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Exercice : Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable
Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
......Un point matériel
de masse
est astreint à se déplacer sans frottement sur un axe
.
......Il est soumis de la part du point
à la force centrale
où
et
sont deux constantes positives ;
......on suppose que l'abscisse
du point mobile reste
.
Détermination de la position d'équilibre du point matériel M[modifier | modifier le wikicode]
......Exprimer la valeur
pour laquelle le point matériel est en équilibre.
Solution
......Bien sûr, il convient d'ajouter un schéma avec bilan de forces (une seule), le référentiel d'étude étant galiléen.
......L'équilibre correspond à
soit
dont on déduit aisément la valeur de l'abscisse de la position d'équilibre
.
Détermination et représentation en fonction de x du diagramme de l'énergie potentielle dont dérive la force centrale, étude de la stabilité de la position d'équilibre du point matériel M[modifier | modifier le wikicode]
......Exprimer l'énergie potentielle
dont dérive la force centrale
[on choisira la référence de l'énergie potentielle à l'infini] ;
......représenter la courbe d'énergie potentielle en fonction de l'abscisse
du point matériel
;
......déduire, de ce tracé, le caractère stable de la position d'équilibre du point mobile.
Solution
......L'énergie potentielle

est définie par

soit

ou encore,
avec la référence à l'infini,
.
Tracé du diagramme d'énergie potentielle U(x) d'un point M se déplaçant sur l'axe Ox et soumis à la composante de force F
x = -a/x
2 + b/x
3 (référence de U à l'infini)
......
est extrémale pour
avec :
- si
,
d'où
pour
et par suite
sur cet intervalle, de plus, quand
,
,
- si
,
d'où
pour
et par suite
sur cet intervalle, de plus, quand
,
et enfin
(voir tracé du diagramme ci-contre) ;
......de ce qui précède, on déduit que
est minimale pour
et donc que cette position d'équilibre est stable.
Détermination et représentation en fonction de x du diagramme de l'énergie mécanique, étude des mouvements possibles du point matériel M[modifier | modifier le wikicode]
......Exprimer l'énergie mécanique
du point matériel
dans le champ de la force centrale
quand
occupe la position d'abscisse
avec la vitesse
et
......représenter, sur le même diagramme que précédemment, la courbe d'énergie mécanique en fonction de l'abscisse
du point matériel
.
......Discuter, suivant la valeur de l'énergie mécanique initiale
du point matériel
, le (ou les) mouvement(s) possible(s) de ce dernier quand il est lâché sans vitesse initiale de la position d'abscisse
.
Solution
......L'énergie mécanique du point matériel

à l'instant

est défini selon
![{\displaystyle \;E_{m,\,M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t)+U\!\left[x(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1497f636dc60082f1f67ea42ffb4949776e4d8c6)
et, comme il n'y a pas de forces non conservatives, elle garde sa valeur initiale

ou

en absence de vitesse initiale soit finalement l'intégrale
1re énergétique
.
Tracé simultané de la courbe d'énergie potentielle U(x) d'un point M se déplaçant sur l'axe Ox et soumis à la composante de force F
x = -a/x
2 + b/x
3 (référence de U à l'infini) (en bleu) et de deux courbes d'énergie mécanique l'une (en vert) définissant un état de diffusion et l'autre (en magenta) un état lié
......Des diagrammes d'énergies potentielle et mécanique du point
sont représentés ci-contre,
- en bleu pour la courbe d'énergie potentielle
[1] et
- deux exemples de courbe d'énergie mécanique
l'un en vert correspondant à
, l'autre en magenta pour
;
......les deux exemples de courbe d'énergie mécanique se différencient selon la discussion suivante :
- pour
, c'est-à-dire pour
, on observe un état de diffusion vers l'infini[2] [assuré par la présence d'un seul mur d'énergie potentielle],
étant alors la distance minimale d'approche de l'origine,
- pour
, c'est-à-dire pour
, on observe un état lié[3] [assuré par la présence de deux murs d'énergie potentielle en regard], le mouvement de
étant oscillatoire autour de la position d'équilibre stable avec
distance minimale ou maximale d'approche suivant que cette abscisse initiale est
ou
à
, l'abscisse de l'autre mur d'énergie potentielle étant alors
ou
à
et définissant la distance maximale ou minimale d'approche.
Détermination de l'équation différentielle du 2ème ordre en x(t) du mouvement du point mobile, étude des petits mouvements de M au voisinage de sa position d'équilibre stable[modifier | modifier le wikicode]
......À partir de l'intégrale 1re énergétique précédemment établie, déterminer l'équation différentielle du 2ème ordre en
du mouvement du point matériel
et
......établir l'expression approchée de l'équation différentielle du 2ème ordre en l'écart de l'abscisse du point relativement à sa position d'équilibre stable
dans le cadre des petits mouvements[4] du point ;
......en déduire la nature périodique du mouvement des petites oscillations[4] du point matériel
autour de sa position d'équilibre et
......expliciter sa période
en fonction des données.
Solution
......On détermine l'équation différentielle du 2
ème ordre en

