Logique de base/Exercices/Algèbre de Boole

Réduire les équations en utilisant les propriétés de l'algèbre de Boole:

À 2 variables

Équation 1

• $A=a+a\cdot b$

Solution

Je factorise par rapport à a dans tous les termes:

$\begin{array}{cc}A& =a(1+b)\\ & =a\cdot 1\\ & =a\\ \end{array}$

$A=a+a\cdot b=a$

 

Équation 2

• $B=a\cdot (a+b)$

Solution

Je développe $a$ par rapport à la parenthèse :

$\begin{array}{cc}B& =a\cdot a+a\cdot b\\ & =a+a\cdot b\end{array}$ (on remarque que a + a = 1)

Je factorise par rapport à $a$ dans tous les termes grâce à la simplification:

$\begin{array}{cc}B& =a\cdot (1+b)\\ & =a\cdot 1\\ & =a\end{array}$

$B=a\cdot (a+b)=a$

 

Équation 3

• $C=a+(\overline{a}\cdot b)$

Solution

$\begin{array}{cc}C& =(a+\overline{a})\cdot (a+b)\\ & =1\cdot (a+b)\\ & =a+b\end{array}$

$C=a+(\overline{a}\cdot b)=a+b$

 

Équation 4

• $D=(a+b)\cdot (a+\overline{b})$

Solution

Je développe la première parenthèse avec la deuxième :

$\begin{array}{cc}D& =a\cdot a+a\cdot \overline{b}+b\cdot a+b\cdot \overline{b}\\ & =a+a\cdot \overline{b}+a\cdot b+0\\ & =a+a\cdot \overline{b}+a\cdot b\end{array}$

Je factorise par rapport à a dans tous les termes:

$\begin{array}{cc}D& =a(1+\overline{b}+b)\\ & =a\cdot 1\\ & =a\end{array}$

$D=(a+b)\cdot (a+\overline{b})=a$

 

Équation 5

• $G=(\overline{a}+\overline{b})+(\overline{a}+b)+(a+\overline{b})$

Solution

On retire les parenthèses

$\begin{array}{cc}G& =\overline{a}+\overline{b}+\overline{a}+b+a+\overline{b}\\ \end{array}$

a et son complément valent 1 et 1+ n'importe quelle valeur vaut 1

$\begin{array}{cc}G& =1\end{array}$

 

Équation 6

• $H=(\overline{a}+b)+(a+\overline{b})+(a+b)$

Solution

idem équation 5

 

À 3 variables

Équation 1

• $E=(a+b)\cdot (a+c)$

Solution

Je développe la première parenthèse avec la deuxième :

$\begin{array}{cc}E& =a\cdot a+a\cdot c+b\cdot a+b\cdot c\\ & =a+a\cdot c+a\cdot b+b\cdot c\end{array}$

Je factorise a dans tous les termes, sauf dans le dernier :

$\begin{array}{cc}E& =a(1+c+b)+b\cdot c\\ & =a.1+b\cdot c\\ & =a+b\cdot c\end{array}$

$E=(a+b)\cdot (a+c)=a+b\cdot c$

 

Équation 2

• $F=(a+b)\cdot (\overline{a}+c)$

Solution

Je développe la première parenthèse avec la deuxième :

$\begin{array}{cc}F& =a\cdot \overline{a}+a\cdot c+b\cdot \overline{a}+b\cdot c\\ & =0+a\cdot c+\overline{a}\cdot b+b\cdot c\\ \end{array}$

Théorème du consensus

$\begin{array}{cc}F& =\overline{a}\cdot b+a\cdot c\end{array}$

 

Équation 3

• $P=(a+\overline{b})\cdot (b+\overline{c})\cdot (c+\overline{a})$

Solution

On développe la première parenthèse avec la deuxième :

$\begin{array}{cc}P& =(a\cdot b+a\cdot \overline{c}+\overline{b}\cdot b+\overline{b}\cdot \overline{c})\cdot (c+\overline{a})\\ & =(a\cdot b+a\cdot \overline{c}+0+\overline{b}\cdot \overline{c})\cdot (c+\overline{a})\\ & =(a\cdot b+a\cdot \overline{c}+\overline{b}\cdot \overline{c})\cdot (c+\overline{a})\end{array}$

On développe la première parenthèse avec la deuxième :

$\begin{array}{cc}P& =a\cdot b\cdot c+a\cdot \overline{c}\cdot c+\overline{b}\cdot \overline{c}\cdot c+a\cdot b\cdot \overline{a}+a\cdot \overline{c}\cdot \overline{a}+\overline{b}\cdot \overline{c}\cdot \overline{a}\\ & =a\cdot b\cdot c+a.0+\overline{b}.0+a\cdot \overline{a}\cdot b+a\cdot \overline{a}\cdot \overline{c}+\overline{b}\cdot \overline{c}\cdot \overline{a}\\ & =a\cdot b\cdot c+0+0+0\cdot b+0\cdot \overline{c}+\overline{a}\cdot \overline{b}\cdot \overline{c}\\ & =a\cdot b\cdot c+0+0+0+0+\overline{a}\cdot \overline{b}\cdot \overline{c}\\ & =a\cdot b\cdot c+\overline{a}\cdot \overline{b}\cdot \overline{c}\end{array}$

