l_v^2+x_0^2}-\sqrt{l_v^2+x^2})=\frac{x_0^2}{{\chi }_0^2}[{\chi }_0^2(1-u^2)-2(\sqrt{1+{\chi }_0^2}-\sqrt{1+{\chi }_0^2{u}^2})]$ d'où la réécriture de la période $𝒯$ du mouvement de $M$ utilisant d'une part $dx=x_{0}du$ et d'autre part la transformation de l'intervalle d'intégration $[0,x_0]$ en $[0,1]$, $𝒯=\frac{4{\chi }_0}{{\omega }_0}{\int }_0^1\frac{du}{\sqrt{{\chi }_0^2(1-u^2)-2(\sqrt{1+{\chi }_0^2}-\sqrt{1+{\chi }_0^2{u}^2})}}$,
effectivement de la forme $𝒯=\frac{4{\chi }_0}{{\omega }_0}J$ avec $J={\int }_0^1\frac{du}{\sqrt{f_{{\chi }_0}(u)}}$
dans laquelle $f_{{\chi }_0}(u)={\chi }_0^2(1-u^2)-2(\sqrt{1+{\chi }_0^2}-\sqrt{1+{\chi }_0^2{u}^2})$.

 

Application des résultats précédents au cas des petites élongations du mouvement de M

     Dans le cas des petites élongations du mouvement de $M$ $($correspondant à $|x_0|\ll l_v)$, montrer que sa période ${𝒯}_{\text{petites élong.}}$ des petites élongations s'écrit de façon approchée en fonction de ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$, ${\chi }_0$ et $I={\int }_0^1\frac{du}{\sqrt{1-u^4}}$ ;

     justifier l'approximation « anharmonique » des petits mouvements de $M$.

Solution

     Dans le cas des petites élongations du mouvement de $M$, le paramètre ${\chi }_0=\frac{x_0}{l_v}$ étant $\ll 1$ et n'intervenant que par son carré dans la fonction à intégrer, nous considérons ${\chi }_0^2=\frac{x_0^2}{l_v^2}$ comme infiniment petit d'ordre un et cherchons le D.L. de $f_{{\chi }_0}(u)={\chi }_0^2(1-u^2)-2[{(1+{\chi }_0^2)}^{\frac{1}{2}}-{(1+{\chi }_0^2{u}^2)}^{\frac{1}{2}}]$ à l'ordre le plus bas non nul en ${\chi }_0^2$ au voisinage de la valeur nulle du paramètre ${\chi }_0$ à $u$ fixé soit

• le terme d'ordre zéro en ${\chi }_0^2$ étant $f_0(u)=0$,
• les termes d'ordre zéro et un en ${\chi }_0^2$ étant ${\chi }_0^2(1-u^2)-2[(1+\frac{1}{2}{\chi }_0^2)-(1+\frac{1}{2}{\chi }_0^2{u}^2)]=0$, il convient de faire un D.L. de $f_{{\chi }_0}(u)$ au moins à l'ordre deux en ${\chi }_0^2$ au voisinage de la valeur nulle du paramètre ${\chi }_0$ à $u$ fixé d'où

     $f_{{\chi }_0}(u)\simeq {\chi }_0^2(1-u^2)-2[(1+\frac{1}{2}{\chi }_0^2-\frac{1}{8}{\chi }_0^4)-(1+\frac{1}{2}{\chi }_0^2{u}^2-\frac{1}{8}{\chi }_0^4{u}^4)]$ soit finalement $f_{{\chi }_0}(u)\simeq \frac{{\chi }_0^4}{4}(1-u^4)$ et par suite l'expression approchée de la période des petits mouvements du point $M$, ${𝒯}_{\text{petites élong.}}\simeq \frac{4{\chi }_0}{{\omega }_0}{\int }_0^1\frac{du}{\sqrt{\frac{{\chi }_0^4}{4}(1-u^4)}}$ soit finalement ${𝒯}_{\text{petites élong.}}\simeq \frac{8}{{\omega }_0{\chi }_0}{\int }_0^1\frac{du}{\sqrt{1-u^4}}$ ou
${𝒯}_{\text{petites élong.}}\simeq \frac{8}{{\omega }_0{\chi }_0}I$ avec $I={\int }_0^1\frac{du}{\sqrt{1-u^4}}$ ;

     constatant que la période des petits mouvements du point $M$ dépend effectivement de ${\chi }_0=\frac{x_0}{l_v}$ donc de l'amplitude $x_0$ des petites oscillations, nous en déduisons l'absence d'isochronisme de ces dernières et par suite le caractère anharmonique de l'approximation des petites oscillations.

 

Pendule élastique à extrémités supérieure fixée sur le « sommet » d'un guide circulaire vertical et inférieure liée à un objet ponctuel pouvant se déplacer sur le guide circulaire

Schéma d'un pendule élastique à extrémités supérieure A fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel M de masse m pouvant se déplacer sans frottement sur un guide circulaire vertical, A étant situé au sommet de ce guide

     Un objet ponctuel $M$, de masse $m$, peut se déplacer sans frottements solides sur un guide circulaire vertical de centre $O$ et de rayon $𝔞$ ; il est relié au « sommet » $A$ du guide circulaire par un ressort idéal à spires non jointives, de raideur $k$ et de longueur à vide $l_0$ ; l'ensemble est placé dans le champ de pesanteur terrestre $\overrightarrow{g}$ supposé uniforme.

     On utilisera le repérage polaire de pôle $O$ et d'axe vertical descendant $\overrightarrow{Oz}$ lié au point matériel $M$, l'abscisse angulaire de ce dernier étant $\theta =\widehat{({\overrightarrow{u}}_z,\overrightarrow{OM})}$ où ${\overrightarrow{u}}_z$ est le vecteur unitaire orientant l'axe $\overrightarrow{Oz}$, ${\overrightarrow{u}}_x$ étant le vecteur unitaire horizontal orienté vers la droite du plan vertical du guide circulaire et ${\overrightarrow{u}}_y$ le vecteur unitaire horizontal orientant les angles du plan vertical du guide, la base cartésienne $\{{\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z\}$ étant choisie orthonormée directe.

Détermination de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule élastique

     Parmi les forces s'exerçant sur le point $M$, deux sont conservatives, préciser lesquelles et

     déterminer l'énergie potentielle $U(M)$ associée à ces deux forces en fonction de $m$, $g=\Vert \overrightarrow{g}\Vert$, $k$, $l_0$, $𝔞$ et $\theta$ en prenant comme référence la position $B$.

     En déduire une intégrale 1^ère énergétique du pendule élastique.

