Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable

Oscillations dans une cuvette d'énergie potentielle

......Un point matériel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ est astreint à se déplacer sans frottement sur un axe $\;{\overrightarrow {Ox}}$.

......Il est soumis de la part du point $\;O\;$ à la force centrale $\;{\vec {F}}(x)=\left[-{\dfrac {a}{x^{2}}}+{\dfrac {b}{x^{3}}}\right]{\vec {u}}_{x}\;$ où $\;a\;$ et $\;b\;$ sont deux constantes positives ;

......on suppose que l'abscisse $\;x\;$ du point mobile reste $\;\geqslant 0$.

Détermination de la position d'équilibre du point matériel M

......Exprimer la valeur $\;x_{\text{éq}}\;$ pour laquelle le point matériel est en équilibre.

Solution

......Bien sûr, il convient d'ajouter un schéma avec bilan de forces (une seule), le référentiel d'étude étant galiléen.

......L'équilibre correspond à $\;F_{x}(x_{\text{éq}})=0\;$ soit $\;-{\dfrac {a}{x_{\text{éq}}^{\,2}}}+{\dfrac {b}{x_{\text{éq}}^{\,3}}}=0\;$ dont on déduit aisément la valeur de l'abscisse de la position d'équilibre $\;x_{\text{éq}}={\dfrac {b}{a}}$.

 

Détermination et représentation en fonction de x du diagramme de l'énergie potentielle dont dérive la force centrale, étude de la stabilité de la position d'équilibre du point matériel M

......Exprimer l'énergie potentielle $\;U(x)\;$ dont dérive la force centrale $\;{\vec {F}}(x)$ [on choisira la référence de l'énergie potentielle à l'infini] ;

......représenter la courbe d'énergie potentielle en fonction de l'abscisse $\;x\;$ du point matériel $\;M$ ;

......déduire, de ce tracé, le caractère stable de la position d'équilibre du point mobile.

Solution

......L'énergie potentielle $\;U(x)\;$ est définie par $\;F_{x}(x)=-{\dfrac {dU}{dx}}(x)\;$ soit $\;-{\dfrac {a}{x^{2}}}+{\dfrac {b}{x^{3}}}=-{\dfrac {dU}{dx}}(x)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {dU}{dx}}(x)={\dfrac {a}{x^{2}}}-{\dfrac {b}{x^{3}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;U(x)=-{\dfrac {a}{x}}+{\dfrac {b}{2\,x^{2}}}+cste\;$ ou encore, avec la référence à l'infini, $\;U=-{\dfrac {a}{x}}+{\dfrac {b}{2\,x^{2}}}$.

Tracé du diagramme d'énergie potentielle U(x) d'un point M se déplaçant sur l'axe Ox et soumis à la composante de force F_x = -a/x² + b/x³ (référence de U à l'infini)

......$\;U\;$ est extrémale pour $\;x_{\text{éq}}={\dfrac {b}{a}}\;$ avec :

• si $\;x\rightarrow 0$, $\;{\dfrac {dU}{dx}}(x)\sim -{\dfrac {b}{x^{3}}}\rightarrow -\infty \;$ d'où $\;{\dfrac {dU}{dx}}(x)<0\;$ pour $\;x\in \left]0{\text{ ; }}x_{\text{éq}}\right]\;$ et par suite $\;U(x)\searrow \;$ sur cet intervalle, de plus, quand $\;x\rightarrow 0$, $\;U(x)\sim {\dfrac {b}{2\,x^{2}}}\rightarrow +\infty$,
• si $\;x\rightarrow +\infty$, $\;{\dfrac {dU}{dx}}(x)\sim {\dfrac {a}{x^{2}}}\rightarrow 0^{+}\;$ d'où $\;{\dfrac {dU}{dx}}(x)>0\;$ pour $\;x\in \left[x_{\text{éq}}{\text{ ; }}+\infty \right[\;$ et par suite $\;U(x)\nearrow \;$ sur cet intervalle, de plus, quand $\;x\rightarrow +\infty$, $\;U(x)\sim -{\dfrac {a}{x}}\rightarrow 0^{-}$ et enfin
• $\;U(x_{\text{éq}})=-{\dfrac {a^{2}}{2\,b}}<0$ (voir tracé du diagramme ci-contre) ;

......de ce qui précède, on déduit que $\;U(x)\;$ est minimale pour $\;x_{\text{éq}}\;$ et donc que cette position d'équilibre est stable.

 

Détermination et représentation en fonction de x du diagramme de l'énergie mécanique, étude des mouvements possibles du point matériel M

......Exprimer l'énergie mécanique $\;E_{m,\,M}(t)\;$ du point matériel $\;M\;$ dans le champ de la force centrale $\;{\vec {F}}(x)\;$ quand $\;M\;$ occupe la position d'abscisse $\;x(t)\;$ avec la vitesse $\;{\dot {x}}(t)\;$ et

......représenter, sur le même diagramme que précédemment, la courbe d'énergie mécanique en fonction de l'abscisse $\;x\;$ du point matériel $\;M$.

......Discuter, suivant la valeur de l'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,M}(0)\;$ du point matériel $\;M$, le (ou les) mouvement(s) possible(s) de ce dernier quand il est lâché sans vitesse initiale de la position d'abscisse $\;x_{0}$.

Solution

......L'énergie mécanique du point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ est défini selon $\;E_{m,\,M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t)+U\!\left[x(t)\right]\;$ et, comme il n'y a pas de forces non conservatives, elle garde sa valeur initiale $\;E_{m,\,M}(0)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(0)+U(x_{0})\;$ ou $\;E_{m,\,M}(0)=U(x_{0})\;$ en absence de vitesse initiale soit finalement l'intégrale 1^re énergétique $\;E_{m,\,M}(t)=E_{m,\,M}(0)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t)+U\!\left[x(t)\right]=U(x_{0})$.

Tracé simultané de la courbe d'énergie potentielle U(x) d'un point M se déplaçant sur l'axe Ox et soumis à la composante de force F_x = -a/x² + b/x³ (référence de U à l'infini) (en bleu) et de deux courbes d'énergie mécanique l'une (en vert) définissant un état de diffusion et l'autre (en magenta) un état lié

......Des diagrammes d'énergies potentielle et mécanique du point $\;M\;$ sont représentés ci-contre,

• en bleu pour la courbe d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})\;$ et
• deux exemples de courbe d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})\;$ l'un en vert correspondant à $\;E_{m,\,M}(0)>0$, l'autre en magenta pour $\;E_{m,\,M}(0)<0$ ;

......les deux exemples de courbe d'énergie mécanique se différencient selon la discussion suivante :

• pour $\;E_{m,\,M}(0)\geqslant 0$, c'est-à-dire pour $\;x_{0}\leqslant {\dfrac {x_{\text{éq}}}{2}}$, on observe un état de diffusion vers l'infini [assuré par la présence d'un seul mur d'énergie potentielle], $\;x_{0}\;$ étant alors la distance minimale d'approche de l'origine,
• pour $\;E_{m,\,M}(0)<0$, c'est-à-dire pour $\;x_{0}>{\dfrac {x_{\text{éq}}}{2}}$, on observe un état lié [assuré par la présence de deux murs d'énergie potentielle en regard], le mouvement de $\;M\;$ étant oscillatoire autour de la position d'équilibre stable avec $\;x_{0}\;$ distance minimale ou maximale d'approche suivant que cette abscisse initiale est $\;<\;$ ou $\;>\;$ à $\;x_{\text{éq}}$, l'abscisse de l'autre mur d'énergie potentielle étant alors $\;>\;$ ou $\;<\;$ à $\;x_{\text{éq}}\;$ et définissant la distance maximale ou minimale d'approche.

 

Détermination de l'équation différentielle du 2^ème ordre en x(t) du mouvement du point mobile, étude des petits mouvements de M au voisinage de sa position d'équilibre stable

......À partir de l'intégrale 1^re énergétique précédemment établie, déterminer l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;x(t)\;$ du mouvement du point matériel $\;M\;$ et

......établir l'expression approchée de l'équation différentielle du 2^ème ordre en l'écart de l'abscisse du point relativement à sa position d'équilibre stable $\;\varepsilon (t)=x(t)-x_{\text{éq}}\;$ dans le cadre des petits mouvements du point ;

......en déduire la nature périodique du mouvement des petites oscillations du point matériel $\;M\;$ autour de sa position d'équilibre et

......expliciter sa période $\;T\;$ en fonction des données.