du mouvement du point matériel

en dérivant par rapport au temps l'intégrale
1re énergétique

soit

avec
![{\displaystyle \;{\dot {x}}(t)\left\lbrace m\;{\ddot {x}}(t)+{\dfrac {dU}{dx}}\!\left[x(t)\right]\right\rbrace =0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d47f665eec3f44a1c125a39b18536b8f7b1cbe64)
ou, en simplifiant par

non identiquement nul et, en se souvenant de

avec

, la réécriture de l'équation différentielle du 2
ème ordre en

du mouvement du point matériel

selon
[5] ;
......posant
avec
infiniment petit d'ordre 1, le D.L.[6] à l'ordre le plus bas non nul de
au voisinage de
est vraisemblablement
dans la mesure où
est
et, dans ces conditions, l'équation différentielle au voisinage de la position d'équilibre devient :
[7] ;
......il suffit de calculer
à partir de
soit
et finalement
[dans l'hypothèse où cette dérivée est non nulle, elle doit effectivement être
pour caractériser un équilibre stable] ;
......on en déduit l'équation différentielle
linéarisée des petits mouvements
[4] du point

autour de sa position d'équilibre stable

ou, sous sa forme normalisée
;
......la période des petites oscillations
[4] du point

autour de sa position d'équilibre stable est alors

ou encore
.
Oscillateurs non linéaires, tentative de linéarisation (traitement par r.f.d.n.)[modifier | modifier le wikicode]
Oscillations transversales d'une balle fixée au milieu d'une corde idéale verticale[modifier | modifier le wikicode]
Oscillations transversales d'une balle ponctuelle fixée au milieu d'une corde sans masse, initialement verticale et supposée inélastique
[8]
......Une balle supposée ponctuelle
, de masse
, est fixée au milieu d'une corde, de masse nulle et de longueur
quand la corde est tendue verticalement entre ses deux points d'attache
et
;
......on écarte
, dans le sens positif, d'un angle
de sa position d'équilibre
, milieu du segment
, et on le lâche sans vitesse initiale ;
......la longueur de la corde
, avec
abscisse du point
sur l'axe
au segment
, varie donc, mais, si la corde doit être considérée comme extensible[9], nous la supposons inélastique c'est-à-dire que sa tension
reste constante au cours du mouvement de
[8] ;
......le poids
de la balle est de norme négligeable devant celle des forces de tension, ce qui entraîne, pour
, un mouvement rectiligne suivant
.
Détermination de l'équation différentielle du 2ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle sans tenir compte du caractère petit de θ0[modifier | modifier le wikicode]
......Déterminer, par application de la r.f.d.n.[10] à la balle
, l'équation différentielle du 2ème ordre en
du mouvement de
, sans tenir compte de
[11] et
......vérifier qu'elle n'est pas linéaire.
Solution
Oscillations transversales d'une balle ponctuelle fixée au milieu d'une corde sans masse, initialement verticale et supposée inélastique
[8], avec représentation des forces appliquées à la balle
......Sur le schéma ci-contre sont représentées les deux forces appliquées à la balle supposée ponctuelle
à savoir :
- la force exercée par la partie supérieure de la corde
avec
restant constante au cours du temps et
- la force exercée par la partie inférieure de la corde
avec
restant aussi constante au cours du temps, le texte ajoutant que
de valeur commune notée
[12] ;
......appliquant la r.f.d.n.
[10] à la balle ponctuelle

dans le référentiel d'étude supposé galiléen, on obtient

soit, en projetant sur

dans le cas où

, l'équation suivante
![{\displaystyle \;-2\;T\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=m\;{\ddot {x}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8022f37db22ecd5febd35aa05e0ff2a0c7c09ca9)
ou, en éliminant

au profit de

par
![{\displaystyle \;\sin \!\left[\theta (t)\right]={\dfrac {x(t)}{\sqrt {{\dfrac {l_{0}^{\,2}}{4}}+x^{2}\!(t)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e818040aa0a04526f61ca76cd8abfbf143fdebf4)
, l'équation différentielle du 2
ème ordre en

du mouvement de

suivante
sans tenir compte de
[11],
équation différentielle caractéristique d'un oscillateur « non linéaire » non amorti[13].
Tentative de linéarisation de l'équation différentielle du 2ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle en tenant compte du caractère petit de θ0[modifier | modifier le wikicode]
......Considérant maintenant
[11], vérifier que la linéarisation de l'oscillateur est possible en déterminant son équation différentielle en
puis
......donner son équation de mouvement
ainsi que
......donner sa période
des petites oscillations[4].
Solution
......Pouvant établir, pour cet oscillateur « non linéaire » non amorti lâché sans vitesse initiale, la nature oscillatoire dans le cas où
n'est pas nécessairement
, ce qui a pour conséquence
[14], l'hypothèse restrictive
[11] entraînant
ou
permettant de considérer
comme un infiniment petit d'ordre 1 ;
......pour tenter de linéariser l'oscillateur « non linéaire » non amorti, il faut faire un D.L.
[6] de