Solution

Schéma d'un pendule élastique à extrémités supérieure A fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel M de masse m pouvant se déplacer sans frottement sur un guide circulaire vertical, A étant situé au sommet de ce guide, avec représentation des forces appliquées à M

     Bilan des forces appliquées au point matériel $M$ $($voir schéma ci-contre$)$ :

• son poids $m\overrightarrow{g}=mg{\overrightarrow{u}}_z$, force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur $U_{\text{pes}}(M)=-mgz+cste$ ou, avec $z=𝔞\cos (\theta )$ et la référence de $U_{\text{pes}}(M)$ choisie en $B$ d'abscisse angulaire nulle correspondant à $z_B=𝔞$ $\Rightarrow$ $cste=mg𝔞$, $U_{\text{pes}}(M)=mg𝔞[1-\cos (\theta )]$,
• la force exercée par le ressort idéal $\overrightarrow{T}(M)=-k[\Vert \overrightarrow{AM}\Vert -l_0]{\overrightarrow{u}}_{A\to M}$, force conservative dérivant de l'énergie potentielle élastique $U_{\text{élast}}(M)=$ $\frac{1}{2}k{[\Vert \overrightarrow{AM}\Vert -l_0]}^2+cst{e}^{\prime }$ dans laquelle
     $\succ$le triangle $OAM$ étant isocèle, la hauteur issue de $O$ et de pied $H$ sur $AM$ est aussi médiatrice d'où $\Vert \overrightarrow{AM}\Vert =2AH$ avec $AH=OA\cos (\widehat{OAH})=$ $𝔞\cos (\widehat{OAH})$ soit $\Vert \overrightarrow{AM}\Vert =2𝔞\cos (\widehat{OAH})$ puis
     $\succ$le triangle $OAM$ étant isocèle, la hauteur issue de $O$ et de pied $H$ sur $AM$ est aussi bissectrice d'où $\widehat{HOA}=\widehat{MOH}=$ $\frac{\widehat{MOA}}{2}$ avec $\widehat{MOA}=$ $\pi -\widehat{BOM}=\pi -\theta$ d'où $\widehat{HOA}=\frac{\pi }{2}-\frac{\theta }{2}$ soit, par relation dans le triangle rectangle $OAH$ où $\widehat{OAH}$ et $\widehat{HOA}$ sont complémentaires, $\widehat{OAH}=\frac{\theta }{2}$ permettant de réécrire la longueur du ressort à charge $\Vert \overrightarrow{AM}\Vert =2𝔞\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)$
     $\succ$et par suite l'énergie potentielle élastique $U_{\text{élast}}(M)=\frac{1}{2}k{[2𝔞\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)-l_0]}^2+cst{e}^{\prime }$ ou encore, en choisissant encore la référence de $U_{\text{élast}}(M)$ en $B$ d'abscisse angulaire nulle $\Rightarrow$ $cst{e}^{\prime }=-\frac{1}{2}k{[2𝔞-l_0]}^2$, $U_{\text{élast}}(M)=\frac{1}{2}k\{{[2𝔞\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)-l_0]}^2-{[2𝔞-l_0]}^2\}$ et enfin
• la réaction $\overrightarrow{R}(M)$ du guide circulaire $\perp$ à ce dernier en absence de frottements solide, force non conservative et ne travaillant pas ;

     finalement l'énergie potentielle $U(M)$ associée aux deux forces conservatives étant définie selon $U(M)=U_{\text{pes}}(M)+U_{\text{élast}}(M)$ s'écrit, avec choix de référence en $B$, $U(M)=mg𝔞[1-\cos (\theta )]+\frac{1}{2}k\{{[2𝔞\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)-l_0]}^2-{[2𝔞-l_0]}^2\}$ soit, en développant et en utilisant la relation trigonométrique $\cos (\theta )=1-2{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)$ $\Rightarrow$ $1-\cos (\theta )=2{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)$, $U(M)=2mg𝔞{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)+2k{𝔞}^2{\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)-2k{l}_0𝔞\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+\frac{1}{2}k(l_0^2-4{𝔞}^2+4l_0𝔞-l_0^2)$ soit, en utilisant ${\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)=$ $1-{\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)$ et en ordonnant, l'expression de l'énergie potentielle $U(M)$ du point matériel $M$ avec référence en $B$, $U(M)=2𝔞[(k𝔞-mg){\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)-k{l}_0\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+(mg-k𝔞+k{l}_0)]$.      En absence de frottements solides le point $M$ est « à mouvement conservatif », il y a donc conservation de son énergie mécanique dans le champ de pesanteur et de tension du ressort $E_{m,M}(t)=K_M(t)+U(M_t)$ dans laquelle, la trajectoire de $M$ étant circulaire de centre $O$ et de rayon $𝔞$, ${\overrightarrow{v}}_M(t)=𝔞\dot{\theta }(t)$, d'où la réécriture de l'énergie mécanique du point $E_{m,M}(t)=\frac{1}{2}m{𝔞}^2{\dot{\theta }}^2(t)+2𝔞\{(k𝔞-mg){\cos }^2\left[\frac{\theta (t)}{2}\right]-k{l}_0\cos \left[\frac{\theta (t)}{2}\right]+(mg-k𝔞+k{l}_0)\}$ et par suite, avec les C.I. communiquant une énergie mécanique initiale $E_{m,M}(0)=E_{m,0}$, l'intégrale 1^ère énergétique du point $M$ suivante $E_{m,M}(t)=E_{m{,}_{,}0}$ ou encore $\frac{1}{2}m{𝔞}^2{\dot{\theta }}^2(t)+2𝔞\{(k𝔞-mg){\cos }^2\left[\frac{\theta (t)}{2}\right]-k{l}_0\cos \left[\frac{\theta (t)}{2}\right]+(mg-k𝔞+k{l}_0)\}=E_{m{,}_{,}0}$.

 

Détermination des positions d'équilibre du point M et discussion de leur existence

     À partir de l'expression de l'énergie potentielle $U(\theta )$ du pendule élastique, déterminer toutes les positions d'équilibre possibles pour le point matériel $M$ ;

     discuter de leur existence selon les valeurs de $mg$ relativement à la quantité $k(𝔞-\frac{l_0}{2})$.

Solution

     Les abscisses angulaires des positions d'équilibre ${\theta }_{\text{éq}}$ correspondant aux valeurs de $\theta$ pour lesquelles $U(\theta )$ est stationnaire, elles sont solutions de $\frac{dU}{d\theta }({\theta }_{\text{éq}})=0$ et pour cela, calculons la dérivée de $U(\theta )=2𝔞[(k𝔞-mg){\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)-k{l}_0\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+(mg-k𝔞+k{l}_0)]$ relativement à l'abscisse angulaire soit $\frac{dU}{d\theta }(\theta )=$ $2𝔞[-(k𝔞-mg)2\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)\frac{1}{2}\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+k{l}_0\frac{1}{2}\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)]=𝔞\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)[2(mg-k𝔞)\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+k{l}_0]$ d'où l'équation déterminant les abscisses angulaires des positions d'équilibre $𝔞\sin \left(\frac{{\theta }_{\text{éq}}}{2}\right)[2(mg-k𝔞)\cos \left(\frac{{\theta }_{\text{éq}}}{2}\right)+k{l}_0]=0$
$\Updownarrow$
$\sin \left(\frac{{\theta }_{\text{éq},1}}{2}\right)=0$ ou $2(mg-k𝔞)\cos \left(\frac{{\theta }_{\text{éq},2}}{2}\right)+k{l}_0=0$ soit