Solution

......On détermine l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;x(t)\;$ du mouvement du point matériel $\;M\;$ en dérivant par rapport au temps l'intégrale 1^re énergétique $\;E_{m,\,M}(t)=$ $E_{m,\,M}(0)\;$ soit $\;{\dfrac {dE_{m,\,M}}{dt}}(t)=0\;$ avec $\;{\dfrac {dE_{m,\,M}}{dt}}(t)=m\;{\dot {x}}(t)\;{\ddot {x}}(t)+{\dfrac {dU}{dx}}\!\left[x(t)\right]{\dot {x}}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {x}}(t)\left\lbrace m\;{\ddot {x}}(t)+{\dfrac {dU}{dx}}\!\left[x(t)\right]\right\rbrace =0\;$ ou, en simplifiant par $\;{\dot {x}}(t)\;$ non identiquement nul et, en se souvenant de $\;F_{x}(x)=-{\dfrac {dU}{dx}}(x)\;$ avec $\;F_{x}(x)=-{\dfrac {a}{x^{2}}}+{\dfrac {b}{x^{3}}}$, la réécriture de l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;x(t)\;$ du mouvement du point matériel $\;M\;$ selon $\;m\;{\ddot {x}}(t)+{\dfrac {a}{x^{2}(t)}}-{\dfrac {b}{x^{3}(t)}}=0\;$ ;

......posant $\;x(t)=x_{\text{éq}}+\varepsilon (t)\;$ avec $\;\varepsilon (t)\;$ infiniment petit d'ordre 1, le D.L. à l'ordre le plus bas non nul de $\;f(x)=-F_{x}(x)\;$ au voisinage de $\;x_{\text{éq}}\;$ est vraisemblablement $\;f(x)=-F_{x}(x)\simeq \;{\cancel {-F_{x}(x_{\text{éq}})}}\;-{\dfrac {dF_{x}}{dx}}(x_{\text{éq}})\;\varepsilon \;$ dans la mesure où $\;{\dfrac {dF_{x}}{dx}}(x_{\text{éq}})\;$ est $\;\neq 0\;$ et, dans ces conditions, l'équation différentielle au voisinage de la position d'équilibre devient : $\;m\;{\ddot {\varepsilon }}(t)-{\dfrac {dF_{x}}{dx}}(x_{\text{éq}})\;\varepsilon (t)=0\;$ ;

......il suffit de calculer $\;{\dfrac {dF_{x}}{dx}}(x_{\text{éq}})\;$ à partir de $\;{\dfrac {dF_{x}}{dx}}(x)={\dfrac {2\;a}{x^{3}}}-{\dfrac {3\;b}{x^{4}}}\;$ soit $\;{\dfrac {dF_{x}}{dx}}(x_{\text{éq}})={\dfrac {2\;a}{x_{\text{éq}}^{\,3}}}-{\dfrac {3\;b}{x_{\text{éq}}^{\,4}}}={\dfrac {2\;a^{4}}{b^{\,3}}}-{\dfrac {3\;a^{4}}{b^{\,3}}}\;$ et finalement $\;{\dfrac {dF_{x}}{dx}}(x_{\text{éq}})=-{\dfrac {a^{4}}{b^{\,3}}}<0$ [dans l'hypothèse où cette dérivée est non nulle, elle doit effectivement être $\;<0\;$ pour caractériser un équilibre stable] ;

......on en déduit l'équation différentielle linéarisée des petits mouvements du point $\;M\;$ autour de sa position d'équilibre stable $\;m\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {a^{4}}{b^{\,3}}}\;\varepsilon (t)=0\;$ ou, sous sa forme normalisée $\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {a^{4}}{m\;b^{\,3}}}\;\varepsilon (t)=0$ ; ......la période des petites oscillations du point $\;M\;$ autour de sa position d'équilibre stable est alors $\;T\simeq 2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m\;b^{\,3}}{a^{4}}}}\;$ ou encore $\;T\simeq {\dfrac {2\;\pi \;b^{2}}{a^{2}}}\;{\sqrt {\dfrac {m}{b}}}$.

 

Oscillateurs non linéaires, tentative de linéarisation (traitement par r.f.d.n.)

Oscillations transversales d'une balle fixée au milieu d'une corde idéale verticale

Oscillations transversales d'une balle ponctuelle fixée au milieu d'une corde sans masse, initialement verticale et supposée inélastique

......Une balle supposée ponctuelle $\;M$, de masse $\;m$, est fixée au milieu d'une corde, de masse nulle et de longueur $\;l_{0}\;$ quand la corde est tendue verticalement entre ses deux points d'attache $\;O_{s}\;$ et $\;O_{i}$ ;

......on écarte $\;M$, dans le sens positif, d'un angle $\;\theta _{0}\ll 1\;$ de sa position d'équilibre $\;O$, milieu du segment $\;\left[O_{i}O_{s}\right]$, et on le lâche sans vitesse initiale ;

......la longueur de la corde $\;l(x)$, avec $\;x\;$ abscisse du point $\;M\;$ sur l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\perp \;$ au segment $\;\left[O_{i}O_{s}\right]$, varie donc, mais, si la corde doit être considérée comme extensible, nous la supposons inélastique c'est-à-dire que sa tension $\;T\;$ reste constante au cours du mouvement de $\;M\;$ ;

......le poids $\;m\;{\vec {g}}\;$ de la balle est de norme négligeable devant celle des forces de tension, ce qui entraîne, pour $\;M$, un mouvement rectiligne suivant $\;{\overrightarrow {Ox}}$.

Détermination de l'équation différentielle du 2^ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle sans tenir compte du caractère petit de θ₀

......Déterminer, par application de la r.f.d.n. à la balle $\;M$, l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;x(t)\;$ du mouvement de $\;M$, sans tenir compte de $\;\theta _{0}\ll 1\;$ et

......vérifier qu'elle n'est pas linéaire.

Solution

Oscillations transversales d'une balle ponctuelle fixée au milieu d'une corde sans masse, initialement verticale et supposée inélastique, avec représentation des forces appliquées à la balle

......Sur le schéma ci-contre sont représentées les deux forces appliquées à la balle supposée ponctuelle $\;M\;$ à savoir :

• la force exercée par la partie supérieure de la corde $\;{\vec {T}}_{1}(t)=-T_{1}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{x}+T_{1}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{y}\;$ avec $\;T_{1}=\Vert {\vec {T}}_{1}(t)\Vert \;$ restant constante au cours du temps et
• la force exercée par la partie inférieure de la corde $\;{\vec {T}}_{2}(t)=-T_{2}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{x}-T_{2}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{y}\;$ avec $\;T_{2}=\Vert {\vec {T}}_{2}(t)\Vert \;$ restant aussi constante au cours du temps, le texte ajoutant que $\;T_{1}=T_{2}\;$ de valeur commune notée $\;T\;$ ;

......appliquant la r.f.d.n. à la balle ponctuelle $\;M\;$ dans le référentiel d'étude supposé galiléen, on obtient $\;{\vec {T}}_{1}(t)+{\vec {T}}_{2}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ soit, en projetant sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ dans le cas où $\;\theta _{0}\;{\cancel {\ll }}\;1$, l'équation suivante $\;-2\;T\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=m\;{\ddot {x}}(t)\;$ ou, en éliminant $\;\theta (t)\;$ au profit de $\;x(t)\;$ par $\;\sin \!\left[\theta (t)\right]={\dfrac {x(t)}{\sqrt {{\dfrac {l_{0}^{\,2}}{4}}+x^{2}\!(t)}}}$, l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;x(t)\;$ du mouvement de $\;M\;$ suivante $\;m\;{\ddot {x}}(t)+{\dfrac {2\;T}{\sqrt {{\dfrac {l_{0}^{\,2}}{4}}+x^{2}\!(t)}}}\;x(t)=0\;$ sans tenir compte de $\;\theta _{0}\ll 1\;$,
équation différentielle caractéristique d'un oscillateur « non linéaire » non amorti.

 

Tentative de linéarisation de l'équation différentielle du 2^ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle en tenant compte du caractère petit de θ₀

......Considérant maintenant $\;\theta _{0}\ll 1\;$, vérifier que la linéarisation de l'oscillateur est possible en déterminant son équation différentielle en $\;x(t)\;$ puis

......donner son équation de mouvement $\;x=x(t)\;$ ainsi que

......donner sa période $\;{\mathcal {T}}_{0}\;$ des petites oscillations.

