Leçons de niveau 11

Logique de base/Algèbre de Boole

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Algèbre de Boole
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Chapitre no 2
Leçon : Logique de base
Chap. préc. :Introduction
Chap. suiv. :Tableau de Karnaugh

Exercices :

Algèbre de Boole
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Logique de base/Algèbre de Boole
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Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Dérivée des mathématiques, l'algèbre de Boole est utilisée par les automaticiens afin de réduire les équations logiques pour éviter de prendre trop de place dans les mémoires d'automates programmables. À l'époque, et pour les automatismes assez importants, la mémoire était un critère important : Il fallait par tous les moyens possibles réduire au minimum cette prise de place.
L'algèbre de Boole est un très bon outil utilisant des règles relativement simples. En algèbre de Boole, les variables (a, b, c ....) ne peuvent prendre que deux valeurs : 0 et 1

Les propriétés[modifier | modifier le wikicode]

Tout d’abord, les symboles utilisés en algèbre de Boole, bien qu'en apparence similaires à ceux des mathématiques, diffèrent dans leurs significations.

Ainsi

  • le symbole " + " se lit " ou ". En effet l’expression " a + b = 1 " se lit " a ou b égal à 1 ". Cette condition est vérifiée pour a ou pour b (ou pour les deux en même temps) égale à 1
  • le symbole " . " se lit " et ". En effet l’expression " a . b = 1 " se lit " a et b égal à 1 ". Cette condition est vérifiée pour a et b égal à 1. (Si l'un des deux vaut 0, l'équation n’est pas vérifiée)
  • la variable " " se lit " a barre " (ou " non a "). Elle prend la valeur opposé de a. Si a = 1 alors = 0 et inversement.


Propriété du OU[modifier | modifier le wikicode]

Propriété du ET[modifier | modifier le wikicode]

Propriété de la complémentarité (négation)[modifier | modifier le wikicode]

Propriété de l’idempotence[modifier | modifier le wikicode]

  • a . a = a
  • a + a = a

Propriété de la commutativité[modifier | modifier le wikicode]

  • a + b = b + a
  • a . b = b . a

Propriété de l'associativité[modifier | modifier le wikicode]

  • a + b + c = ( a + b ) + c = a + ( b + c )
  • a . b . c = ( a . b ) . c = a . ( b . c )

Propriété de la distributivité[modifier | modifier le wikicode]

  • a . ( b + c ) = a . b + a . c
  • ( a + b ) . ( c + d ) = a . c + a . d + b . c + b . d
  • a + ( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c )

Théorème de De Morgan[modifier | modifier le wikicode]

Exemple d’optimisations[modifier | modifier le wikicode]

Soit l’expression suivant : ( a + + a . ) . ( a . b + . c + b . c )

La réduction de l’expression en commençant par la commutativité, nous obtenons :
= ( a . b ) + 0 + ( a . b ) + 0 + ( . . c ) + 0 + ( a . b . c ) + 0 + 0
= ( a . b ) + ( . . c ) + ( a . b . c )
= ( a . b ) + ( . . c )
= a . b + c
La réduction de l’expression en commençant par l’enlèvement d’éléments neutres, nous obtenons :
= ( a + ) . ( a . b + c )
= a . b + a . c + 0 + . c
= a . b + c

Exercices[modifier | modifier le wikicode]

Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Algèbre de Boole.



Références[modifier | modifier le wikicode]

Électronique numérique : Fonctions logiques élémentaires