au voisinage de

à l'ordre 1 en

à condition que

ne soit pas nul, ce qui donne, en faisant apparaître l'infiniment petit d'ordre 1 dans l'expression à développer
[15] ou
![{\displaystyle ={\dfrac {2\;T}{\sqrt {1+\left[{\dfrac {2\;x(t)}{l_{0}}}\right]^{2}}}}\;{\dfrac {2\;x(t)}{l_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc79cfc662769dd5aedc080ba8d865db06c4d568)
; cette dernière expression étant un produit de deux facteurs dont l'un

est un infiniment petit d'ordre 1, il suffit, pour obtenir le D.L.
[6] du produit à l'ordre 1 en

, de prendre le 2
ème facteur

c'est-à-dire
![{\displaystyle \;{\dfrac {2\;T}{\sqrt {1+\left[{\dfrac {2\;x(t)}{l_{0}}}\right]^{2}}}}=2\;T\left\lbrace 1+\left[{\dfrac {2\;x(t)}{l_{0}}}\right]^{2}\right\rbrace ^{\!-{\frac {1}{2}}}{\Bigg \}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70322550ef7437682c6116a9164d926454b23ce1)
à l'ordre 0 en
[16] d'où
![{\displaystyle \left[2\;T\times 1\right]{\dfrac {2\;x(t)}{l_{0}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a6975f3a4db9f860a25175754d52ed41e833cd)
à l'ordre 1 en

soit finalement
![{\displaystyle \;f\!\left[x(t)\right]\simeq {\dfrac {4\;T}{l_{0}}}\;x(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f2cf871bc09faef928fff4e645f1a0ad5cab4f3)
et par suite la forme approchée à l'ordre 1 en

de l'équation différentielle du 2
ème ordre en

de l'oscillateur « non linéaire » non amorti se réécrit, dans le cadre des petits mouvements
[4] autour de la position d'équilibre stable, selon :
correspondant à
une approximation harmonique de l'oscillateur (c'est-à-dire une linéarisation réussie) ;
......son équation des petits mouvements
[4] est alors

avec

pulsation propre des petites oscillations
[4],

et

se déterminant à l'aide des C.I.
[17] 
et

par la
1re C.I.
[17] et
[18] d'où

par la 2
ème, soit finalement, l'équation des petits mouvements
[4]
avec
;
......la période

des petites oscillations
[4] est alors
[19].
Oscillations transversales d'une balle fixée entre deux ressorts identiques initialement d'axe commun vertical, les ressorts y étant allongés[modifier | modifier le wikicode]
Oscillations transversales d'une balle ponctuelle fixée entre deux ressorts idéaux
[20], identiques, de même axe initial vertical avec un même allongement Δl
éq
......On remplace maintenant la corde par deux ressorts idéaux[20], identiques, de raideur
et de longueur à vide
, avec l'extrémité supérieure de l'un fixée en
et l'extrémité inférieure de l'autre en
, l'extrémité intermédiaire étant reliée à la balle supposée ponctuelle
de masse
;
......à l'équilibre, la position de la balle est en
, milieu du segment
et les deux ressorts y sont tendus, leur allongement commun à l'équilibre valant
;
......le poids
de la balle est toujours considéré de norme négligeable devant celle des forces de tension des ressorts, ce qui entraîne, pour
, un mouvement rectiligne suivant
;
......on écarte
, dans le sens positif, d'un angle
de sa position d'équilibre
, milieu du segment
, et on le lâche sans vitesse initiale.
Détermination de l'équation différentielle du 2ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle sans tenir compte du caractère petit de θ0[modifier | modifier le wikicode]
......Déterminer, par application de la r.f.d.n.[10] à la balle
, l'équation différentielle du 2ème ordre en
du mouvement de
, sans tenir compte de
[21] et
......vérifier qu'elle n'est pas linéaire.
Solution
Oscillations transversales d'une balle ponctuelle M fixée entre deux ressorts idéaux
[20], identiques, de même axe initial vertical avec un même allongement Δl
éq, représentation des forces appliquées à la balle
[22]
......Sur le schéma ci-contre sont représentées les deux forces appliquées à la balle supposée ponctuelle
[22] à savoir :
- la force exercée par le ressort supérieur
dans laquelle
selon la loi de Hooke[23] et
- la force exercée par le ressort inférieur
avec
selon la même loi de Hooke[23], le texte ajoutant que
[24] ce qui est un cas particulier de
, les deux ressorts ayant même raideur et les longueurs à charge et à vide de chacun étant la même[25] ;
......appliquant la r.f.d.n.
[10] à la balle ponctuelle

dans le référentiel d'étude supposé galiléen, on obtient

soit, en projetant sur

dans le cas où

, l'équation suivante
![{\displaystyle \;-2\;T(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=m\;{\ddot {x}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6110ee28dd0c593fff73a15d2be2f4b128f7aaf)
avec