Solution

......Pouvant établir, pour cet oscillateur « non linéaire » non amorti lâché sans vitesse initiale, la nature oscillatoire dans le cas où $\;\theta _{0}\;$ n'est pas nécessairement $\;\ll 1$, ce qui a pour conséquence $\;\vert \theta (t)\vert \leqslant \theta _{0}\;\;\forall \;t\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\vert x(t)\vert \leqslant x_{0}\;\;\forall \;t\;$, l'hypothèse restrictive $\;\theta _{0}\ll 1\;$ entraînant $\;\vert \theta (t)\vert \ll 1\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\vert x(t)\vert \ll {\dfrac {l_{0}}{2}}\;$ ou $\;{\dfrac {\vert x(t)\vert }{\dfrac {l_{0}}{2}}}\ll 1\;$ permettant de considérer $\;{\dfrac {x(t)}{\dfrac {l_{0}}{2}}}={\dfrac {2\;x(t)}{l_{0}}}\;$ comme un infiniment petit d'ordre 1 ;

......pour tenter de linéariser l'oscillateur « non linéaire » non amorti, il faut faire un D.L. de $\;f(x)={\dfrac {2\;T}{\sqrt {{\dfrac {l_{0}^{\,2}}{4}}+x^{2}}}}\;x\;$ au voisinage de $\;x_{\text{éq}}=0\;$ à l'ordre 1 en $\;{\dfrac {2\;x}{l_{0}}}\;$ à condition que $\;f'(x_{\text{éq}})\;$ ne soit pas nul, ce qui donne, en faisant apparaître l'infiniment petit d'ordre 1 dans l'expression à développer $\;f\!\left[x(t)\right]={\dfrac {T\;l_{0}}{{\dfrac {l_{0}}{2}}\;{\sqrt {1+\left[{\dfrac {2\;x(t)}{l_{0}}}\right]^{2}}}}}\;{\dfrac {2\;x(t)}{l_{0}}}\;$ ou $\;f\!\left[x(t)\right]$ $={\dfrac {2\;T}{\sqrt {1+\left[{\dfrac {2\;x(t)}{l_{0}}}\right]^{2}}}}\;{\dfrac {2\;x(t)}{l_{0}}}$ ; cette dernière expression étant un produit de deux facteurs dont l'un $\;{\dfrac {2\;x(t)}{l_{0}}}\;$ est un infiniment petit d'ordre 1, il suffit, pour obtenir le D.L. du produit à l'ordre 1 en $\;{\dfrac {2\;x(t)}{l_{0}}}$, de prendre le 2^ème facteur $\;{\Bigg \{}$c'est-à-dire $\;{\dfrac {2\;T}{\sqrt {1+\left[{\dfrac {2\;x(t)}{l_{0}}}\right]^{2}}}}=2\;T\left\lbrace 1+\left[{\dfrac {2\;x(t)}{l_{0}}}\right]^{2}\right\rbrace ^{\!-{\frac {1}{2}}}{\Bigg \}}\;$ à l'ordre 0 en $\;{\dfrac {2\;x(t)}{l_{0}}}$ d'où $\;f\!\left[x(t)\right]\simeq$ $\left[2\;T\times 1\right]{\dfrac {2\;x(t)}{l_{0}}}\;$ à l'ordre 1 en $\;{\dfrac {2\;x(t)}{l_{0}}}\;$ soit finalement $\;f\!\left[x(t)\right]\simeq {\dfrac {4\;T}{l_{0}}}\;x(t)\;$ et par suite la forme approchée à l'ordre 1 en $\;{\dfrac {2\;x(t)}{l_{0}}}\;$ de l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;x(t)\;$ de l'oscillateur « non linéaire » non amorti se réécrit, dans le cadre des petits mouvements autour de la position d'équilibre stable, selon : $\;m\;{\ddot {x}}(t)+{\dfrac {4\;T}{l_{0}}}\;x(t)=0\;$ correspondant à
une approximation harmonique de l'oscillateur (c'est-à-dire une linéarisation réussie) ; ......son équation des petits mouvements est alors $\;x=A\;\cos(\omega _{0}\;t)+B\;\sin(\omega _{0}\;t)\;$ avec $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {4\;T}{m\;l_{0}}}}\;$ pulsation propre des petites oscillations, $\;A\;$ et $\;B\;$ se déterminant à l'aide des C.I. $\;x(0)=x_{0}\;$ et $\;{\dot {x}}(0)=0\;$ $\Rightarrow$ $\;A=x_{0}\;$ par la 1^re C.I. et $\;B\;\omega _{0}=0\;$ d'où $\;B=0\;$ par la 2^ème, soit finalement, l'équation des petits mouvements $\;x=x_{0}\;\cos(\omega _{0}\;t)\;$ avec $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {4\;T}{m\;l_{0}}}}$ ; ......la période $\;{\mathcal {T}}_{0}\;$ des petites oscillations est alors $\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=\pi \;{\sqrt {\dfrac {m\;l_{0}}{T}}}\;$.

 

Oscillations transversales d'une balle fixée entre deux ressorts identiques initialement d'axe commun vertical, les ressorts y étant allongés

Oscillations transversales d'une balle ponctuelle fixée entre deux ressorts idéaux, identiques, de même axe initial vertical avec un même allongement Δl_éq

......On remplace maintenant la corde par deux ressorts idéaux, identiques, de raideur $\;k\;$ et de longueur à vide $\;l_{v}$, avec l'extrémité supérieure de l'un fixée en $\;O_{s}\;$ et l'extrémité inférieure de l'autre en $\;O_{i}$, l'extrémité intermédiaire étant reliée à la balle supposée ponctuelle $\;M\;$ de masse $\;m$ ;

......à l'équilibre, la position de la balle est en $\;O$, milieu du segment $\;\left[O_{i}O_{s}\right]\;$ et les deux ressorts y sont tendus, leur allongement commun à l'équilibre valant $\;\Delta l_{\text{éq}}=l_{\text{éq}}-l_{v}>0$ ;

......le poids $\;m\;{\vec {g}}\;$ de la balle est toujours considéré de norme négligeable devant celle des forces de tension des ressorts, ce qui entraîne, pour $\;M$, un mouvement rectiligne suivant $\;{\overrightarrow {Ox}}$ ;

......on écarte $\;M$, dans le sens positif, d'un angle $\;\theta _{0}\ll 1\;$ de sa position d'équilibre $\;O$, milieu du segment $\;\left[O_{i}O_{s}\right]$, et on le lâche sans vitesse initiale.

Détermination de l'équation différentielle du 2^ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle sans tenir compte du caractère petit de θ₀

......Déterminer, par application de la r.f.d.n. à la balle $\;M$, l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;x(t)\;$ du mouvement de $\;M$, sans tenir compte de $\;\theta _{0}\ll 1\;$ et

......vérifier qu'elle n'est pas linéaire.

Solution

Oscillations transversales d'une balle ponctuelle M fixée entre deux ressorts idéaux, identiques, de même axe initial vertical avec un même allongement Δl_éq, représentation des forces appliquées à la balle

......Sur le schéma ci-contre sont représentées les deux forces appliquées à la balle supposée ponctuelle $\;M\;$ à savoir :

• la force exercée par le ressort supérieur $\;{\vec {T}}_{1}(t)=-T_{1}(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{x}+T_{1}(t)\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{y}\;$ dans laquelle $\;T_{1}(t)=\Vert {\vec {T}}_{1}(t)\Vert =$ $k\left[\Vert {\overrightarrow {O_{s}M}}(t)\Vert -l_{v}\right]\;$ selon la loi de Hooke et
• la force exercée par le ressort inférieur $\;{\vec {T}}_{2}(t)=-T_{2}(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{x}-T_{2}(t)\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{y}\;$ avec $\;T_{2}(t)=\Vert {\vec {T}}_{2}(t)\Vert =k\left[\Vert {\overrightarrow {O_{i}M}}(t)\Vert -l_{v}\right]\;$ selon la même loi de Hooke, le texte ajoutant que $\;T_{1,\,{\text{éq}}}=T_{2,\,{\text{éq}}}\;$ ce qui est un cas particulier de $\;T_{1}(t)=T_{2}(t)$, les deux ressorts ayant même raideur et les longueurs à charge et à vide de chacun étant la même ;

......appliquant la r.f.d.n. à la balle ponctuelle $\;M\;$ dans le référentiel d'étude supposé galiléen, on obtient $\;{\vec {T}}_{1}(t)+{\vec {T}}_{2}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ soit, en projetant sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ dans le cas où $\;\theta _{0}\;{\cancel {\ll }}\;1$, l'équation suivante $\;-2\;T(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=m\;{\ddot {x}}(t)\;$ avec $\;T(t)\;$ valeur commune de $\;T_{1}(t)=T_{2}(t)\;$ soit, avec $\;\Vert {\overrightarrow {O_{s}M}}(t)\Vert =\Vert {\overrightarrow {O_{i}M}}(t)\Vert ={\sqrt {l_{\text{éq}}^{\,2}+x^{2}\!(t)}}\;$ $\Rightarrow$ $\;T(t)=k\left[{\sqrt {l_{\text{éq}}^{\,2}+x^{2}\!(t)}}-l_{v}\right]\;$ ou, en éliminant $\;\theta (t)\;$ au profit de $\;x(t)\;$ par $\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=$ ${\dfrac {x(t)}{\sqrt {l_{\text{éq}}^{\,2}+x^{2}\!(t)}}}$, l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;x(t)\;$ du mouvement de $\;M\;$ suivante $\;m\;{\ddot {x}}(t)+2\;k\,\left[1-{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {l_{\text{éq}}^{\,2}+x^{2}\!(t)}}}\right]\,x(t)=0\;$ sans tenir compte de $\;\theta _{0}\ll 1\;$,
équation différentielle caractéristique d'un oscillateur « non linéaire » non amorti.$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$

 

Tentative de linéarisation de l'équation différentielle du 2^ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle en tenant compte du caractère petit de θ₀

......Considérant maintenant $\;\theta _{0}\ll 1\;$, vérifier que la linéarisation de l'oscillateur est possible en déterminant son équation différentielle en $\;x(t)\;$ puis

......donner son équation de mouvement $\;x=x(t)\;$ ainsi que

......donner sa période $\;{\mathcal {T}}_{0}\;$ des petites oscillations.

