Loi des grands nombres/Loi faible des grands nombres
Présentation
[modifier | modifier le wikicode]La loi faible des grands nombres, ou théorème de Khintchine, est utilisée en statistique, où elle permet de donner des estimateurs de valeurs caractéristiques d'une loi de probabilités (espérance, variance,...)
Énoncé
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Loi faible des grands nombres
Soit une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur un espace probabilisé , de même espérance et de même variance . Alors la moyenne empirique des converge en probabilités vers .
![{\displaystyle \mathbb {E} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09de7acbba84104ff260708b6e9b8bae32c3fafa)
![{\displaystyle V[X]<+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e4a4279f13efa5a564f7558768e289e87a7f56)
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\qquad \lim _{n\rightarrow +\infty }\mathbb {P} \left(\left|{\frac {X_{1}+\ldots +X_{n}}{n}}-\mathbb {E} [X]\right|\geq \varepsilon \right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e63f63b747dc9030ca3fcc2551e603993802567)
Démonstration
Notons . On a et .
![{\displaystyle \mathbb {E} [S]=\mathbb {E} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fde1ca39dc70c2cf3abcd30551ae62be1756673)
![{\displaystyle V[S]={\frac {V[X]}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e65570d81a3b6eb936566dd50c10838978874749)
Ainsi, en appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a :
.
![{\displaystyle \mathbb {P} \left(\left|S-\mathbb {E} [S]\right|\geq \varepsilon \right)\leq {\frac {V[S]}{\varepsilon ^{2}}}={\frac {V[X]}{n\varepsilon ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32798c19e048fe1d904b9dabede8bc797a2d8982)
D'où le résultat final.