valeur commune de

soit, avec
![{\displaystyle \;T(t)=k\left[{\sqrt {l_{\text{éq}}^{\,2}+x^{2}\!(t)}}-l_{v}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8f180f5de426a85b333ac91c458621140d5b3d4)
ou, en éliminant

au profit de

par

, l'équation différentielle du 2
ème ordre en

du mouvement de

suivante
sans tenir compte de
[11],
équation différentielle caractéristique d'un oscillateur « non linéaire » non amorti[26].
Tentative de linéarisation de l'équation différentielle du 2ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle en tenant compte du caractère petit de θ0[modifier | modifier le wikicode]
......Considérant maintenant
[21], vérifier que la linéarisation de l'oscillateur est possible en déterminant son équation différentielle en
puis
......donner son équation de mouvement
ainsi que
......donner sa période
des petites oscillations[4].
Solution
......Pouvant établir, pour cet oscillateur « non linéaire » non amorti lâché sans vitesse initiale, la nature oscillatoire dans le cas où
n'est pas nécessairement
, ce qui a pour conséquence
[27], l'hypothèse restrictive
[11] entraînant
ou
permettant de considérer
comme un infiniment petit d'ordre 1 ;
......pour tenter de linéariser l'oscillateur « non linéaire » non amorti, il faut faire un D.L.
[6] de
![{\displaystyle \;f(x)=2\;k\,\left[1-{\dfrac {l_{v}}{\sqrt {l_{\text{éq}}^{\,2}+x^{2}}}}\right]\,x\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb542a151996864287b682a7b0d8cce4aca015e)
au voisinage de

à l'ordre 1 en

à condition que

ne soit pas nul, ce qui donne, en faisant apparaître l'infiniment petit d'ordre 1,
[28] ; cette dernière expression étant un produit de deux facteurs dont l'un

est

l'infiniment petit d'ordre 1

, il suffit, pour obtenir le D.L.
[6] du produit à l'ordre 1 en

, de prendre le 2
ème facteur

c'est-à-dire
![{\displaystyle \;1-{\dfrac {l_{v}}{l_{\text{éq}}\;{\sqrt {1+\left[{\dfrac {x(t)}{l_{\text{éq}}}}\right]^{2}}}}}=1-{\dfrac {l_{v}}{l_{\text{éq}}}}\left\lbrace 1+\left[{\dfrac {x(t)}{l_{\text{éq}}}}\right]^{2}\right\rbrace ^{\!-{\frac {1}{2}}}{\Bigg \}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f19f202190b85eedda3fe7f942d53b72b0d7c4b)
à l'ordre 0 en
[16] d'où
![{\displaystyle \;f\!\left[x(t)\right]\simeq 2\;k\;l_{\text{éq}}\;{\dfrac {x(t)}{l_{\text{éq}}}}\left[1-{\dfrac {l_{v}}{l_{\text{éq}}}}\times 1\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d87fa1900b18e06d7f34b0402f5038c585e0c2a9)
à l'ordre 1 en

soit finalement
![{\displaystyle \;f\!\left[x(t)\right]\simeq 2\;k\;{\dfrac {l_{\text{éq}}-l_{v}}{l_{\text{éq}}}}\;x(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/064d0e9548d939d1fff871899f64b473efa3d98b)
et par suite la forme approchée à l'ordre 1 en

de l'équation différentielle du 2
ème ordre en

de l'oscillateur « non linéaire » non amorti se réécrit, dans le cadre des petits mouvements
[4] autour de la position d'équilibre stable, selon :
correspondant à
une approximation harmonique de l'oscillateur (c'est-à-dire une linéarisation réussie) ;
......son équation des petits mouvements
[4] est alors

avec

pulsation propre des petites oscillations
[4],

et

se déterminant à l'aide des C.I.
[17] 
et

par la
1re C.I. et
[18] d'où

par la 2
ème, soit finalement, l'équation des petits mouvements
[4]
avec
;
......la période