Solution

......Pouvant établir, pour cet oscillateur « non linéaire » non amorti lâché sans vitesse initiale, la nature oscillatoire dans le cas où $\;\theta _{0}\;$ n'est pas nécessairement $\;\ll 1$, ce qui a pour conséquence $\;\vert \theta (t)\vert \leqslant \theta _{0}\;\;\forall \;t\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\vert x(t)\vert \leqslant x_{0}\;\;\forall \;t\;$, l'hypothèse restrictive $\;\theta _{0}\ll 1\;$ entraînant $\;\vert \theta (t)\vert \ll 1\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\vert x(t)\vert \ll l_{\text{éq}}\;$ ou $\;{\dfrac {\vert x(t)\vert }{l_{\text{éq}}}}\ll 1\;$ permettant de considérer $\;{\dfrac {x(t)}{l_{\text{éq}}}}\;$ comme un infiniment petit d'ordre 1 ;

......pour tenter de linéariser l'oscillateur « non linéaire » non amorti, il faut faire un D.L. de $\;f(x)=2\;k\,\left[1-{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {l_{\text{éq}}^{\,2}+x^{2}}}}\right]\,x\;$ au voisinage de $\;x_{\text{éq}}=0\;$ à l'ordre 1 en $\;{\dfrac {x}{l_{\text{éq}}}}\;$ à condition que $\;f'(x_{\text{éq}})\;$ ne soit pas nul, ce qui donne, en faisant apparaître l'infiniment petit d'ordre 1, $\;f\!\left[x(t)\right]=2\;k\;l_{\text{éq}}\left\lbrace 1-{\dfrac {l_{v}}{l_{\text{éq}}\;{\sqrt {1+\left[{\dfrac {x(t)}{l_{\text{éq}}}}\right]^{2}}}}}\right\rbrace {\dfrac {x(t)}{l_{\text{éq}}}}\;$ ; cette dernière expression étant un produit de deux facteurs dont l'un $\;2\;k\;l_{\text{éq}}\;{\dfrac {x(t)}{l_{\text{éq}}}}\;$ est $\;\propto \;$ l'infiniment petit d'ordre 1 $\;{\dfrac {x(t)}{l_{\text{éq}}}}$, il suffit, pour obtenir le D.L. du produit à l'ordre 1 en $\;{\dfrac {x(t)}{l_{\text{éq}}}}$, de prendre le 2^ème facteur $\;{\Bigg \{}$c'est-à-dire $\;1-{\dfrac {l_{v}}{l_{\text{éq}}\;{\sqrt {1+\left[{\dfrac {x(t)}{l_{\text{éq}}}}\right]^{2}}}}}=1-{\dfrac {l_{v}}{l_{\text{éq}}}}\left\lbrace 1+\left[{\dfrac {x(t)}{l_{\text{éq}}}}\right]^{2}\right\rbrace ^{\!-{\frac {1}{2}}}{\Bigg \}}\;$ à l'ordre 0 en $\;{\dfrac {x(t)}{l_{\text{éq}}}}\;$ d'où $\;f\!\left[x(t)\right]\simeq 2\;k\;l_{\text{éq}}\;{\dfrac {x(t)}{l_{\text{éq}}}}\left[1-{\dfrac {l_{v}}{l_{\text{éq}}}}\times 1\right]\;$ à l'ordre 1 en $\;{\dfrac {x(t)}{l_{\text{éq}}}}\;$ soit finalement $\;f\!\left[x(t)\right]\simeq 2\;k\;{\dfrac {l_{\text{éq}}-l_{v}}{l_{\text{éq}}}}\;x(t)\;$ et par suite la forme approchée à l'ordre 1 en $\;{\dfrac {x(t)}{l_{\text{éq}}}}\;$ de l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;x(t)\;$ de l'oscillateur « non linéaire » non amorti se réécrit, dans le cadre des petits mouvements autour de la position d'équilibre stable, selon : $\;m\;{\ddot {x}}(t)+{\dfrac {2\;k\;\Delta l_{\text{éq}}}{l_{\text{éq}}}}\;x(t)=0\;$ correspondant à
une approximation harmonique de l'oscillateur (c'est-à-dire une linéarisation réussie) ; ......son équation des petits mouvements est alors $\;x=A\;\cos(\omega _{0}\;t)+B\;\sin(\omega _{0}\;t)\;$ avec $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {2\;k\;\Delta l_{\text{éq}}}{m\;l_{\text{éq}}}}}\;$ pulsation propre des petites oscillations, $\;A\;$ et $\;B\;$ se déterminant à l'aide des C.I. $\;x(0)=x_{0}\;$ et $\;{\dot {x}}(0)=0\;$ $\Rightarrow$ $\;A=x_{0}\;$ par la 1^re C.I. et $\;B\;\omega _{0}=0\;$ d'où $\;B=0\;$ par la 2^ème, soit finalement, l'équation des petits mouvements $\;x=x_{0}\;\cos(\omega _{0}\;t)\;$ avec $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {2\;k\;\Delta l_{\text{éq}}}{m\;l_{\text{éq}}}}}$ ; ......la période $\;{\mathcal {T}}_{0}\;$ des petites oscillations est alors $\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=\pi \;{\sqrt {\dfrac {2\;m\;l_{\text{éq}}}{k\;\Delta l_{\text{éq}}}}}\;$.

 

Oscillations transversales d'une balle fixée entre deux ressorts identiques initialement d'axe commun vertical, les ressorts y étant ni allongés ni comprimés

......On reprend le dispositif précédent dans lequel les deux ressorts idéaux, identiques, de raideur $\;k\;$ et de longueur à vide $\;l_{v}$, sont maintenant à spires non jointives ;

......on suppose maintenant que les deux ressorts ne sont ni tendus, ni comprimés, en leur état d'équilibre correspondant à $\;M\;$ en $\;O$, milieu du segment $\;\left[O_{i}O_{s}\right]$, leur longueur à l'équilibre étant donc leur longueur à vide selon $\;\Delta l_{\text{éq}}=0\;$ avec $\;\Delta l_{\text{éq}}=l_{\text{éq}}-l_{v}\;$ $\Rightarrow$ $\;l_{\text{éq}}=l_{v}$ ;

......bien que le poids $\;m\;{\vec {g}}\;$ de la balle ne puisse plus être considéré de norme négligeable devant celle des forces de tension des ressorts à l'équilibre (celle-ci y étant nulle), nous n'en tiendrons pas compte en imaginant un guide transversal $\;\perp \;$ à l'axe commun des ressorts dans leur état d'équilibre, guide confondu avec l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ sur lequel la balle peut glisser sans frottement solide, ce qui entraîne, pour $\;M$, un mouvement rectiligne suivant $\;{\overrightarrow {Ox}}$ ;

......on écarte $\;M$, dans le sens positif, d'un angle $\;\theta _{0}\ll 1\;$ de sa position d'équilibre $\;O$, milieu du segment $\;\left[O_{i}O_{s}\right]$, et on le lâche sans vitesse initiale.

Détermination de l'équation différentielle du 2^ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle sans tenir compte du caractère petit de θ₀

......Déterminer, par application de la r.f.d.n. à la balle $\;M$, l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;x(t)\;$ du mouvement de $\;M$, sans tenir compte de $\;\theta _{0}\ll 1\;$ et

......vérifier qu'elle n'est pas linéaire.

Solution

Oscillations transversales d'une balle ponctuelle M fixée entre deux ressorts idéaux, identiques, de même axe initial vertical avec absence d'allongement ou de compression (l_éq = l_v), représentation des forces appliquées à la balle

......La seule différence relativement à l'étude des « oscillations transversales d'une balle fixée entre deux ressorts identiques initialement d'axe commun vertical, les ressorts y étant allongés » de la question précédente de cet exercice est la longueur commune des ressorts à l'équilibre $\;l_{\text{éq}}\;$ égale maintenant à leur longueur à vide $\;l_{v}\;$ commune d'où $\;\Delta l_{\text{éq}}=l_{\text{éq}}-l_{v}=0$ ;

......on en déduit les deux forces appliquées à la balle supposée ponctuelle $\;M\;$ et ayant un effet possible sur le mouvement de celle-ci :

• la force exercée par le ressort supérieur $\;{\vec {T}}_{1}(t)=-T_{1}(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{x}+T_{1}(t)\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{y}\;$ dans laquelle $\;T_{1}(t)=\Vert {\vec {T}}_{1}(t)\Vert =$ $k\left[\Vert {\overrightarrow {O_{s}M}}(t)\Vert -l_{v}\right]\;$ selon la loi de Hooke et
• la force exercée par le ressort inférieur $\;{\vec {T}}_{2}(t)=-T_{2}(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{x}-T_{2}(t)\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{y}\;$ avec $\;T_{2}(t)=\Vert {\vec {T}}_{2}(t)\Vert =k\left[\Vert {\overrightarrow {O_{i}M}}(t)\Vert -l_{v}\right]\;$ selon la même loi de Hooke, le texte ajoutant que $\;T_{1,\,{\text{éq}}}=T_{2,\,{\text{éq}}}=0\;$ ce qui est un cas particulier de $\;T_{1}(t)=T_{2}(t)$, les deux ressorts ayant même raideur et les longueurs à charge et à vide de chacun étant la même ;