• pour $\sin \left(\frac{{\theta }_{\text{éq},1}}{2}\right)=0$ une solution $\frac{{\theta }_{\text{éq},1}}{2}\equiv 0(\mathrm{mod}\pi )$ $\Rightarrow$ ${\theta }_{\text{éq},1}\equiv 0(\mathrm{mod}2\pi )$ dont on retient ${\theta }_{\text{éq},1}=0$ et
• pour $2(mg-k𝔞)\cos \left(\frac{{\theta }_{\text{éq},2}}{2}\right)+k{l}_0=0$, ce qui se réécrit, dans la mesure où $mg$ est $\ne$ de $k𝔞$, $\cos \left(\frac{{\theta }_{\text{éq},2}}{2}\right)=\frac{k{l}_0}{2(k𝔞-mg)}$, cette équation n'ayant de solution que si $\frac{k{l}_0}{2(k𝔞-mg)}\in [-1,+1]$ soit
     $\succ$ $\frac{k{l}_0}{2(k𝔞-mg)}⩾-1$ $\iff$ $\left\{\begin{array}{c}\frac{k{l}_0}{2}⩾-(k𝔞-mg)\text{pour}k𝔞-mg>0\text{(toujours vrai)}\\ \frac{k{l}_0}{2}⩽-(k𝔞-mg)\text{pour}k𝔞-mg<0\text{(sous condition)}\end{array}\right\}$ $\iff$ $\frac{k{l}_0}{2}⩽mg-k𝔞$ $\iff$ $mg⩾k(𝔞+\frac{l_0}{2})$ et
     $\succ$ $\frac{k{l}_0}{2(k𝔞-mg)}⩽1$ $\iff$ $\left\{\begin{array}{c}\frac{k{l}_0}{2}⩽(k𝔞-mg)\text{pour}k𝔞-mg>0\text{(sous condition)}\\ \frac{k{l}_0}{2}⩾(k𝔞-mg)\text{pour}k𝔞-mg<0\text{(toujours vrai)}\end{array}\right\}$ $\iff$ $\frac{k{l}_0}{2}⩽k𝔞-mg$ $\iff$ $mg⩽k(𝔞-\frac{l_0}{2})$, d'où
     $▸$ pour $mg⩽k(𝔞-\frac{l_0}{2})$ $[\Rightarrow mg<ka]$, il y a deux solutions $\frac{{\theta }_{\text{éq},2}}{2}=\pm \arccos \left[\frac{k{l}_0}{2(k𝔞-mg)}\right]$ $\{$dans laquelle $\arccos \left[\frac{k{l}_0}{2(k𝔞-mg)}\right]\in [0,+\frac{\pi }{2}[$ car $k𝔞-mg$ est $>0\}$ soit ${\theta }_{\text{éq},2}=\pm 2\arccos \left[\frac{k{l}_0}{2(k𝔞-mg)}\right]$ $\{$dans laquelle $2\arccos \left[\frac{k{l}_0}{2(k𝔞-mg)}\right]\in [0,+\pi [\}$,
     $▸$ pour $mg\in ]k(𝔞-\frac{l_0}{2}),k(𝔞+\frac{l_0}{2})[$, pas de solution, ${\theta }_{\text{éq},2}$ n'existe pas et
     $▸$ pour $mg⩾k(𝔞+\frac{l_0}{2})$ $[\Rightarrow mg>ka]$, a priori deux solutions $\frac{{\theta }_{\text{éq},2}}{2}=\pm \arccos \left[\frac{k{l}_0}{2(k𝔞-mg)}\right]$ $\{$dans laquelle $\arccos \left[\frac{k{l}_0}{2(k𝔞-mg)}\right]\in ]+\frac{\pi }{2},+\pi ]$ car $k𝔞-mg$ est $<0\}$ ce qui entraînerait ${\theta }_{\text{éq},2}=\pm 2\arccos \left[\frac{k{l}_0}{2(k𝔞-mg)}\right]$ $\{$dans laquelle $2\arccos \left[\frac{k{l}_0}{2(k𝔞-mg)}\right]\in ]+\pi ,+2\pi ]\}$, solutions qui sont à rejeter car l'évolution de $\theta$ devant être continue, ces solutions nécessiteraient le passage par $\theta =\pm \pi$ correspondant à une longueur de ressort nulle et par conséquent complètement hors du domaine d'élasticité ; en résumé
     $\oplus$ pour $mg⩽k(𝔞-\frac{l_0}{2})$, il y a deux solutions ${\theta }_{\text{éq},2}=\pm 2\arccos \left[\frac{k{l}_0}{2(k𝔞-mg)}\right]$ alors que
     $\oplus$ pour $mg>k(𝔞-\frac{l_0}{2})$, il n'y a pas de solution ${\theta }_{\text{éq},2}$ ;

     finalement, suivant le positionnement de $mg$ relativement à $k(𝔞-\frac{l_0}{2})$, on conclut pour $mg<k(𝔞-\frac{l_0}{2})$, trois positions d'équilibre, ${\theta }_{\text{éq},1}=0$, $\left\{\begin{array}{c}{\theta }_{\text{éq},d}=2\arccos \left[\frac{k{l}_0}{2(k𝔞-mg)}\right]\\ {\theta }_{\text{éq},g}=-2\arccos \left[\frac{k{l}_0}{2(k𝔞-mg)}\right]\end{array}\right\}\ne 0$,
pour $mg=k(𝔞-\frac{l_0}{2})$, les trois positions d'équilibre précédentes en forment une seule ${\theta }_{\text{éq},1}={\theta }_{\text{éq},d}={\theta }_{\text{éq},g}=0$ et
pour $mg>k(𝔞-\frac{l_0}{2})$, une seule position d'équilibre ${\theta }_{\text{éq},1}=0$.

 

Détermination de la stabilité (ou de l'instabilité) des positions d'équilibre du point M

     Discuter, dans la mesure de leur existence et selon les valeurs de $mg$ relativement à la quantité $k(𝔞-\frac{l_0}{2})$, de la stabilité (ou de l'instabilité) des équilibres précédemment établis.

Solution

     Sachant qu'un équilibre d'abscisse angulaire ${\theta }_{\text{éq}}$ est

• stable si l'énergie potentielle $U(\theta )$ y est minimale c'est-à-dire, le plus fréquemment, si $\frac{d^{2}U}{d{\theta }^2}({\theta }_{\text{éq}})$ est $>0$ ou
• instable si l'énergie potentielle $U(\theta )$ y est maximale c'est-à-dire, le plus fréquemment, si $\frac{d^{2}U}{d{\theta }^2}({\theta }_{\text{éq}})$ est $<0$,

     il convient, dans un 1^er temps, d'évaluer $\frac{d^{2}U}{d{\theta }^2}(\theta )$ à partir de $\frac{dU}{d\theta }(\theta )=𝔞\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)[2(mg-k𝔞)\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+k{l}_0]=𝔞[(mg-k𝔞)\sin (\theta )+k{l}_0\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)]$ $\Rightarrow$ $\frac{d^{2}U}{d{\theta }^2}(\theta )=𝔞[(mg-k𝔞)\cos (\theta )+\frac{k{l}_0}{2}\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)]$ d'où :

     étude de l'équilibre (existant quel que soit mg) ${\theta }_{\text{éq},1}=0$ : de $\frac{d^{2}U}{d{\theta }^2}({\theta }_{\text{éq},1}=0)=𝔞[(mg-k𝔞)+\frac{k{l}_0}{2}]=𝔞[mg-k(𝔞-\frac{l_0}{2})]$ on en déduit
     $\succ$ pour $mg>k(𝔞-\frac{l_0}{2})$, $\frac{d^{2}U}{d{\theta }^2}({\theta }_{\text{éq},1}=0)>0$ $\Rightarrow$ cet équilibre d'abscisse angulaire ${\theta }_{\text{éq},1}=0$ est stable $($c'est aussi le seul équilibre$)$,
     $\succ$ pour $mg=k(𝔞-\frac{l_0}{2})$, $\frac{d^{2}U}{d{\theta }^2}({\theta }_{\text{éq},1}=0)=0$ $\Rightarrow$ on ne peut conclure pour l'instant sur la stabilité de l'équilibre d'abscisse angulaire ${\theta }_{\text{éq},1}=0$ et
     $\succ$ pour $mg<k(𝔞-\frac{l_0}{2})$, $\frac{d^{2}U}{d{\theta }^2}({\theta }_{\text{éq},1}=0)<0$ $\Rightarrow$ cet équilibre d'abscisse angulaire ${\theta }_{\text{éq},1}=0$ est instable $($mais il existe deux autres équilibres d'abscisses angulaires $\ne 0)$ ;