des petites oscillations
[4] est alors
.
Oscillations transversales d'une balle fixée entre deux ressorts identiques initialement d'axe commun vertical, les ressorts y étant ni allongés ni comprimés[modifier | modifier le wikicode]
......On reprend le dispositif précédent dans lequel les deux ressorts idéaux[20], identiques, de raideur
et de longueur à vide
, sont maintenant à spires non jointives[29] ;
......on suppose maintenant que les deux ressorts ne sont ni tendus, ni comprimés, en leur état d'équilibre correspondant à
en
, milieu du segment
, leur longueur à l'équilibre étant donc leur longueur à vide selon
avec
;
......bien que le poids
de la balle ne puisse plus être considéré de norme négligeable devant celle des forces de tension des ressorts à l'équilibre (celle-ci y étant nulle), nous n'en tiendrons pas compte en imaginant un guide transversal
à l'axe commun des ressorts dans leur état d'équilibre, guide confondu avec l'axe
sur lequel la balle peut glisser sans frottement solide, ce qui entraîne, pour
, un mouvement rectiligne suivant
;
......on écarte
, dans le sens positif, d'un angle
de sa position d'équilibre
, milieu du segment
, et on le lâche sans vitesse initiale.
Détermination de l'équation différentielle du 2ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle sans tenir compte du caractère petit de θ0[modifier | modifier le wikicode]
......Déterminer, par application de la r.f.d.n.[10] à la balle
, l'équation différentielle du 2ème ordre en
du mouvement de
, sans tenir compte de
[21] et
......vérifier qu'elle n'est pas linéaire.
Solution
Oscillations transversales d'une balle ponctuelle M fixée entre deux ressorts idéaux
[20], identiques, de même axe initial vertical avec absence d'allongement ou de compression (l
éq = l
v), représentation des forces appliquées à la balle
[30]
......La seule différence relativement à l'étude des « oscillations transversales d'une balle fixée entre deux ressorts identiques initialement d'axe commun vertical, les ressorts y étant allongés » de la question précédente de cet exercice est la longueur commune des ressorts à l'équilibre
égale maintenant à leur longueur à vide
commune d'où
;
......on en déduit les deux forces appliquées à la balle supposée ponctuelle
[30] et ayant un effet possible sur le mouvement de celle-ci :
- la force exercée par le ressort supérieur
dans laquelle
selon la loi de Hooke[23] et
- la force exercée par le ressort inférieur
avec
selon la même loi de Hooke, le texte ajoutant que
[31] ce qui est un cas particulier de
, les deux ressorts ayant même raideur et les longueurs à charge et à vide de chacun étant la même[25] ;
......appliquant la r.f.d.n.
[10] à la balle ponctuelle

dans le référentiel d'étude supposé galiléen, on obtient

soit, en projetant sur

dans le cas où

, l'équation suivante
![{\displaystyle \;-2\;T(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=m\;{\ddot {x}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6110ee28dd0c593fff73a15d2be2f4b128f7aaf)
avec

valeur commune de

soit, avec
![{\displaystyle \;T(t)=k\left[{\sqrt {l_{v}^{\,2}+x^{2}\!(t)}}-l_{v}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4ce8f016e204e874304f01b40d0017981a0b72a)
ou, en éliminant

au profit de

par
![{\displaystyle \;\sin \!\left[\theta (t)\right]={\dfrac {x(t)}{\sqrt {l_{v}^{\,2}+x^{2}\!(t)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a49d67c6cf6b16fd7b1a00b24d9641cf17bd34)
, l'équation différentielle du 2
ème ordre en

du mouvement de

suivante
sans tenir compte de
[11],
équation différentielle caractéristique d'un oscillateur « non linéaire » non amorti[32].
Tentative de linéarisation de l'équation différentielle du 2ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle en tenant compte du caractère petit de θ0[modifier | modifier le wikicode]
......Considérant maintenant
[21], vérifier que la linéarisation de l'oscillateur n'est plus possible en déterminant son équation différentielle en
à l'ordre le plus bas en
puis
......vérifier que l'oscillateur peut être qualifié, dans le cadre des petits mouvements[4], d'anharmonique, son équation différentielle y étant de la forme
avec
dont on explicitera l'expression ;
......en déduire l'intégrale 1re énergétique des petits mouvements de l'oscillateur dans son approximation anharmonique puis
......rappeler comment on peut établir sa nature oscillatoire et périodique ainsi que
......rappeler l'expression de sa période
des petites oscillations[4] sous forme intégrale.
Solution
......Pouvant établir, pour cet oscillateur « non linéaire » non amorti lâché sans vitesse initiale, la nature oscillatoire dans le cas où
n'est pas nécessairement
, ce qui a pour conséquence
[27], l'hypothèse restrictive
[11] entraînant
ou
permettant de considérer
comme un infiniment petit d'ordre 1 ;
......pour tenter de linéariser l'oscillateur « non linéaire » non amorti, il faut faire un D.L.[6] de
au voisinage de
à l'ordre 1 en
à condition que
ne soit pas nul ce qui, n'étant pas réalisé car
[33]
conduit à un échec de la tentative de linéarisation de l'oscillateur « non linéaire » non amorti au voisinage de sa position d'équilibre ;
......l'équilibre étant stable, il faut faire un D.L. de
au voisinage de
au moins à l'ordre 3 en
, l'ordre 3 suffisant si
est
[on rappelle que la stabilité de l'équilibre dans la mesure où
nécessite
et pour cela, il convient de faire apparaître l'infiniment petit d'ordre 1,
[28] ou
;
......cette dernière expression étant un produit de deux facteurs dont l'un

est

l'infiniment petit d'ordre 1

, il suffit, pour obtenir le D.L.
[6] du produit à l'ordre 3 en

, de prendre le 2
ème facteur

c'est-à-dire
![{\displaystyle \;1-{\dfrac {1}{\sqrt {1+\left[{\dfrac {x(t)}{l_{v}}}\right]^{2}}}}=1-\left\lbrace 1+\left[{\dfrac {x(t)}{l_{v}}}\right]^{2}\right\rbrace ^{\!-{\frac {1}{2}}}{\Bigg \}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d616d713de8daafb5212fb36f81d4061e38a71a8)
à l'ordre 2 en
[34],[35], ce qui donne
[36] à l'ordre 3 en