......appliquant la r.f.d.n. à la balle ponctuelle $\;M\;$ dans le référentiel d'étude supposé galiléen, on obtient $\;{\vec {T}}_{1}(t)+{\vec {T}}_{2}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ soit, en projetant sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ dans le cas où $\;\theta _{0}\;{\cancel {\ll }}\;1$, l'équation suivante $\;-2\;T(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=m\;{\ddot {x}}(t)\;$ avec $\;T(t)\;$ valeur commune de $\;T_{1}(t)=T_{2}(t)\;$ soit, avec $\;\Vert {\overrightarrow {O_{s}M}}(t)\Vert =\Vert {\overrightarrow {O_{i}M}}(t)\Vert ={\sqrt {l_{\text{éq}}^{\,2}+x^{2}\!(t)}}={\sqrt {l_{v}^{\,2}+x^{2}\!(t)}}\;$ $\Rightarrow$ $\;T(t)=k\left[{\sqrt {l_{v}^{\,2}+x^{2}\!(t)}}-l_{v}\right]\;$ ou, en éliminant $\;\theta (t)\;$ au profit de $\;x(t)\;$ par $\;\sin \!\left[\theta (t)\right]={\dfrac {x(t)}{\sqrt {l_{v}^{\,2}+x^{2}\!(t)}}}$, l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;x(t)\;$ du mouvement de $\;M\;$ suivante $\;m\;{\ddot {x}}(t)+2\;k\,\left[1-{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {l_{v}^{\,2}+x^{2}\!(t)}}}\right]\,x(t)=0\;$ sans tenir compte de $\;\theta _{0}\ll 1$,
équation différentielle caractéristique d'un oscillateur « non linéaire » non amorti.$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$

 

Tentative de linéarisation de l'équation différentielle du 2^ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle en tenant compte du caractère petit de θ₀

......Considérant maintenant $\;\theta _{0}\ll 1\;$, vérifier que la linéarisation de l'oscillateur n'est plus possible en déterminant son équation différentielle en $\;x(t)\;$ à l'ordre le plus bas en $\;{\dfrac {x(t)}{l_{v}}}\;$ puis

......vérifier que l'oscillateur peut être qualifié, dans le cadre des petits mouvements, d'anharmonique, son équation différentielle y étant de la forme $\;{\ddot {x}}(t)+\alpha \;x^{3}\!(t)=0\;$ avec $\;\alpha >0\;$ dont on explicitera l'expression ;

......en déduire l'intégrale 1^re énergétique des petits mouvements de l'oscillateur dans son approximation anharmonique puis

......rappeler comment on peut établir sa nature oscillatoire et périodique ainsi que

......rappeler l'expression de sa période $\;{\mathcal {T}}_{0}\;$ des petites oscillations sous forme intégrale.

Solution

......Pouvant établir, pour cet oscillateur « non linéaire » non amorti lâché sans vitesse initiale, la nature oscillatoire dans le cas où $\;\theta _{0}\;$ n'est pas nécessairement $\;\ll 1$, ce qui a pour conséquence $\;\vert \theta (t)\vert \leqslant \theta _{0}\;\;\forall \;t\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\vert x(t)\vert \leqslant x_{0}\;\;\forall \;t\;$, l'hypothèse restrictive $\;\theta _{0}\ll 1\;$ entraînant $\;\vert \theta (t)\vert \ll 1\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\vert x(t)\vert \ll l_{v}\;$ ou $\;{\dfrac {\vert x(t)\vert }{l_{v}}}\ll 1\;$ permettant de considérer $\;{\dfrac {x(t)}{l_{v}}}\;$ comme un infiniment petit d'ordre 1 ;

......pour tenter de linéariser l'oscillateur « non linéaire » non amorti, il faut faire un D.L. de $\;f(x)=2\;k\,\left[1-{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {l_{v}^{2}+x^{2}}}}\right]\,x\;$ au voisinage de $\;x_{\text{éq}}=0\;$ à l'ordre 1 en $\;{\dfrac {x}{l_{v}}}\;$ à condition que $\;f'(x_{\text{éq}})\;$ ne soit pas nul ce qui, n'étant pas réalisé car $\;f'(x)=2\;k\,\left[1-\left({\dfrac {l_{v}}{\sqrt {l_{v}^{2}+x^{2}}}}\right)^{\!\!3}+x\right]\;$ $\Rightarrow$ $\;f'\!\left(x_{\text{éq}}=0\right)=0\;$ conduit à un échec de la tentative de linéarisation de l'oscillateur « non linéaire » non amorti au voisinage de sa position d'équilibre ;

......l'équilibre étant stable, il faut faire un D.L. de $\;f(x)=2\;k\,\left[1-{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {l_{v}^{2}+x^{2}}}}\right]\,x\;$ au voisinage de $\;x_{\text{éq}}=0\;$ au moins à l'ordre 3 en $\;{\dfrac {x}{l_{v}}}$, l'ordre 3 suffisant si $\;f'''(x_{\text{éq}})\;$ est $\;\neq 0$ [on rappelle que la stabilité de l'équilibre dans la mesure où $\;f'(x_{\text{éq}})=0\;$ nécessite $\;f''(x_{\text{éq}})=0{\big ]}\;$ et pour cela, il convient de faire apparaître l'infiniment petit d'ordre 1, $\;f\!\left[x(t)\right]=2\;k\;l_{v}\left\lbrace 1-{\dfrac {l_{v}}{l_{v}\;{\sqrt {1+\left[{\dfrac {x(t)}{l_{v}}}\right]^{2}}}}}\right\rbrace {\dfrac {x(t)}{l_{v}}}\;$ ou $\;f\!\left[x(t)\right]=2\;k\;l_{v}\left\lbrace 1-{\dfrac {1}{\sqrt {1+\left[{\dfrac {x(t)}{l_{v}}}\right]^{2}}}}\right\rbrace {\dfrac {x(t)}{l_{v}}}$ ;

......cette dernière expression étant un produit de deux facteurs dont l'un $\;2\;k\;l_{v}\;{\dfrac {x(t)}{l_{v}}}\;$ est $\;\propto \;$ l'infiniment petit d'ordre 1 $\;{\dfrac {x(t)}{l_{v}}}$, il suffit, pour obtenir le D.L. du produit à l'ordre 3 en $\;{\dfrac {x(t)}{l_{v}}}$, de prendre le 2^ème facteur $\;{\Bigg \{}$c'est-à-dire $\;1-{\dfrac {1}{\sqrt {1+\left[{\dfrac {x(t)}{l_{v}}}\right]^{2}}}}=1-\left\lbrace 1+\left[{\dfrac {x(t)}{l_{v}}}\right]^{2}\right\rbrace ^{\!-{\frac {1}{2}}}{\Bigg \}}\;$ à l'ordre 2 en $\;{\dfrac {x(t)}{l_{v}}}$, ce qui donne $\;f\!\left[x(t)\right]\simeq$ $2\;k\;l_{v}\;{\dfrac {x(t)}{l_{v}}}\left\lbrace 1-\left[1-{\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {x^{2}\!(t)}{l_{v}^{2}}}\right]\right\rbrace$ à l'ordre 3 en $\;{\dfrac {x(t)}{l_{v}}}\;$ soit finalement $\;f\!\left[x(t)\right]\simeq {\dfrac {k}{l_{v}^{2}}}\;x^{3}\!(t)\;$ et par suite la forme approchée à l'ordre 3 en $\;{\dfrac {x(t)}{l_{\text{éq}}}}\;$ de l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;x(t)\;$ de l'oscillateur « non linéaire » non amorti se réécrit, dans le cadre des petits mouvements autour de la position d'équilibre stable, selon : $\;m\;{\ddot {x}}(t)+{\dfrac {k}{l_{v}^{2}}}\;x^{3}\!(t)=0\;$ correspondant à
une approximation anharmonique de l'oscillateur (c'est-à-dire une linéarisation impossible) ; ......pour obtenir l'intégrale 1^re énergétique de l'oscillateur « non linéaire » (non amorti) dans le cadre de petits mouvements autour de sa position d'équilibre stable à l'aide de son équation différentielle du 2^ème ordre en $\;x(t)$, on multiplie les deux membres de cette dernière par $\;{\dot {x}}(t)\;$ et on intègre entre l'instant initial et un instant $\;t\;$ quelconque, ce qui donne $\;\displaystyle \int _{0}^{t}m\;{\ddot {x}}(t')\;{\dot {x}}(t')\;dt'+\displaystyle \int _{0}^{t}{\dfrac {k}{l_{v}^{2}}}\;x^{3}\!(t')\;{\dot {x}}(t')\;dt'=0\;$ soit finalement l'intégrale 1^re énergétique suivante $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t)+{\dfrac {k}{4\;l_{v}^{2}}}\,\left[x^{4}\!(t)-x_{0}^{4}\right]=0\;$ ou encore $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t)+{\dfrac {k}{4\;l_{v}^{2}}}\;x^{4}\!(t)={\dfrac {k}{4\;l_{v}^{2}}}\;x_{0}^{4}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;E_{m,\,M}(t)=E_{m,\,M}(0)\;$ ;