$P=a\cdot b\cdot c+\overline{a}.\overline{b}.\overline{c}$

 

Équation 4

• $I=(\overline{b}+\overline{a})\cdot (a\cdot c+\overline{b})$

Solution

$\begin{array}{cc}I& =a\cdot \overline{b}\cdot c+a\cdot \overline{a}\cdot c+\overline{b}\cdot \overline{b}+\overline{a}\cdot \overline{b}\\ & =a\cdot \overline{b}\cdot c+\overline{b}+\overline{a}\cdot \overline{b}\\ & =\overline{b}\cdot (a\cdot c+1+\overline{a})\\ & =\overline{b}\cdot 1\\ I& =\overline{b}\end{array}$

 

Équation 5

• $Q=(a+b+c)\cdot (a+\overline{b}+c)\cdot (a+\overline{b}+\overline{c})$

Solution

Je développe les deux premières parenthèses :

$\begin{array}{cc}Q& =(a\cdot a+a\cdot \overline{b}+a\cdot c+b\cdot a+b\cdot \overline{b}+b\cdot c+c\cdot a+c\cdot \overline{b}+c\cdot c)\cdot (a+\overline{b}+\overline{c})\\ & =(a+a\cdot \overline{b}+a\cdot c+a\cdot b+0+b\cdot c+a\cdot c+\overline{b}\cdot c+c)\cdot (a+\overline{b}+\overline{c})\\ & =(a+a\cdot \overline{b}+a\cdot c+a\cdot b+b\cdot c+a\cdot c+\overline{b}\cdot c+c)\cdot (a+\overline{b}+\overline{c})\\ & =(a+a\cdot \overline{b}+a\cdot c+a\cdot b+b\cdot c+\overline{b}\cdot c+c)\cdot (a+\overline{b}+\overline{c})\end{array}$

Dans la première parenthèse, je factorise $a$ autant que possible et dans le reste, je factorise $c$ autant que possible :

$\begin{array}{cc}Q& =[a\cdot (1+\overline{b}+c+b)+c\cdot (b+\overline{b}+1)]\cdot (a+\overline{b}+\overline{c})\\ & =(a.1+c.1)\cdot (a+\overline{b}+\overline{c})\\ & =(a+c)\cdot (a+\overline{b}+\overline{c})\\ & =a\cdot a+a\cdot \overline{b}+a\cdot \overline{c}+c\cdot a+c\cdot \overline{b}+c\cdot \overline{c}\\ & =a+a\cdot \overline{b}+a\cdot \overline{c}+a\cdot c+\overline{b}\cdot c+0\\ & =a+a\cdot \overline{b}+a\cdot \overline{c}+a\cdot c+\overline{b}\cdot c\end{array}$

Je factorise $a$ autant que possible =

$\begin{array}{cc}Q& =a.(1+\overline{b}+\overline{c}+c)+\overline{b}\cdot c\\ & =a.1+\overline{b}\cdot c\\ & =a+\overline{b}\cdot c\end{array}$

$Q=a+\overline{b}.c$

 

Équation 6

$T=a\cdot b\cdot c+a\cdot \overline{b}\cdot c+a\cdot b\cdot \overline{c}$

Solution

On factorise a dans les 3 termes :

$T=a\cdot (b\cdot c+\overline{b}\cdot c+b\cdot \overline{c})$

Dans la parenthèse, on factorise dans le premier et le dernier terme :

$\begin{array}{cc}T& =a\cdot [b\cdot (c+\overline{c})+\overline{b}\cdot c]\\ & =a\cdot [b\cdot 1+\overline{b}\cdot c]\\ & =a\cdot (b+\overline{b}\cdot c)\\ & =a\cdot [(b+\overline{b})\cdot (b+c)]\\ & =a\cdot [1\cdot (b+c)]\\ & =a\cdot (b+c)\end{array}$

$T=a\cdot (b+c)$

 

Équation 7

$V=(a+b)\cdot (a+c)+(b+c)\cdot (b+a)+(c+a)\cdot (c+b)$

Solution

Je développe les 3 groupes de 2 parenthèses chacune :