soit finalement
![{\displaystyle \;f\!\left[x(t)\right]\simeq {\dfrac {k}{l_{v}^{2}}}\;x^{3}\!(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf54970398a0536ebc4da33d25cd13666ad6e4b)
et par suite la forme approchée à l'ordre 3 en

de l'équation différentielle du 2
ème ordre en

de l'oscillateur « non linéaire » non amorti se réécrit, dans le cadre des petits mouvements
[4] autour de la position d'équilibre stable, selon :
correspondant à
une approximation anharmonique de l'oscillateur (c'est-à-dire une linéarisation impossible) ;
......pour obtenir l'intégrale
1re énergétique de l'oscillateur « non linéaire » (non amorti) dans le cadre de petits mouvements
[4] autour de sa position d'équilibre stable à l'aide de son équation différentielle du 2
ème ordre en

, on multiplie les deux membres de cette dernière par

et on intègre entre l'instant initial et un instant

quelconque, ce qui donne

soit finalement l'intégrale
1re énergétique suivante
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t)+{\dfrac {k}{4\;l_{v}^{2}}}\,\left[x^{4}\!(t)-x_{0}^{4}\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/576afda6b73f1ccfcead85c4f6bb37a0768e6ac5)
ou encore
[37] ;
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique de l'oscillateur non linéaire (non amorti) au voisinage de sa position d'équilibre stable à approximation des petits mouvements
[4] anharmonique
......pour obtenir la nature oscillatoire des petits mouvements[4] de cet oscillateur « non linéaire » autour de sa position d'équilibre stable, on trace son diagramme d'énergies potentielle et mécanique sur lequel on observe la présence de deux murs d'énergie potentielle en regard, d'abscisses respectives
(voir ci-contre,
étant égale ici à
;
......pour obtenir sa nature périodique, on évalue, par utilisation successive de son intégrale
1re énergétique et de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique, la durée de la n
ème oscillation sous forme intégrale
[38],[39] et on observe que cette durée ne dépend pas de

d'où la nature périodique, sa période des petites oscillations
[4] se réécrivant
[40],[39] ou encore
[39] soit finalement
[41],[39],
établissant l'absence d'isochronisme des petites oscillations[4] dans l'approximation anharmonique.
Point matériel M dans une rigole hémi-circulaire, relié à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal d'axe coudé passant par le bord B du diamètre horizontal de la rigole et dont l'autre extrémité est fixée en un point extérieur à ce diamètre[modifier | modifier le wikicode]
Point matériel M lié de façon bilatérale sans frottements solides avec une rigole hémi-circulaire située dans un plan vertical, à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal
[20] d'axe coudé MBA, la partie BA de l'axe étant horizontale et de longueur égale à la longueur à vide l
0 du ressort
......Un point matériel
, de masse
, est solidaire, par liaison bilatérale, d'une rigole circulaire de centre
et de rayon
d'un plan vertical (voir figure ci-contre) dans laquelle il peut glisser sans frottements solides dans le champ de pesanteur terrestre uniforme
;
......ce point est relié à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal[20], d'axe coudé
, dont la tension, étant supposée indépendante du caractère coudé de son axe, est imposée par la longueur à charge de son axe coudé
; le ressort est de raideur
et sa longueur à vide est
; d'autre part le point
étant à la distance
de
, le ressort reste allongé en toute position de
autre que celle de
.
......On repère
par son abscisse angulaire
où
est le vecteur unitaire vertical descendant,
le vecteur unitaire horizontal dirigé de
vers
et
le vecteur unitaire horizontal orientant les angles du plan vertical de la rigole, ces trois vecteurs unitaires
définissant la base cartésienne orthonormée directe du repère associé au référentiel supposé galiléen et lié à la rigole.
Détermination de la position d'équilibre du point matériel[modifier | modifier le wikicode]
......Déterminer, en raisonnant en terme de forces, l'abscisse angulaire
de la position d'équilibre du point matériel
.
Solution
Point matériel M lié de façon bilatérale sans frottements solides avec une rigole hémi-circulaire située dans un plan vertical, à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal
[20] d'axe coudé MBA, la partie BA de l'axe étant horizontale et de longueur égale à la longueur à vide l
0 du ressort, avec représentation des forces appliquées à M
......Le point matériel
est soumis aux trois forces suivantes :
- son poids
vertical,
- la force
exercée par le ressort, de ligne d'action
, de sens dirigé vers
et de norme
à l'allongement du ressort égal à
, la longueur
étant égale à la longueur à vide
soit
et
- la réaction
de la rigole, de direction normale à cette dernière en absence de frottements solides, soit, en utilisant la base locale polaire de pôle
et d'axe polaire
liée à
,
;
......adoptant le repérage polaire du point
avec
on peut réécrire :
- le poids de
selon
et
- la force
exercée par le ressort en évaluant
...
l'angle
en effet
(relation dans le triangle
et utilisant le caractère isocèle du triangle
on en déduit
soit encore le résultat énoncé car
est le complémentaire de
,
...
l'allongement du ressort
en effet
étant la base du triangle isocèle
, on utilise la hauteur issue de
qui est en même temps médiane et bissectrice, soit, en appelant
le pied de cette hauteur,
avec
où
,
étant égal à
et
...
le vecteur unitaire
soit finalement
...
la force exercée par le ressort
[42] ;
......la direction du mouvement de
étant
la composante de la force « motrice » sur cette direction est
soit finalement
[43] et
......la condition d'équilibre s'obtenant par