Diagramme d'énergies potentielle et mécanique de l'oscillateur non linéaire (non amorti) au voisinage de sa position d'équilibre stable à approximation des petits mouvements anharmonique

......pour obtenir la nature oscillatoire des petits mouvements de cet oscillateur « non linéaire » autour de sa position d'équilibre stable, on trace son diagramme d'énergies potentielle et mécanique sur lequel on observe la présence de deux murs d'énergie potentielle en regard, d'abscisses respectives $\;x_{\text{mur}}=\pm x_{0}$ (voir ci-contre, $\;X_{m}\;$ étant égale ici à $\;x_{0}{\big )}$ ;

......pour obtenir sa nature périodique, on évalue, par utilisation successive de son intégrale 1^re énergétique et de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique, la durée de la n^ème oscillation sous forme intégrale $\;\Delta t_{P_{x_{\text{mur}}=x_{0}}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{x_{\text{mur}}=-x_{0}}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{x_{\text{mur}}=x_{0}}}=2\;\displaystyle \int _{-x_{0}}^{x_{0}}{\sqrt {\dfrac {2\;m\;l_{v}^{2}}{k}}}\;{\dfrac {dx}{\sqrt {x_{0}^{4}-x^{4}}}}\;$ et on observe que cette durée ne dépend pas de $\;n\;$ d'où la nature périodique, sa période des petites oscillations se réécrivant $\;{\mathcal {T}}_{0}=4\;\displaystyle \int _{0}^{x_{0}}{\sqrt {\dfrac {2\;m\;l_{v}^{2}}{k}}}\;{\dfrac {dx}{\sqrt {x_{0}^{4}-x^{4}}}}\;$ ou encore $\;{\mathcal {T}}_{0}=$ $4\;{\sqrt {\dfrac {2\;m\;l_{v}^{2}}{k}}}\;\displaystyle \int _{0}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {x_{0}^{4}-x^{4}}}}\;$ soit finalement $\;{\mathcal {T}}_{0}=8\;{\sqrt {\dfrac {m}{2\;k}}}\;{\dfrac {l_{v}}{x_{0}}}\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {du}{\sqrt {1-u^{4}}}}\;$,
établissant l'absence d'isochronisme des petites oscillations dans l'approximation anharmonique.

 

Point matériel M dans une rigole hémi-circulaire, relié à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal d'axe coudé passant par le bord B du diamètre horizontal de la rigole et dont l'autre extrémité est fixée en un point extérieur à ce diamètre

Point matériel M lié de façon bilatérale sans frottements solides avec une rigole hémi-circulaire située dans un plan vertical, à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal d'axe coudé MBA, la partie BA de l'axe étant horizontale et de longueur égale à la longueur à vide l₀ du ressort

......Un point matériel $\;M$, de masse $\;m$, est solidaire, par liaison bilatérale, d'une rigole circulaire de centre $\;O\;$ et de rayon $\;{\mathfrak {a}}$ d'un plan vertical (voir figure ci-contre) dans laquelle il peut glisser sans frottements solides dans le champ de pesanteur terrestre uniforme $\;{\vec {g}}$ ;

......ce point est relié à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal, d'axe coudé $\;MBA$, dont la tension, étant supposée indépendante du caractère coudé de son axe, est imposée par la longueur à charge de son axe coudé $\;MBA$ ; le ressort est de raideur $\;k\;$ et sa longueur à vide est $\;l_{0}$ ; d'autre part le point $\;B\;$ étant à la distance $\;l_{0}\;$ de $\;A$, le ressort reste allongé en toute position de $\;M\;$ autre que celle de $\;B$.

......On repère $\;M\;$ par son abscisse angulaire $\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {u}}_{\!z}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\;$ où $\;{\vec {u}}_{z}\;$ est le vecteur unitaire vertical descendant, $\;{\vec {u}}_{x}\;$ le vecteur unitaire horizontal dirigé de $\;O\;$ vers $\;B\;$ et $\;{\vec {u}}_{y}\;$ le vecteur unitaire horizontal orientant les angles du plan vertical de la rigole, ces trois vecteurs unitaires $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ définissant la base cartésienne orthonormée directe du repère associé au référentiel supposé galiléen et lié à la rigole.

Détermination de la position d'équilibre du point matériel

......Déterminer, en raisonnant en terme de forces, l'abscisse angulaire $\;\theta _{\text{éq}}\;$ de la position d'équilibre du point matériel $\;M$.

Solution

Point matériel M lié de façon bilatérale sans frottements solides avec une rigole hémi-circulaire située dans un plan vertical, à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal d'axe coudé MBA, la partie BA de l'axe étant horizontale et de longueur égale à la longueur à vide l₀ du ressort, avec représentation des forces appliquées à M

......Le point matériel $\;M\;$ est soumis aux trois forces suivantes :

• son poids $\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$ vertical,
• la force $\;{\vec {T}}(t)\;$ exercée par le ressort, de ligne d'action $\;(BM)$, de sens dirigé vers $\;B\;$ et de norme $\;\propto \;$ à l'allongement du ressort égal à $\;\Vert {\overrightarrow {MB}}\Vert$, la longueur $\;BA\;$ étant égale à la longueur à vide $\;l_{0}\;$ soit $\;{\vec {T}}(t)=k\;\Vert {\overrightarrow {MB}}(t)\Vert \;{\vec {u}}_{M\rightarrow B}\;$ et
• la réaction $\;{\vec {R}}(t)\;$ de la rigole, de direction normale à cette dernière en absence de frottements solides, soit, en utilisant la base locale polaire de pôle $\;O\;$ et d'axe polaire $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ liée à $\;M$, $\;{\vec {R}}(t)={\overline {R}}(t)\;{\vec {u}}_{r}$ ;

......adoptant le repérage polaire du point $\;M\;$ avec $\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {u}}_{\!z}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\;$ on peut réécrire :

• le poids de $\;M\;$ selon $\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]{\vec {u}}_{r}-m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]{\vec {u}}_{\theta }\;$ et
• la force $\;{\vec {T}}(t)=k\;\Vert {\overrightarrow {MB}}(t)\Vert \;{\vec {u}}_{M\rightarrow B}\;$ exercée par le ressort en évaluant
  ...$\;\succ \;$l'angle $\;\alpha ={\widehat {\left({\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\overrightarrow {MB}}\right)}}={\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\theta }{2}}$ $\;{\Bigg [}$en effet $\;{\widehat {MOB}}={\dfrac {\pi }{2}}-\theta \;$ $\Rightarrow$ $\;{\widehat {OMB}}+{\widehat {MBO}}={\dfrac {\pi }{2}}+\theta$ (relation dans le triangle $\;OMB{\big )}\;$ et utilisant le caractère isocèle du triangle $\;MOB\;$ on en déduit $\;{\widehat {OMB}}={\dfrac {\pi }{4}}+{\dfrac {\theta }{2}}\;$ soit encore le résultat énoncé car $\;\alpha \;$ est le complémentaire de $\;{\widehat {OMB}}{\Bigg ]}$,
  ...$\;\succ \;$l'allongement du ressort $\;\Vert {\overrightarrow {MB}}\Vert =2\;{\mathfrak {a}}\;\sin \!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\theta }{2}}\right)$ $\;{\Bigg [}$en effet $\;MB\;$ étant la base du triangle isocèle $\;OMB$, on utilise la hauteur issue de $\;O\;$ qui est en même temps médiane et bissectrice, soit, en appelant $\;H\;$ le pied de cette hauteur, $\;MB=2\;MH\;$ avec $\;MH=OM\;\sin \!\left({\dfrac {\widehat {MOB}}{2}}\right)\;$ où $\;{\widehat {MOB}}={\dfrac {\pi }{2}}-\theta$, $\;OM\;$ étant égal à $\;{\mathfrak {a}}{\Bigg ]}\;$ et
  ...$\;\succ \;$le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{M\rightarrow B}=-\sin(\alpha )\;{\vec {u}}_{r}+\cos(\alpha )\;{\vec {u}}_{\theta }=-\sin \!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\theta }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{r}+\cos \!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\theta }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\;$ soit finalement
  ...$\;\succ \;$la force exercée par le ressort $\;{\vec {T}}(t)=2\;k\;{\mathfrak {a}}\;\sin \!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\theta }{2}}\right)\,\left[-\sin \!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\theta }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{r}+\cos \!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\theta }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\right]=k\;{\mathfrak {a}}\,\left[-2\;\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\theta }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{r}+\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\theta \right)\,{\vec {u}}_{\theta }\right]\;$ ;

......la direction du mouvement de $\;M\;$ étant $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ la composante de la force « motrice » sur cette direction est $\;F_{\theta }(M)=-m\;g\;\sin(\theta )+k\;{\mathfrak {a}}\;\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\theta \right)\;$ soit finalement $\;F_{\theta }(M)=-m\;g\;\sin(\theta )+k\;{\mathfrak {a}}\;\cos(\theta )\;$ et

......la condition d'équilibre s'obtenant par $\;F_{\theta }(M_{\text{éq}})=0$, la recherche des zéros de $\;F_{\theta }(M)=F_{\theta }(\theta )\;$ nous conduit à l'équation $\;-m\;g\;\sin(\theta _{\text{éq}})+k\;{\mathfrak {a}}\;\cos(\theta _{\text{éq}})=0\;$ ou $\;\tan(\theta _{\text{éq}})={\dfrac {k\;{\mathfrak {a}}}{m\;g}}\;$ soit, en limitant la recherche des zéros sur l'intervalle $\;\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ $\;\theta _{\text{éq}}=\arctan \!\left({\dfrac {k\;{\mathfrak {a}}}{m\;g}}\right)$.