     étude des équilibres (existant sous condition de mg) ${\theta }_{\text{éq},2}=\pm 2\arccos \left[\frac{k{l}_0}{2(k𝔞-mg)}\right]$ $\{$nécessitant $mg<k(𝔞-\frac{l_0}{2})\}$ : transformons auparavant $\frac{d^{2}U}{d{\theta }^2}(\theta )$ pour que $\theta$ n'y apparaisse que par $\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)$ en utilisant $\cos (\theta )=2{\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)-1$ soit $\frac{d^{2}U}{d{\theta }^2}(\theta )=𝔞[2(mg-k𝔞){\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)-(mg-k𝔞)+\frac{k{l}_0}{2}\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)]$ $\Rightarrow$ $\frac{d^{2}U}{d{\theta }^2}({\theta }_{\text{éq},2})=𝔞[2(mg-k𝔞)\frac{k^2{l}_0^2}{4{(k𝔞-mg)}^2}-(mg-k𝔞)+\frac{k{l}_0}{2}\frac{k{l}_0}{2(k𝔞-mg)}]=𝔞[-\frac{k^2{l}_0^2}{2(k𝔞-mg)}-(mg-k𝔞)+\frac{k^2{l}_0^2}{4(k𝔞-mg)}]$ soit encore $\frac{d^{2}U}{d{\theta }^2}({\theta }_{\text{éq},2})=𝔞[-\frac{k^2{l}_0^2}{4(k𝔞-mg)}+(k𝔞-mg)]=\frac{𝔞}{k𝔞-mg}[-\frac{k^2{l}_0^2}{4}+{(k𝔞-mg)}^2]=\frac{𝔞}{k𝔞-mg}[(k𝔞-mg)-\frac{k{l}_0}{2}][(k𝔞-mg)+\frac{k{l}_0}{2}]$ et finalement $\frac{d^{2}U}{d{\theta }^2}({\theta }_{\text{éq},2})=\frac{𝔞}{k𝔞-mg}[k(𝔞-\frac{l_0}{2})-mg][k(𝔞+\frac{l_0}{2})-mg]>0$ $\{$en effet $mg<k(𝔞-\frac{l_0}{2})<k𝔞<k(𝔞+\frac{l_0}{2})\}$ $\Rightarrow$ ces deux équilibres d'abscisses angulaires ${\theta }_{\text{éq},2}=\pm 2\arccos \left[\frac{k{l}_0}{2(k𝔞-mg)}\right]$ sont stables $($le 3^ème équilibre d'abscisse angulaire ${\theta }_{\text{éq},1}=0$ étant instable$)$ ;

     retour sur l'équilibre (existant pour une valeur particulière de mg) ${\theta }_{\text{éq},1}=0$ $\{$dans le cas où $mg=k(𝔞-\frac{l_0}{2})\}$ : ayant obtenu $\frac{d^{2}U}{d{\theta }^2}({\theta }_{\text{éq},1}=0)=0$, il faut évaluer les dérivées d'ordre supérieur jusqu'à trouver une valeur non nulle pour ${\theta }_{\text{éq},1}=0$ soit
     $\succ$ $\frac{d^{3}U}{d{\theta }^3}(\theta )=𝔞[-(mg-k𝔞)\sin (\theta )-\frac{k{l}_0}{4}\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)]=𝔞[(k𝔞-mg)\sin (\theta )-\frac{k{l}_0}{4}\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)]$ dont on tire $\frac{d^{3}U}{d{\theta }^3}({\theta }_{\text{éq},1}=0)=0$ puis
     $\succ$ $\frac{d^{4}U}{d{\theta }^4}(\theta )=𝔞[(k𝔞-mg)\cos (\theta )-\frac{k{l}_0}{8}\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)]$ dont on tire $\frac{d^{4}U}{d{\theta }^4}({\theta }_{\text{éq},1}=0)=𝔞[(k𝔞-mg)-\frac{k{l}_0}{8}]$ soit, en remplaçant $mg$ par $k(𝔞-\frac{l_0}{2})$, $\frac{d^{4}U}{d{\theta }^4}({\theta }_{\text{éq},1}=0)=𝔞\frac{3k{l}_0}{8}>0$ $\Rightarrow$ cet équilibre d'abscisse angulaire ${\theta }_{\text{éq},1}=0$ dans le cas où $mg=k(𝔞-\frac{l_0}{2})$ est stable.

 

Détermination du caractère harmonique ou « anharmonique » de l'approximation des petits mouvements du point M au voisinage d'un équilibre stable

     Discuter du caractère harmonique ou « anharmonique » de l'approximation des petits mouvements du point $M$ au voisinage d'un équilibre stable $[$à savoir, possibilité $($ou impossibilité$)$ de linéariser les petits mouvements du point $M$ au voisinage de l'équilibre stable étudié$]$.

Solution

     L'approximation des petits mouvements du point $M$ au voisinage d'un équilibre stable est