, la recherche des zéros de

nous conduit à l'équation

ou

soit, en limitant la recherche des zéros sur l'intervalle
.
Détermination de la stabilité de la position d'équilibre du point matériel[modifier | modifier le wikicode]
......Démontrer, en raisonnant en terme de forces, la stabilité de la position d'équilibre du point matériel
[44].
Étude des petits mouvements du point matériel autour de sa position d'équilibre stable[modifier | modifier le wikicode]
......Dans le but d'étudier les petits mouvements[4] du point matériel
autour de sa position d'équilibre stable, écrire l'équation différentielle du 2ème ordre en
du mouvement de
sans tenir compte de la petitesse de
puis,
......en introduisant l'écart angulaire
relativement à l'abscisse angulaire d'équilibre, écart dont on ne tient toujours pas compte de la petitesse de sa valeur absolue, réécrire cette équation différentielle du 2ème ordre en
;
......faire un D.L.[6] à l'ordre 1 de l'équation différentielle du 2ème ordre en
tenant compte du caractère « petit » de la valeur absolue de l'écart angulaire relativement à l'abscisse de la position d'équilibre[46] puis
......vérifier que l'approximation des petits mouvements[4] de l'oscillateur non linéaire
est alors harmonique et
......préciser la période
de ses petites élongations[4].
Solution
......L'équation différentielle du 2
ème ordre en

du mouvement de

(sans tenir compte de

, s'obtient, par projection sur

, de la r.f.d.n.
[10] appliquée à

dans le référentiel d'étude supposé galiléen soit
![{\displaystyle \;F_{\theta }\!\left[\theta (t)\right]=m\;a_{M,\,\theta }(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3213a70363a6bdd3198cb963722b0b1192be4956)
avec
[47], ou
![{\displaystyle \;-m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]+k\;a\;\cos \!\left[\theta (t)\right]=m\;{\mathfrak {a}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5518079597d80d890401f4695c4c69461b8e9abf)
d'où, en normalisant,
;
......en introduisant

ainsi que

, puis en reportant dans l'expression de l'équation différentielle du 2
ème ordre précédemment déterminée, on obtient
![{\displaystyle \;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {g}{\mathfrak {a}}}\;\sin \!\left[\theta _{\text{éq}}+\varepsilon (t)\right]-{\dfrac {k}{m}}\;\cos \!\left[\theta _{\text{éq}}+\varepsilon (t)\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a290a9fc1b8303b483845b98eecb15601a6811)
ou, avec

, la réécriture de l'équation différentielle selon
![{\displaystyle \;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {g}{\mathfrak {a}}}\left\lbrace \sin(\theta _{\text{éq}})\;\cos \!\left[\varepsilon (t)\right]+\cos(\theta _{\text{éq}})\;\sin \!\left[\varepsilon (t)\right]\right\rbrace -{\dfrac {k}{m}}\left\lbrace \cos(\theta _{\text{éq}})\;\cos \!\left[\varepsilon (t)\right]-\sin(\theta _{\text{éq}})\;\sin \!\left[\varepsilon (t)\right]\right\rbrace =0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c90b6aae0d3429718dff48d3a2eb67f91fa9ab)
soit encore, en regroupant les facteurs de
![{\displaystyle \;\cos \!\left[\varepsilon (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67f3afe87e0ca2f3b251d39b4d07c5630469d0d0)
et ceux de
![{\displaystyle \;\sin \!\left[\varepsilon (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed06c512403219dc8ddb7c4e071915a8455655fb)
et en remarquant que celui de
![{\displaystyle \;\cos \!\left[\varepsilon (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67f3afe87e0ca2f3b251d39b4d07c5630469d0d0)
est nul

en effet de la condition d'équilibre

on en déduit
![{\displaystyle \;{\dfrac {g}{\mathfrak {a}}}\;\sin(\theta _{\text{éq}})-{\dfrac {k}{m}}\;\cos(\theta _{\text{éq}})={\dfrac {-1}{m\;{\mathfrak {a}}}}\,\left[-m\;g\;\sin(\theta _{\text{éq}})+k\;{\mathfrak {a}}\;\cos(\theta _{\text{éq}})\right]=0{\bigg \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e8fe14d6f505b0170c86e6a7a964d7bcaa7657c)
,
;
......avec