 

Détermination de la stabilité de la position d'équilibre du point matériel

......Démontrer, en raisonnant en terme de forces, la stabilité de la position d'équilibre du point matériel $\;M\;$.

Solution

......Pour déterminer la nature stable de l'équilibre étudié, on s'intéresse à la composante de force « motrice » $\;F_{\theta }(\theta )=-m\;g\;\sin(\theta )+k\;a\;\cos(\theta )\;$ et on établit que celle-ci est « de rappel » relativement à la position d'équilibre ;

......pour cela on pose $\;\theta =\theta _{\text{éq}}+\varepsilon \;$ et on fait un D.L. de $\;F_{\theta }(\theta )\;$ à l'ordre 1 en $\;\varepsilon \;$ au voisinage de $\;\theta _{\text{éq}}\;$ soit $\;F_{\theta }(\theta )\simeq \;{\cancel {F_{\theta }(\theta _{\text{éq}})\;+}}\;{F_{\theta }}'(\theta _{\text{éq}})\;\varepsilon \;$, la stabilité nécessitant, dans la mesure où $\;{F_{\theta }}'(\theta _{\text{éq}})\;$ est non nulle, $\;{F_{\theta }}'(\theta _{\text{éq}})<0$ ;

......la dérivation de $\;F_{\theta }(\theta )=-m\;g\;\sin(\theta )+k\;a\;\cos(\theta )\;$ relativement à $\;\theta \;$ conduisant à $\;{\dfrac {dF_{\theta }}{d\theta }}(\theta )=-m\;g\;\cos(\theta )-k\;a\;\sin(\theta )$, nous en déduisons $\;{\dfrac {dF_{\theta }}{d\theta }}(\theta _{\text{éq}})<0\;$ car $\;\theta _{\text{éq}}\in \left]0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ et par suite que la position d'équilibre étudiée est effectivement stable.

 

Étude des petits mouvements du point matériel autour de sa position d'équilibre stable

......Dans le but d'étudier les petits mouvements du point matériel $\;M\;$ autour de sa position d'équilibre stable, écrire l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ du mouvement de $\;M\;$ sans tenir compte de la petitesse de $\;\vert \theta (t)-\theta _{\text{éq}}\vert \;$ puis,

......en introduisant l'écart angulaire $\;\varepsilon (t)=\theta (t)-\theta _{\text{éq}}\;$ relativement à l'abscisse angulaire d'équilibre, écart dont on ne tient toujours pas compte de la petitesse de sa valeur absolue, réécrire cette équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\varepsilon (t)$ ;

......faire un D.L. à l'ordre 1 de l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\varepsilon (t)\;$ tenant compte du caractère « petit » de la valeur absolue de l'écart angulaire relativement à l'abscisse de la position d'équilibre puis

......vérifier que l'approximation des petits mouvements de l'oscillateur non linéaire $\;M\;$ est alors harmonique et

......préciser la période $\;{\mathcal {T}}_{0}\;$ de ses petites élongations.

Solution

......L'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ du mouvement de $\;M$ (sans tenir compte de $\;\vert \theta (t)-\theta _{\text{éq}}\vert \ll 1{\big )}$, s'obtient, par projection sur $\;{\vec {u}}_{\theta }$, de la r.f.d.n. appliquée à $\;M\;$ dans le référentiel d'étude supposé galiléen soit $\;F_{\theta }\!\left[\theta (t)\right]=m\;a_{M,\,\theta }(t)\;$ avec $\;a_{M,\,\theta }(t)={\mathfrak {a}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;$, ou $\;-m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]+k\;a\;\cos \!\left[\theta (t)\right]=m\;{\mathfrak {a}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;$ d'où, en normalisant, $\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{\mathfrak {a}}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]-{\dfrac {k}{m}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]=0$ ; ......en introduisant $\;\varepsilon (t)=\theta (t)-\theta _{\text{éq}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\theta (t)=\theta _{\text{éq}}+\varepsilon (t)\;$ ainsi que $\;{\ddot {\theta }}(t)={\ddot {\varepsilon }}(t)$, puis en reportant dans l'expression de l'équation différentielle du 2^ème ordre précédemment déterminée, on obtient $\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {g}{\mathfrak {a}}}\;\sin \!\left[\theta _{\text{éq}}+\varepsilon (t)\right]-{\dfrac {k}{m}}\;\cos \!\left[\theta _{\text{éq}}+\varepsilon (t)\right]=0\;$ ou, avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\sin(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )=\sin(\theta _{\text{éq}})\;\cos(\varepsilon )+\cos(\theta _{\text{éq}})\;\sin(\varepsilon )\\\cos(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )=\cos(\theta _{\text{éq}})\;\cos(\varepsilon )-\sin(\theta _{\text{éq}})\;\sin(\varepsilon )\end{array}}\right\rbrace$, la réécriture de l'équation différentielle selon $\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {g}{\mathfrak {a}}}\left\lbrace \sin(\theta _{\text{éq}})\;\cos \!\left[\varepsilon (t)\right]+\cos(\theta _{\text{éq}})\;\sin \!\left[\varepsilon (t)\right]\right\rbrace -{\dfrac {k}{m}}\left\lbrace \cos(\theta _{\text{éq}})\;\cos \!\left[\varepsilon (t)\right]-\sin(\theta _{\text{éq}})\;\sin \!\left[\varepsilon (t)\right]\right\rbrace =0\;$ soit encore, en regroupant les facteurs de $\;\cos \!\left[\varepsilon (t)\right]\;$ et ceux de $\;\sin \!\left[\varepsilon (t)\right]\;$ et en remarquant que celui de $\;\cos \!\left[\varepsilon (t)\right]\;$ est nul $\;{\bigg \{}$en effet de la condition d'équilibre $\;-m\;g\;\sin(\theta _{\text{éq}})+k\;{\mathfrak {a}}\;\cos(\theta _{\text{éq}})=0\;$ on en déduit $\;{\dfrac {g}{\mathfrak {a}}}\;\sin(\theta _{\text{éq}})-{\dfrac {k}{m}}\;\cos(\theta _{\text{éq}})={\dfrac {-1}{m\;{\mathfrak {a}}}}\,\left[-m\;g\;\sin(\theta _{\text{éq}})+k\;{\mathfrak {a}}\;\cos(\theta _{\text{éq}})\right]=0{\bigg \}}$, $\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+\left[{\dfrac {g}{\mathfrak {a}}}\;\cos(\theta _{\text{éq}})+{\dfrac {k}{m}}\;\sin(\theta _{\text{éq}})\right]\,\sin \!\left[\varepsilon (t)\right]=0$ ; ......avec $\;\vert \varepsilon (t)\vert \ll 1$, correspondant à $\;\varepsilon (t)\;$ infiniment petit d'ordre 1, le D.L. de $\;\sin(\varepsilon )\;$ à l'ordre 1 en $\;\varepsilon \;$ au voisinage de 0 étant $\;\sin(\varepsilon )\simeq \varepsilon$, on en déduit l'expression approchée à l'ordre 1 de l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\varepsilon (t)\;$ $\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+\left[{\dfrac {g}{\mathfrak {a}}}\;\cos(\theta _{\text{éq}})+{\dfrac {k}{m}}\;\sin(\theta _{\text{éq}})\right]\,\varepsilon (t)=0\;$ ou,

......après mise en facteur de $\;{\dfrac {g}{\mathfrak {a}}}\;\cos(\theta _{\text{éq}})\;$ dans le cœfficient de $\;\varepsilon (t)\;$ de façon à pouvoir utiliser la condition d'équilibre $\;\tan(\theta _{\text{éq}})={\dfrac {k\;{\mathfrak {a}}}{m\;g}}\;$ et simplifier l'équation différentielle approchée, $\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {g}{\mathfrak {a}}}\;\cos(\theta _{\text{éq}})\,\left[1+{\dfrac {k\;{\mathfrak {a}}}{m\;g}}\;\tan(\theta _{\text{éq}})\right]\,\varepsilon (t)=0\;$ dont on déduit :