• « harmonique » si le profil de l'énergie potentielle $U(\theta )$ est localement parabolique au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse angulaire ${\theta }_{\text{éq. st.}}$ étudié $[$ou, ce qui est équivalent, si l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\epsilon (t)=\theta (t)-{\theta }_{\text{éq. st.}}$ au voisinage de l'équilibre stable étudié est harmonique$]$ ce qui est réalisé pour
       $\succ$ ${\theta }_{\text{éq},1}=0$ $[$dans l'hypothèse $mg<k(𝔞-\frac{l_0}{2})]$ car l'énergie potentielle y est localement approchée, à l'ordre deux en $\epsilon =\theta -{\theta }_{\text{éq},1}$, selon $U({\theta }_{\text{éq},1}+\epsilon )\simeq$ $\cancel{U({\theta }_{\text{éq},1}=0)+}\cancel{U^{\prime }({\theta }_{\text{éq},1}=0)\epsilon +}\frac{U^{″}({\theta }_{\text{éq},1}=0)}{2}{\epsilon }^2$ ou encore, $U({\theta }_{\text{éq},1}+\epsilon )\simeq \frac{𝔞}{2}[mg-k(𝔞-\frac{l_0}{2})]{\epsilon }^2$ c'est-à-dire localement parabolique $\{$parallèlement la composante orthoradiale de la force motrice définie selon $F_{\theta }(\theta )=-\frac{1}{𝔞}\frac{dU}{d\theta }(\theta )$ a, pour expression localement approchée à l'ordre un en $\epsilon =\theta -{\theta }_{\text{éq},1}$, $F_{\theta }({\theta }_{\text{éq},1}+\epsilon )=$ $-\frac{1}{𝔞}\frac{dU}{d\epsilon }({\theta }_{\text{éq},1}+\epsilon )\simeq -[mg-k(𝔞-\frac{l_0}{2})]\epsilon$ d'où, par application de la r.f.d.n. et $\ddot{\theta }(t)=\ddot{\epsilon }(t)$, l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\epsilon (t)=\theta (t)-{\theta }_{\text{éq},1}$ approchée à l'ordre un en $\epsilon (t)$, $m\ddot{\epsilon }(t)+[mg-k(𝔞-\frac{l_0}{2})]\epsilon (t)=0$ décrivant un oscillateur harmonique$\}$ et
       $\succ$ ${\theta }_{\text{éq},2}=\pm 2\arccos \left[\frac{k{l}_0}{2(k𝔞-mg)}\right]$ $\{$nécessitant $mg<k(𝔞-\frac{l_0}{2})\}$ car l'énergie potentielle y est localement approchée, à l'ordre deux en $\epsilon =\theta -{\theta }_{\text{éq},2}$, selon $U({\theta }_{\text{éq},2}+\epsilon )\simeq$ $U({\theta }_{\text{éq},2})+\cancel{U^{\prime }({\theta }_{\text{éq},2})\epsilon +}\frac{U^{″}({\theta }_{\text{éq},2})}{2}{\epsilon }^2$ ou, $U({\theta }_{\text{éq},2}+\epsilon )\simeq U({\theta }_{\text{éq},2})+\frac{𝔞[k(𝔞-\frac{l_0}{2})-mg][k(𝔞+\frac{l_0}{2})-mg]}{2(k𝔞-mg)}{\epsilon }^2$ c'est-à-dire localement parabolique $\{$parallèlement la composante orthoradiale de la force motrice définie selon $F_{\theta }(\theta )=-\frac{1}{𝔞}\frac{dU}{d\theta }(\theta )$ a, pour expression localement approchée à l'ordre un en $\epsilon =\theta -{\theta }_{\text{éq},2}$, $F_{\theta }({\theta }_{\text{éq},2}+\epsilon )=-\frac{1}{𝔞}\frac{dU}{d\epsilon }({\theta }_{\text{éq},2}+\epsilon )\simeq$ $-\frac{[k(𝔞-\frac{l_0}{2})-mg][k(𝔞+\frac{l_0}{2})-mg]}{k𝔞-mg}\epsilon$ d'où, par application de la r.f.d.n. et $\ddot{\theta }(t)=\ddot{\epsilon }(t)$, l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\epsilon (t)=\theta (t)-{\theta }_{\text{éq},2}$ approchée à l'ordre un en $\epsilon (t)$, $m\ddot{\epsilon }(t)+\frac{[k(𝔞-\frac{l_0}{2})-mg][k(𝔞+\frac{l_0}{2})-mg]}{k𝔞-mg}\epsilon (t)=0$ décrivant un oscillateur à petits mouvements harmoniques$\}$ ou
• « anharmonique » si le profil de l'énergie potentielle $U(\theta )$ est localement une cuvette non parabolique au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse angulaire ${\theta }_{\text{éq. st.}}$ étudié $[$ou, ce qui est équivalent, si l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\epsilon (t)=\theta (t)-{\theta }_{\text{éq. st.}}$ au voisinage de l'équilibre stable étudié est anharmonique$]$ ce qui est réalisé pour
     ${\theta }_{\text{éq},1}=0$ $[$dans l'hypothèse $mg=k(𝔞-\frac{l_0}{2})]$ car l'énergie potentielle y est localement approchée, à l'ordre quatre en $\epsilon =\theta -{\theta }_{\text{éq},1}$, selon $U({\theta }_{\text{éq},1}+\epsilon )\simeq$ $\cancel{U({\theta }_{\text{éq},1}=0)+}\cancel{U^{\prime }({\theta }_{\text{éq},1}=0)\epsilon +}\cancel{\frac{U^{″}({\theta }_{\text{éq},1}=0)}{2}{\epsilon }^2+}\cancel{\frac{U^{‴}({\theta }_{\text{éq},1}=0)}{6}{\epsilon }^3+}\frac{U^{(IV)}({\theta }_{\text{éq},1}=0)}{24}{\epsilon }^4$ ou encore, $U({\theta }_{\text{éq},1}+\epsilon )\simeq 𝔞\frac{k{l}_0}{64}{\epsilon }^4$ c'est-à-dire localement une cuvette non parabolique $\{$parallèlement la composante orthoradiale de la force motrice définie selon $F_{\theta }(\theta )=-\frac{1}{𝔞}\frac{dU}{d\theta }(\theta )$ a, pour expression localement approchée à l'ordre trois en $\epsilon =\theta -{\theta }_{\text{éq},1}$, $F_{\theta }({\theta }_{\text{éq},1}+\epsilon )=$ $-\frac{1}{𝔞}\frac{dU}{d\epsilon }({\theta }_{\text{éq},1}+\epsilon )\simeq -\frac{k{l}_0}{16}{\epsilon }^3$ d'où, par application de la r.f.d.n. et $\ddot{\theta }(t)=\ddot{\epsilon }(t)$, l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\epsilon (t)=\theta (t)-{\theta }_{\text{éq},1}$ approchée à l'ordre trois en $\epsilon (t)$, $m\ddot{\epsilon }(t)+\frac{k{l}_0}{16}{\epsilon }^3(t)=0$ décrivant un oscillateur à petits mouvements anharmoniques$\}$.

 

Étude d'un cas particulier

     On particularise l'étude en posant $\frac{l_0}{𝔞}=0,8$ et $\frac{mg}{k𝔞}=0,4$.

Détermination numérique des positions d'équilibre ainsi que de leur stabilité (ou instabilité)

     Déterminer numériquement les positions d'équilibre et

     préciser leur stabilité (ou instabilité).

Solution

     Avec $\frac{mg}{k𝔞}=0,4$ $\Rightarrow$ $mg=0,4k𝔞$ et $\frac{l_0}{𝔞}=0,8$ $\Rightarrow$ $\frac{k{l}_0}{2}=0,4k𝔞$ $\Rightarrow$ $k(𝔞-\frac{l_0}{2})=0,6k𝔞$, on constate que $mg$ étant $<$ à $k(𝔞-\frac{l_0}{2})$, il y a trois positions d'équilibre :

• une 1^ère d'abscisse angulaire ${\theta }_{\text{éq},1}=0$ instable et
• deux autres d'abscisses angulaires opposées ${\theta }_{\text{éq},2}=\pm 2\arccos \left[\frac{k{l}_0}{2(k𝔞-mg)}\right]=\pm 2\arccos \left[\frac{\frac{k{l}_0}{2k𝔞}}{1-\frac{mg}{k𝔞}}\right]=\pm 2\arccos \left[\frac{0,4}{1-0,4}\right]=\pm 2\arccos \left[\frac{2}{3}\right]$ soit finalement ${\theta }_{\text{éq},2}\simeq \pm 96,38\text{°}$ toutes deux stables.

 

Réécriture de l'intégrale 1^ère énergétique de M dans des conditions initiales particulières

     Réécrire l'intégrale 1^ère énergétique du point $M$ en fonction de $\theta (t)$, $\dot{\theta }(t)$, $m$, $k$, $𝔞$ et de son énergie mécanique initiale $E_{m,0}$ $($celle-ci résultant des conditions initiales suivantes « on positionne $M$ à l'abscisse angulaire ${\theta }_0$ et on le lâche sans vitesse initiale »$)$.

