Loi des grands nombres/Loi forte des grands nombres
Présentation
[modifier | modifier le wikicode]La loi forte des grands nombres propose un résultat similaire à celui de la loi faible, à savoir la convergence d'une moyenne empirique vers une moyenne théorique, mais sous des hypothèses de départ différentes.
Énoncé
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Loi forte des grands nombres
Soit une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur un espace probabilisé , de même espérance et intégrables . Alors la moyenne empirique des converge presque sûrement vers .
![{\displaystyle \mathbb {E} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09de7acbba84104ff260708b6e9b8bae32c3fafa)
![{\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} \ \mathbb {E} [|X_{n}|]<+\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d7a34da4ef76fbe6c183e3cc01d242188ffe636)
![{\displaystyle \mathbb {P} \left(\lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {X_{1}+\ldots +X_{n}}{n}}=\mathbb {E} [X]\right)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ed0d85cab35168713b56f6cd340e2dc40ee27a5)
La démonstration est admise.
