Loi des grands nombres/Résultats préliminaires

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Présentation

Dans cette page, nous allons présenter quelques résultats basiques de probabilités.

Inégalité de Markov

L'inégalité de Markov permet de donner une majoration des valeurs que peut prendre une variable aléatoire.

Début d’un théorème

Inégalité de Markov

Soit X une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé $\left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} \right)$ et supposée presque sûrement positive ou nulle. Alors

$\forall a>0\qquad \mathbb {P} (X\geq a)\leq {\frac {\mathbb {E} [X]}{a}}.$

Fin du théorème

Démonstration

On a l'inégalité

$\forall \omega \in \Omega \qquad X(\omega )\geq a\ 1_{\{X(\omega )\geq a\}}$

dès que $a\geq 0$. On en déduit que

$\mathbb {E} [X]\ \geq \mathbb {E} [a\ 1_{\{X\geq a\}}]\ =a\mathbb {P} (X\geq a).$

 

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet de donner une majoration des valeurs que peut prendre une variable aléatoire par rapport à son espérance.

Début d’un théorème

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit X une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et de variance finie $\sigma ^{2}$ (l'hypothèse de variance finie garantit l’existence de l'espérance). Alors :

$\forall \alpha >0\quad \mathbb {P} \left(\left|X-\mu \right|\geq \alpha \right)\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\alpha ^{2}}}$

Fin du théorème

Démonstration

En remarquant que $\mathbb {P} \left(\left|X-\mu \right|\geq \alpha \right)=\mathbb {P} \left((X-\mu )^{2}\geq \alpha ^{2}\right)$

il suffit d'appliquer l'inégalité de Markov :

$\forall \alpha >0\quad \mathbb {P} \left(\left|X-\mu \right|\geq \alpha \right)\leq {\frac {\mathbb {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]}{\alpha ^{2}}}={\frac {\mathbb {V} (X)}{\alpha ^{2}}}$