Solution

     En remplaçant $mg$ et $\frac{k{l}_0}{2}$ par leur expression en fonction de $k𝔞$, l'intégrale 1^ère énergétique du point matériel $M$ à savoir $E_{m,M}(t)=E_{m{,}_{,}0}$ avec $E_{m,0}=U({\theta }_0)$ $=2𝔞[(k𝔞-mg){\cos }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-k{l}_0\cos \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)+(mg-k𝔞+k{l}_0)]=2k{𝔞}^2[(1-\frac{mg}{k𝔞}){\cos }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-2\frac{k{l}_0}{2𝔞}\cos \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)+(\frac{mg}{k𝔞}-1+2\frac{k{l}_0}{2𝔞})]$ ou $E_{m,0}=2k{𝔞}^2[(1-0,4){\cos }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-0,8\cos \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)+(0,4-1+0,8)]=k{𝔞}^2[1,2{\cos }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-1,6\cos \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)+0,4]$ et l'énergie mécanique à l'instant $t$ $E_{m,M}(t)=\frac{1}{2}m{𝔞}^2{\dot{\theta }}^2(t)+U[\theta (t)]=k{𝔞}^2\{\frac{m}{2k}{\dot{\theta }}^2(t)+1,2{\cos }^2\left[\frac{\theta (t)}{2}\right]-1,6\cos \left[\frac{\theta (t)}{2}\right]+0,4\}$, l'intégrale 1^ère énergétique du point matériel $M$ se réécrit $E_{m,M}(t)=E_{m{,}_{,}0}$ avec $\left\{\begin{array}{cc}{E}_{m,M}(t)& =k{𝔞}^2\{\frac{m}{2k}{\dot{\theta }}^2(t)+1,2{\cos }^2\left[\frac{\theta (t)}{2}\right]-1,6\cos \left[\frac{\theta (t)}{2}\right]+0,4\}\\ E_{m,0}=U({\theta }_0)& =k{𝔞}^2[1,2{\cos }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-1,6\cos \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)+0,4]\end{array}\right\}$ ou
$\frac{m}{2k}{\dot{\theta }}^2(t)+1,2{\cos }^2\left[\frac{\theta (t)}{2}\right]-1,6\cos \left[\frac{\theta (t)}{2}\right]=1,2{\cos }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-1,6\cos \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)$ au facteur $k{𝔞}^2$ près.

 

Tracé du diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point M, vérification de la stabilité (ou de l'instabilité) de ses positions d'équilibre et précision de son mouvement dans les conditions initiales imposées

     Tracer, à l'aide d'un logiciel de calcul $($comme Scilab$)$ la courbe d'énergie potentielle $($exprimée en unité $k{𝔞}^2)$ du pendule élastique sur l'intervalle de variation de son abscisse angulaire $\theta$ suivant $[-150\text{°},+150\text{°}]$ puis,

.....Tracer, à l'aide d'un logiciel de calcul ~ sur ce même graphique, les deux courbes d'énergie mécanique $($exprimée dans la même unité $k{𝔞}^2)$ de ce pendule élastique sur le même intervalle $[-150\text{°},+150\text{°}]$ de variation de son abscisse angulaire $\theta$ dans les C.I. $\{{\theta }_{0,1}=120\text{°},{\dot{\theta }}_{0,1}=0\}$ et $\{{\theta }_{0,2}=145\text{°},{\dot{\theta }}_{0,2}=0\}$ ;

     vérifier les abscisses angulaires des positions d'équilibre précédemment déterminées ainsi que leur caractère « stable (ou instable) ».

     Établir que le mouvement du point $M$ correspond à un état lié en vérifiant sa nature oscillatoire autour d'une position d'équilibre, cette dernière dépendant des C.I. de lâcher du point selon le signe de l'énergie mécanique initiale $E_{m,0}$ à savoir :

• si $E_{m,0}$ est $<0$, $[($exemple correspondant à ${\theta }_{0,1}=120\text{°}$ avec ${\dot{\theta }}_{0,1}=0]$, l'oscillation se fait autour de l'une des positions d'équilibre stable $($que l'on précisera$)$, entre les valeurs de l'abscisse angulaire du point $M$ à relever ;
• si $E_{m,0}$ est $>0$, $[($exemple correspondant à ${\theta }_{0,2}=145\text{°}$ avec ${\dot{\theta }}_{0,2}=0]$, l'oscillation se fait autour de la position d'équilibre instable $($à rappeler$)$, entre les valeurs de l'abscisse angulaire du point $M$ à relever.

     À partir de l'intégrale 1^ère énergétique et du diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point $M$ associé, déterminer la nature périodique du mouvement de ce dernier dans les deux C.I. envisagées puis

     exprimer la période $𝒯$ sous forme intégrale pour chaque C.I. envisagée.

Solution

Courbe d'énergie potentielle d'un pendule élastique à extrémités supérieure A fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel M de masse m pouvant se déplacer sans frottement sur un guide circulaire vertical, A étant situé au sommet de ce guide, dans un cas particulier à trois positions d'équilibre

     Voir la courbe d'énergie potentielle du pendule étudié d'équation $U(\theta )=k{𝔞}^2\{1,2{\cos }^2\left[\frac{\theta (t)}{2}\right]-1,6\cos \left[\frac{\theta (t)}{2}\right]+0,4\}$ en bleu ci-contre, les lignes de programme du logiciel de calcul utilisé « Scilab » étant les suivantes :

%theta=[-150:1:150]

U=1.2*(cos(%theta*%pi/180/2))^2-1.6*cos(%theta*%pi/180/2)+0.4;

drawlater

plot(%theta, U, "b");

drawnow

     sur cette courbe on vérifie l'existence de trois positions d'équilibre d'abscisse angulaire respective :

• ${\theta }_{\text{éq},1}=0$ pour laquelle l'énergie potentielle est maximale $\Rightarrow$ équilibre instable et
• ${\theta }_{\text{éq},2}\simeq \pm 96,5\text{°}$ pour lesquelles l'énergie potentielle est minimale $\Rightarrow$ équilibres stables ;

     sur ce graphique on ajoute les deux courbes d'énergie mécanique de ce pendule élastique sur le même intervalle $[-150\text{°},+150\text{°}]$ de variation de son abscisse angulaire $\theta$ dans les C.I.

Superposition de deux diagrammes d'énergies potentielle et mécanique d'un même pendule élastique à extrémités supérieure A fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel M de masse m pouvant se déplacer sans frottement sur un guide circulaire vertical, A étant situé au sommet de ce guide, chacun des diagrammes correspondant à une énergie mécanique de signe contraire à celui de l'autre

• $\{{\theta }_{0,1}=120\text{°},{\dot{\theta }}_{0,1}=0\}$ $\{E_{m,0}(1)=U({\theta }_{0,1}=120\text{°})=k{𝔞}^2[1,2{\cos }^2\left(\frac{120\text{°}}{2}\right)-1,6\cos \left(\frac{120\text{°}}{2}\right)+0,4]=$ $-0,1k{𝔞}^2<0\}$ tracée en rouge sur le diagramme ci-contre et
• $\{{\theta }_{0,2}=145\text{°},{\dot{\theta }}_{0,2}=0\}$ $\{E_{m,0}(2)=U({\theta }_{0,2}=145\text{°})=k{𝔞}^2[1,2{\cos }^2\left(\frac{145\text{°}}{2}\right)-1,6\cos \left(\frac{145\text{°}}{2}\right)+0,4]\simeq$ $+0,0274k{𝔞}^2>0\}$ tracée en vert sur le diagramme ci-contre ;

     les lignes de programme du logiciel de calcul « Scilab » utilisées à la suite des précédentes étant les suivantes

clf()

%theta1=[58:1:125]

Em1=1.2*(cos(120*%pi/180/2))^2-1.6*cos(120*%pi/180/2)+0.4+0*%theta1;

%theta2=[-150:1:150]

Em2=1.2*(cos(145*%pi/180/2))^2-1.6*cos(145*%pi/180/2)+0.4+0*%theta2;

drawlater

plot(%theta, U, "b", %theta1, Em1, "r", %theta2, Em2, "g");

drawnow

     Observant la présence de deux murs d'énergie potentielle en regard sur chacun des diagrammes d'énergies potentielle et mécanique, que l'énergie mécanique initiale soit négative ou positive, on en déduit que le point matériel $M$ est dans un état lié compte-tenu de la nature oscillatoire de son mouvement autour d'une de ses positions d'équilibre ;

• si $E_{m,0}$ est $<0$, $[$correspondant à ${\theta }_{0,1}=120\text{°}$ avec ${\dot{\theta }}_{0,1}=0$ pour lesquelles $E_{m,0}(1)=-0,1k{𝔞}^2]$, l'oscillation se fait autour de la position d'équilibre stable d'abscisse angulaire ${\theta }_{\text{éq},d}\simeq 96,5\text{°}$ entre les valeurs ${\theta }_{\text{min}}(1)\simeq 67,5\text{°}$ et ${\theta }_{\text{max}}(1)\simeq 120\text{°}$, l'oscillation étant dissymétrique et
• si $E_{m,0}$ est $>0$, $[$correspondant à ${\theta }_{0,2}=145\text{°}$ avec ${\dot{\theta }}_{0,2}=0$ pour lesquelles $E_{m,0}(2)\simeq +0,0274k{𝔞}^2]$, l'oscillation se fait autour de la position d'équilibre instable d'abscisse angulaire ${\theta }_{\text{éq. inst.}}=0\text{°}$ entre les valeurs ${\theta }_{\text{min}}(2)\simeq -145\text{°}$ et ${\theta }_{\text{max}}(2)\simeq +145\text{°}$, l'oscillation étant symétrique d'amplitude $145\text{°}$.