, correspondant à

infiniment petit d'ordre 1, le D.L.
[6] de

à l'ordre 1 en

au voisinage de 0 étant

, on en déduit l'expression approchée à l'ordre 1 de l'équation différentielle du 2
ème ordre en
ou,
......après mise en facteur de
dans le cœfficient de
de façon à pouvoir utiliser la condition d'équilibre
et simplifier l'équation différentielle approchée,
dont on déduit :
- en remplaçant
par
,
soit, avec
, l'équation différentielle approchée suivante
ou
- en remplaçant
par
,
et
par
, une autre forme de l'équation différentielle approchée n'utilisant pas
, soit
ou encore
;
......on constate que, quelle que soit la forme approchée de l'équation différentielle à l'ordre 1 en

des petits mouvements
[4] du point

, l'approximation est
harmonique, l'équation différentielle étant linéarisée, ce qui implique que les petits mouvements
[4] de

sont sinusoïdaux de période des petites élongations
[4]
.
Étude des petits mouvements autour de l'équilibre (ou des équilibres) stable(s) d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale[modifier | modifier le wikicode]
Schéma d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure R fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel M de masse m pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale
......L'objet de cet exercice consiste à étudier les petites oscillations[4] d'un système mécanique au voisinage de sa (ou de ses) position(s) d'équilibre stable et en particulier de les observer au voisinage d'une bifurcation (c'est-à-dire d'un changement du nombre de positions d'équilibre, de la position d'équilibre stable ou autres changements consécutifs à une variation d'un paramètre caractérisant les équilibres du système mécanique
.
......On s'intéresse au système mécanique suivant : un objet assimilé à un point matériel
, de masse
, est fixé à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal[20], à spires non jointives[29], de longueur à vide
et de constante de raideur
, dont l'extrémité supérieure est fixée en un point
.
......L'objet peut coulisser sans frottement horizontalement sur une tige[48] (voir la figure ci-contre).
......On repère la position du point
sur cette tige par son abscisse
sur l'axe confondu avec la tige dont l'origine
est située sur la même verticale que le point d’attache
fixe du ressort, cet axe horizontal
étant orienté arbitrairement vers la droite, l'axe vertical
l'étant vers le haut.
......La tige se trouve à une distance
du point
c'est-à-dire
.
......La 1re partie « Recherche des positions d'équilibre » de cet exercice ayant déjà été traitée dans « Étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale… » de la série d'exercices du chapitre 18 de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », nous nous contenterons de rappeler les questions ainsi que les principaux résultats de la solution en renvoyant à l'exercice précité pour les détails.
......On recherche les positions d'équilibre ainsi que leur stabilité suivant le paramètre
dont on fera varier la valeur.
Détermination qualitative du nombre de positions d'équilibre et de la stabilité de celles-ci (détermination graphique) quand λ varie à partir de sa valeur initiale lv[modifier | modifier le wikicode]
......Initialement le point matériel
se trouve en
et
.
......Décrire qualitativement (aucun calcul n'est demandé) le nombre de positions d'équilibre et graphiquement la stabilité de celles-ci suivant qu'on
- rapproche la tige du point
c'est-à-dire que
à partir de
ou
- éloigne la tige du point
c'est-à-dire que
à partir de
.
Solution
......Voir la solution de la question « Détermination qualitative du nombre de positions d'équilibre et de la stabilité de celles-ci (détermination graphique) quand λ varie à partir de sa valeur initiale lv » ayant déjà été traitée dans « Étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale… » de la série d'exercices du chapitre 18 de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ; les principaux résultats sont :
- dans le cas
, il y a « une seule position d'équilibre
» « stable » ;
- dans le cas
, il y a « trois positions d'équilibre
,
et
» ;
est un équilibre « instable » alors que
et
sont des équilibres « stables » ;
- dans le cas
il y a « une seule position d'équilibre
» et cet équilibre est « stable ».
Détermination de l'expression de l'énergie potentielle élastique de l'objet M pour λ quelconque[modifier | modifier le wikicode]
......On considère maintenant
quelconque.
......Déterminer l'expression de l'énergie potentielle élastique
de l'objet
en fonction de
,
,
et
en choisissant sa référence en
.
Tracé des deux types principaux de profils d'énergie potentielle élastique de l'objet M suivant les valeurs de λ quelconque[modifier | modifier le wikicode]
......Vérifier que l'allure des diagrammes d'énergie potentielle élastique de l'objet
diffère suivant que
et
......représenter chaque type de profil d'énergie potentielle élastique (pour
tracer un profil associé à
et celui à
.
Détermination algébrique des abscisses d'équilibre xéq de M et vérification de leur stabilité (de façon algébrique) suivant les valeurs de λ quelconque[modifier | modifier le wikicode]
......Déterminer les abscisses des positions d'équilibre