• en remplaçant $\;{\dfrac {k\;{\mathfrak {a}}}{m\;g}}\;$ par $\;\tan(\theta _{\text{éq}})$, $\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {g}{\mathfrak {a}}}\;\cos(\theta _{\text{éq}})\,\left[1+\tan ^{2}(\theta _{\text{éq}})\right]\,\varepsilon (t)=0\;$ soit, avec $\;1+\tan ^{2}(\theta _{\text{éq}})={\dfrac {1}{\cos ^{2}(\theta _{\text{éq}})}}$, l'équation différentielle approchée suivante $\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {g}{\mathfrak {a\;\cos(\theta _{\text{éq}})}}}\;\varepsilon (t)=0\;$ ou
• en remplaçant $\;\tan(\theta _{\text{éq}})\;$ par $\;{\dfrac {k\;{\mathfrak {a}}}{m\;g}}$, $\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {g}{\mathfrak {a}}}\;\cos(\theta _{\text{éq}})\,\left[1+{\dfrac {k^{2}\;{\mathfrak {a}}^{2}}{m^{2}\;g^{2}}}\right]\,\varepsilon (t)=0\;$ et $\;\cos(\theta _{\text{éq}})\;$ par $\;{\dfrac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\theta _{\text{éq}})}}}={\dfrac {1}{\sqrt {1+{\dfrac {k^{2}\;{\mathfrak {a}}^{2}}{m^{2}\;g^{2}}}}}}$, une autre forme de l'équation différentielle approchée n'utilisant pas $\;\theta _{\text{éq}}$, soit $\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {g}{\mathfrak {a}}}\;{\sqrt {1+{\dfrac {k^{2}\;{\mathfrak {a}}^{2}}{m^{2}\;g^{2}}}}}\;\varepsilon (t)=0\;$ ou encore $\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\sqrt {{\dfrac {g^{2}}{{\mathfrak {a}}^{2}}}+{\dfrac {k^{2}}{m^{2}}}}}\;\varepsilon (t)=0$ ;

......on constate que, quelle que soit la forme approchée de l'équation différentielle à l'ordre 1 en $\;\varepsilon (t)\;$ des petits mouvements du point $\;M$, l'approximation est harmonique, l'équation différentielle étant linéarisée, ce qui implique que les petits mouvements de $\;M\;$ sont sinusoïdaux de période des petites élongations $\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\sqrt {\dfrac {g}{\mathfrak {a\;\cos(\theta _{\text{éq}})}}}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {\mathfrak {a\;\cos(\theta _{\text{éq}})}}{g}}}={\dfrac {2\;\pi }{\sqrt[{4}]{{\dfrac {g^{2}}{{\mathfrak {a}}^{2}}}+{\dfrac {k^{2}}{m^{2}}}}}}$.

 

Étude des petits mouvements autour de l'équilibre (ou des équilibres) stable(s) d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale

Schéma d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure R fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel M de masse m pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale

......L'objet de cet exercice consiste à étudier les petites oscillations d'un système mécanique au voisinage de sa (ou de ses) position(s) d'équilibre stable et en particulier de les observer au voisinage d'une bifurcation (c'est-à-dire d'un changement du nombre de positions d'équilibre, de la position d'équilibre stable ou autres changements consécutifs à une variation d'un paramètre caractérisant les équilibres du système mécanique $\;\ldots {\big )}$.

......On s'intéresse au système mécanique suivant : un objet assimilé à un point matériel $\;M$, de masse $\;m$, est fixé à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal, à spires non jointives, de longueur à vide $\;l_{v}\;$ et de constante de raideur $\;k$, dont l'extrémité supérieure est fixée en un point $\;R$.

......L'objet peut coulisser sans frottement horizontalement sur une tige (voir la figure ci-contre).

......On repère la position du point $\;M\;$ sur cette tige par son abscisse $\;x\;$ sur l'axe confondu avec la tige dont l'origine $\;O\;$ est située sur la même verticale que le point d’attache $\;R\;$ fixe du ressort, cet axe horizontal $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ étant orienté arbitrairement vers la droite, l'axe vertical $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ l'étant vers le haut.

......La tige se trouve à une distance $\;\lambda \;$ du point $\;R\;$ c'est-à-dire $\;OR=\lambda$.

......La 1^re partie « Recherche des positions d'équilibre » de cet exercice ayant déjà été traitée dans « Étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale… » de la série d'exercices du chapitre 18 de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », nous nous contenterons de rappeler les questions ainsi que les principaux résultats de la solution en renvoyant à l'exercice précité pour les détails.

Recherche des positions d'équilibre

......On recherche les positions d'équilibre ainsi que leur stabilité suivant le paramètre $\;\lambda =OR\;$ dont on fera varier la valeur.

Détermination qualitative du nombre de positions d'équilibre et de la stabilité de celles-ci (détermination graphique) quand λ varie à partir de sa valeur initiale l_v

......Initialement le point matériel $\;M\;$ se trouve en $\;O\;$ et $\;\lambda =OR=l_{v}$.

......Décrire qualitativement (aucun calcul n'est demandé) le nombre de positions d'équilibre et graphiquement la stabilité de celles-ci suivant qu'on

• rapproche la tige du point $\;R\;$ c'est-à-dire que $\;\lambda \searrow \;$ à partir de $\;l_{v}\;$ ou
• éloigne la tige du point $\;R\;$ c'est-à-dire que $\;\lambda \nearrow \;$ à partir de $\;l_{v}$.

Solution

......Voir la solution de la question « Détermination qualitative du nombre de positions d'équilibre et de la stabilité de celles-ci (détermination graphique) quand λ varie à partir de sa valeur initiale l_v » ayant déjà été traitée dans « Étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale… » de la série d'exercices du chapitre 18 de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ; les principaux résultats sont :

• dans le cas $\;\lambda >l_{v}$, il y a « une seule position d'équilibre $\;O$ » « stable » ;
• dans le cas $\;\lambda <l_{v}$, il y a « trois positions d'équilibre $\;O$, $\;M_{{\text{éq}},\,d}\;$ et $\;M_{{\text{éq}},\,g}$ » ; $O\;$ est un équilibre « instable » alors que $\;M_{{\text{éq}},\,d}\;$ et $\;M_{{\text{éq}},\,g}\;$ sont des équilibres « stables » ;
• dans le cas $\;\lambda =l_{v}\;$ il y a « une seule position d'équilibre $\;O$ » et cet équilibre est « stable ».

 

Détermination de l'expression de l'énergie potentielle élastique de l'objet M pour λ quelconque

......On considère maintenant $\;OR=\lambda \;$ quelconque.

......Déterminer l'expression de l'énergie potentielle élastique $\;U_{\text{élast}}(x)\;$ de l'objet $\;M\;$ en fonction de $\;k$, $\;l_{v}$, $\;\lambda \;$ et $\;x\;$ en choisissant sa référence en $\;O$.

Solution

......Voir la solution de la question « Détermination de l'expression de l'énergie potentielle élastique de l'objet M pour λ quelconque » ayant déjà été traitée dans « Étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale… » de la série d'exercices du chapitre 18 de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ; le principal résultat est $\;U_{\text{élast}}(x)={\dfrac {1}{2}}\;k\,\left({\sqrt {\lambda ^{2}+x^{2}}}-l_{v}\right)^{\!2}-{\dfrac {1}{2}}\;k\,\left(\lambda -l_{v}\right)^{2}$.

 

Tracé des deux types principaux de profils d'énergie potentielle élastique de l'objet M suivant les valeurs de λ quelconque

......Vérifier que l'allure des diagrammes d'énergie potentielle élastique de l'objet $\;M\;$ diffère suivant que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\lambda <l_{v}\\\lambda \geqslant l_{v}\end{array}}\right\rbrace \;$ et

......représenter chaque type de profil d'énergie potentielle élastique (pour $\;\lambda \geqslant l_{v}\;$ tracer un profil associé à $\;\lambda >l_{v}\;$ et celui à $\;\lambda =l_{v}{\big )}$.

Solution

Diagrammes d'énergie potentielle d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure R fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel M de masse m pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale suivant que le ressort dans son état initial vertical est comprimé, à vide ou étiré

......Voir la solution de la question « Tracé des deux types principaux de profils d'énergie potentielle élastique de l'objet M suivant les valeurs de λ quelconque » ayant déjà été traitée dans « Étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale… » de la série d'exercices du chapitre 18 de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;

......ci-contre est rappelé les différents types de profil d'énergie potentielle élastique suivant que

• $\;\lambda <l_{v}$ (en rouge) ou
• $\;\lambda \geqslant l_{v}$ (en vert et bleu).

 

Détermination algébrique des abscisses d'équilibre x_éq de M et vérification de leur stabilité (de façon algébrique) suivant les valeurs de λ quelconque

......Déterminer les abscisses des positions d'équilibre $$