     Cas de l'oscillation autour de la position d'équilibre stable de droite d'abscisse angulaire ${\theta }_{\text{éq},d}\simeq 96,5\text{°}$ : de l'intégrale 1^ère énergétique du point $M$ à savoir $E_{m,M}(t)=$ $E_{m,0}<0$ avec $\left\{\begin{array}{cc}{E}_{m,M}(t)& =k{𝔞}^2\{\frac{m}{2k}{\dot{\theta }}^2(t)+1,2{\cos }^2\left[\frac{\theta (t)}{2}\right]-1,6\cos \left[\frac{\theta (t)}{2}\right]+0,4\}\\ E_{m,0}=U({\theta }_0)& =k{𝔞}^2[1,2{\cos }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-1,6\cos \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)+0,4]\end{array}\right\}$ on en déduit l'expression de la valeur absolue de la vitesse angulaire en fonction de l'abscisse angulaire $|\dot{\theta }(t)|=\sqrt{\frac{2k}{m}}\sqrt{1,2\{{\cos }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-{\cos }^2\left[\frac{\theta (t)}{2}\right]\}-1,6\{\cos \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-\cos \left[\frac{\theta (t)}{2}\right]\}}$ d'où, l'expression de la durée élémentaire $dt$ nécessaire pour la variation élémentaire d'abscisse angulaire $d\theta$, $dt=\pm \frac{d\theta }{\sqrt{\frac{2k}{m}}\sqrt{1,2\{{\cos }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-{\cos }^2\left[\frac{\theta (t)}{2}\right]\}-1,6\{\cos \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-\cos \left[\frac{\theta (t)}{2}\right]\}}}$ avec le signe $\left\{\begin{array}{c}-\\ \text{ou}\\ +\end{array}\right\}$ quand $P_u$ se déplace $\left\{\begin{array}{c}\text{de la droite vers la gauche}\\ \text{ou}\\ \text{de la gauche vers la droite}\end{array}\right\}$ soit

• pour le n^ème aller de $P_u$ de $P_{{\theta }_0}$ à $P_{{\theta }_{\text{min}}}$, une durée $\Delta t_{P_{{\theta }_0}\stackrel{n}{\to }{P}_{{\theta }_{\text{min}}}}={\int }_{{\theta }_0}^{{\theta }_{\text{min}}}-\frac{d\theta }{\sqrt{\frac{2k}{m}}\sqrt{1,2\{{\cos }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-{\cos }^2\left[\frac{\theta (t)}{2}\right]\}-1,6\{\cos \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-\cos \left[\frac{\theta (t)}{2}\right]\}}}$ ou finalement $\Delta t_{P_{{\theta }_0}\stackrel{n}{\to }{P}_{{\theta }_{\text{min}}}}=\sqrt{\frac{m}{2k}}{\int }_{{\theta }_{\text{min}}}^{{\theta }_0}\frac{d\theta }{\sqrt{1,2\{{\cos }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-{\cos }^2\left[\frac{\theta (t)}{2}\right]\}-1,6\{\cos \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-\cos \left[\frac{\theta (t)}{2}\right]\}}}$ et
• pour le n^ème retour de $P_u$ de $P_{{\theta }_{\text{min}}}$ à $P_{{\theta }_0}$, une durée $\Delta t_{P_{{\theta }_{\text{min}}}\stackrel{n}{\to }{P}_{{\theta }_0}}={\int }_{{\theta }_{\text{min}}}^{{\theta }_0}\frac{d\theta }{\sqrt{\frac{2k}{m}}\sqrt{1,2\{{\cos }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-{\cos }^2\left[\frac{\theta (t)}{2}\right]\}-1,6\{\cos \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-\cos \left[\frac{\theta (t)}{2}\right]\}}}$ ou finalement $\Delta t_{P_{{\theta }_{\text{min}}}\stackrel{n}{\to }{P}_{{\theta }_0}}=\sqrt{\frac{m}{2k}}{\int }_{{\theta }_{\text{min}}}^{{\theta }_0}\frac{d\theta }{\sqrt{1,2\{{\cos }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-{\cos }^2\left[\frac{\theta (t)}{2}\right]\}-1,6\{\cos \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-\cos \left[\frac{\theta (t)}{2}\right]\}}}$ d'où
• la durée du n^ème aller-retour du point générique $P_u$ entre les deux murs d'énergie potentielle $\Delta t_{P_{{\theta }_0}\stackrel{n}{\to }{P}_{{\theta }_{\text{min}}}\stackrel{n}{\to }{P}_{{\theta }_0}}=\Delta t_{P_{{\theta }_0}\stackrel{n}{\to }{P}_{{\theta }_{\text{min}}}}+\Delta t_{P_{{\theta }_{\text{min}}}\stackrel{n}{\to }{P}_{{\theta }_0}}$ soit, la durée de l'aller étant égale à celle du retour, $\Delta t_{P_{{\theta }_0}\stackrel{n}{\to }{P}_{{\theta }_{\text{min}}}\stackrel{n}{\to }{P}_{{\theta }_0}}=2\sqrt{\frac{m}{2k}}{\int }_{{\theta }_{\text{min}}}^{{\theta }_0}\frac{d\theta }{\sqrt{1,2\{{\cos }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-{\cos }^2\left[\frac{\theta (t)}{2}\right]\}-1,6\{\cos \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-\cos \left[\frac{\theta (t)}{2}\right]\}}}$ ou finalement $\Delta t_{P_{{\theta }_0}\stackrel{n}{\to }{P}_{{\theta }_{\text{min}}}\stackrel{n}{\to }{P}_{{\theta }_0}}=\sqrt{\frac{2m}{k}}{\int }_{{\theta }_{\text{min}}}^{{\theta }_0}\frac{d\theta }{\sqrt{1,2\{{\cos }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-{\cos }^2\left[\frac{\theta (t)}{2}\right]\}-1,6\{\cos \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-\cos \left[\frac{\theta (t)}{2}\right]\}}}$ indépendante de $n$, ce qui établit la nature périodique du mouvement de $M$, sa période ${𝒯}_{E_{m,M}<0}$ étant la durée d'une quelconque de ses oscillations soit ${𝒯}_{E_{m,M}<0}=\sqrt{\frac{2m}{k}}{\int }_{{\theta }_{\text{min}}}^{{\theta }_0}\frac{d\theta }{\sqrt{1,2\{{\cos }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-{\cos }^2\left[\frac{\theta (t)}{2}\right]\}-1,6\{\cos \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-\cos \left[\frac{\theta (t)}{2}\right]\}}}$ ;