$\begin{array}{cc}V& =a\cdot a+a\cdot c+b\cdot a+b\cdot c+b\cdot b+b\cdot a+b\cdot c+c\cdot a+c\cdot c+c\cdot b+a\cdot c+a\cdot b\\ & =a+a\cdot c+a\cdot b+b\cdot c+b+a\cdot b+b\cdot c+a\cdot c+c+b\cdot c+a\cdot c+a\cdot b\\ & =a+a\cdot c+a\cdot b+b\cdot c+b+c\end{array}$

Je factorise a dans les 3 premiers termes et b dans les 2 termes suivants :

$\begin{array}{cc}V& =a(1+c+b)+b(c+1)+c\\ & =a.1+b.1+c\\ & =a+b+c\end{array}$

$V=a+b+c$

 

Équation 8

$K=a\cdot c\cdot (\overline{a}+b+\overline{c})$

Solution

On développe l'expression :

$\begin{array}{cc}K& =a\cdot \overline{a}\cdot c+a\cdot b\cdot c+a\cdot c\cdot \overline{c}\end{array}$

Les premiers et derniers produits disparaissent, d'où :

$K=a\cdot b\cdot c$

 

Équation 9

$L=ab+\overline{a}b+ac+\overline{a}c$

Solution

On factorise par b et par c :

$\begin{array}{cc}L& =b\cdot (a+\overline{a})+c\cdot (a+\overline{a})\\ & =b\cdot 1+c\cdot 1\end{array}$

$L=b+c$

 

À 4 variables

Équation 1

$U=(\overline{a}+b)\cdot (a+b+d)\cdot \overline{d}$

Solution

Je développe la dernière parenthèse avec $\overline{d}$ :

$\begin{array}{cc}U& =(\overline{a}+b)\cdot (a\cdot \overline{d}+b\cdot \overline{d}+d\cdot \overline{d})\\ & =(\overline{a}+b)\cdot (a\cdot \overline{d}+b\cdot \overline{d}+0)\\ & =(\overline{a}+b)\cdot (a\cdot \overline{d}+b\cdot \overline{d})\end{array}$

Je développe les parenthèses :

$\begin{array}{cc}U& =\overline{a}\cdot a\cdot \overline{d}+\overline{a}\cdot b\cdot \overline{d}+b\cdot a\cdot \overline{d}+b\cdot b\cdot \overline{d}\\ & =0\cdot \overline{d}+\overline{a}\cdot b\cdot \overline{d}+b\cdot a\cdot \overline{d}+b\cdot \overline{d}\\ & =\overline{a}\cdot b\cdot \overline{d}+a\cdot b\cdot \overline{d}+b\cdot \overline{d}\end{array}$

Je factorise $\begin{array}{c}b\cdot \overline{d}\end{array}$ dans tous les termes :

$\begin{array}{cc}U& =(b\cdot \overline{d})\cdot (\overline{a}+a+1)\\ & =(b\cdot \overline{d})\cdot 1\\ & =b\cdot \overline{d}\end{array}$

$U=b\cdot \overline{d}$

 

Équation 2

$Z=(a\cdot b+c+d)\cdot a\cdot b$

Solution

$Z=(a\cdot b+c+d)\cdot a\cdot b$

Je développe les parenthèses :

$\begin{array}{cc}Z& =a\cdot a\cdot b\cdot b+a\cdot b\cdot c+a\cdot b\cdot d\\ & =a\cdot b+a\cdot b\cdot c+a\cdot b\cdot d\end{array}$

Je factorise $\begin{array}{c}a\cdot b\end{array}$ dans tous les termes :

$\begin{array}{cc}Z& =(a\cdot b)\cdot (1+c+d)\\ & =(a\cdot b)\cdot 1\\ & =a\cdot b\end{array}$

$Z=a\cdot b$

 

Équation 3

$J=c\cdot (b+c)+(a+d)\cdot (\overline{a}+d)\cdot \overline{c}$

Solution

$J=c\cdot (b+c)+(a+d)\cdot (\overline{a}+d)\cdot \overline{c}$

Je développe les parenthèses :

$\begin{array}{cc}J& =c\cdot b+c\cdot c+a\cdot \overline{a}\cdot \overline{c}+a\cdot d\cdot \overline{c}+d\cdot \overline{a}\cdot \overline{c}+d\cdot d\cdot \overline{c}\\ & =c\cdot b+c+0+a\cdot d\cdot \overline{c}+d\cdot \overline{a}\cdot \overline{c}+d\cdot \overline{c}\end{array}$

Je factorise par $c$ dans les deux premiers termes et par $d\overline{c}$ dans les trois derniers termes.

$\begin{array}{cc}J& =(b+1)\cdot c+(a+\overline{a}+1)d\cdot \overline{c}\\ & =c+d\cdot \overline{c}\\ & =(1+d)\cdot c+d\cdot \overline{c}\\ & =c+dc+d\cdot \overline{c}\\ & =c+d(c+\overline{c})\\ & =c+d\times 1\\ & =c+d\\ \end{array}$

$J=c+d$