     Cas de l'oscillation autour de la position d'équilibre instable d'abscisse angulaire ${\theta }_{\text{éq. inst.}}=0$ : la démarche à suivre est identique à celle suivie précédemment à condition de remplacer $E_{m,0}<0$ par $E_{m,0}>0$ et ${\theta }_{\text{min}}$ par $-{\theta }_0$ d'où la nature périodique du mouvement de $M$, sa période ${𝒯}_{E_{m,M}>0}$ étant la durée d'une de ses oscillations soit ${𝒯}_{E_{m,M}>0}=\sqrt{\frac{2m}{k}}{\int }_{-{\theta }_0}^{{\theta }_0}\frac{d\theta }{\sqrt{1,2\{{\cos }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-{\cos }^2\left[\frac{\theta (t)}{2}\right]\}-1,6\{\cos \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-\cos \left[\frac{\theta (t)}{2}\right]\}}}$ ou encore
${𝒯}_{E_{m,M}>0}=2\sqrt{\frac{2m}{k}}{\int }_0^{{\theta }_0}\frac{d\theta }{\sqrt{1,2\{{\cos }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-{\cos }^2\left[\frac{\theta (t)}{2}\right]\}-1,6\{\cos \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-\cos \left[\frac{\theta (t)}{2}\right]\}}}$.

 

Étude des petits mouvements du point M et vérification du caractère harmonique de l'approximation de ces petits mouvements autour d'une des positions d'équilibre stable

     On considère maintenant des petites oscillations autour d'une des positions d'équilibre stable $[$on pose $\epsilon (t)=\theta (t)-{\theta }_{\text{éq. st.}}$ avec ${\theta }_{\text{éq. st.}}$ correspondant à une des positions d'équilibre stable déterminées précédemment$]$, vérifier que les petites oscillations de cet oscillateur satisfont à une approximation harmonique non amortie et pour cela, préciser le D.L. à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro de l'énergie potentielle $U(\theta )$ en l'infiniment petit d'ordre un $\epsilon$, puis

     réécrire l'intégrale 1^ère énergétique des petits mouvements de $M$ en fonction de $\epsilon (t)$, $\dot{\epsilon }(t)$, $m$, $k$, $𝔞$ et l'énergie mécanique initiale $E_{m,0}$.

Solution

     Considérant maintenant des petites oscillations autour d'une des positions d'équilibre stable d'abscisse angulaire ${\theta }_{\text{éq},2}\simeq \pm 96,5\text{°}$ et définissant l'écart angulaire relativement à cette position d'équilibre selon $\epsilon =\theta -{\theta }_{\text{éq},2}$ comme infiniment petit d'ordre un, on forme le D.L. de l'énergie potentielle $U({\theta }_{\text{éq},2}+\epsilon )$ à l'ordre deux en $\epsilon$, soit $U({\theta }_{\text{éq},2}+\epsilon )=k{𝔞}^2[1,2{\cos }^2\left(\frac{{\theta }_{\text{éq},2}+\epsilon }{2}\right)-1,6\cos \left(\frac{{\theta }_{\text{éq},2}+\epsilon }{2}\right)+0,4]\simeq U({\theta }_{\text{éq},2})\cancel{+U^{\prime }({\theta }_{\text{éq},2})\epsilon }+\frac{U^{″}({\theta }_{\text{éq},2})}{2}{\epsilon }^2$ dans lequel

• $U^{\prime }(\theta )=k{𝔞}^2[-\frac{1,2\times 2}{2}\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+\frac{1,6}{2}\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)]=k{𝔞}^2[-0,6\sin (\theta )+0,8\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)]$ et
• $U^{″}(\theta )=k{𝔞}^2[-0,6\cos (\theta )+\frac{0,8}{2}\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)]=k{𝔞}^2[-1,2{\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)+0,6+0,4\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)]$ d'où, avec ${\theta }_{\text{éq},2}=\pm 2\arccos \left(\frac{2}{3}\right)$ $\Rightarrow$ $\cos \left(\frac{{\theta }_{\text{éq},2}}{2}\right)=$ $\frac{2}{3}$, $U^{″}({\theta }_{\text{éq},2})=k{𝔞}^2[-1,2\times \frac{4}{9}+0,6+0,4\times \frac{2}{3}]=\frac{k{𝔞}^2}{3}$ soit finalement

$U({\theta }_{\text{éq},2}+\epsilon )\simeq U({\theta }_{\text{éq},2})+\frac{k{𝔞}^2}{6}{\epsilon }^2$ prouvant que le profil d'énergie potentielle étant localement une cuvette parabolique,
l'approximation des petites oscillations autour d'une des positions d'équilibre stable d'abscisse angulaire ${\theta }_{\text{éq},2}\simeq \pm 96,5\text{°}$ est « harmonique » ;      l'intégrale 1^ère énergétique des petits mouvements de $M$ autour d'une des positions d'équilibre stable d'abscisse angulaire ${\theta }_{\text{éq},2}\simeq \pm 96,5\text{°}$ se réécrit selon $E_{m,M}(t)=E_{m{,}_{,}0}$ avec $E_{m,M}(t)=k{𝔞}^2\{\frac{m}{2k}{\dot{\epsilon }}^2(t)+\frac{U({\theta }_{\text{éq},2})}{k{𝔞}^2}+\frac{1}{6}{\epsilon }^2(t)\}$
soit finalement $k{𝔞}^2\{\frac{m}{2k}{\dot{\epsilon }}^2(t)+\frac{U({\theta }_{\text{éq},2})}{k{𝔞}^2}+\frac{1}{6}{\epsilon }^2(t)\}=E_{m,0}$.

 

Équation différentielle du 2^ème ordre des petits mouvements du point M autour d'une des positions d'équilibre stable et détermination de sa période

     Déduire l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\epsilon (t)$ des petits mouvements du point M autour d'une des positions d'équilibre stable à partir de l'intégrale 1^ère énergétique de ses petits mouvements et

     déterminer alors la période ${𝒯}_{\text{petites élong.}}$ des petites oscillations du point $M$ $[$on exprimera celle-ci en fonction de ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}]$.

Solution

     L'équation différentielle du 2^ème ordre en $\epsilon (t)$ des petits mouvements du point M autour d'une des positions d'équilibre stable d'abscisse angulaire ${\theta }_{\text{éq},2}\simeq \pm 96,5\text{°}$ se déduit de l'intégrale 1^ère énergétique de ses petits mouvements par dérivation temporelle soit $k{𝔞}^2\{\frac{m}{k}\dot{\epsilon }(t)\ddot{\epsilon }(t)+\frac{1}{3}\epsilon (t)\dot{\epsilon }(t)\}=0$ d'où, après simplification par $k{𝔞}^2\dot{\epsilon }(t)$ non identiquement nul et normalisation, l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\epsilon (t)$ des petits mouvements du point M autour de ${\theta }_{\text{éq},2}\simeq \pm 96,5\text{°}$$\ddot{\epsilon }(t)+\frac{k}{3m}\epsilon (t)=0$ ;      on en déduit la pulsation propre des petites élongations angulaires du point $M$ à savoir ${\omega }_{\text{petites élong.}}=\sqrt{\frac{k}{3m}}=\frac{{\omega }_0}{\sqrt{3}}$ en posant ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$ et par suite la période des petites oscillations du point $M$ : ${𝒯}_{\text{petites élong.}}=\frac{2\pi }{{\omega }_{\text{petites élong.}}}=\frac{2\pi }{{\omega }_0}\sqrt{3}$.