Leçons de niveau 12

Limites d'une fonction/Droites asymptotes

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Droites asymptotes
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Chapitre no 8
Leçon : Limites d'une fonction
Chap. préc. :Limite des polynômes et fractions rationnelles à l'infini
Chap. suiv. :Exemple corrigé
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Limites d'une fonction/Droites asymptotes
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Définition qualitative[modifier | modifier le wikicode]


On peut classer les asymptotes en trois « catégories » :

  • Les asymptotes horizontales
  • Les asymptotes verticales
  • Les asymptotes obliques

Asymptote horizontale[modifier | modifier le wikicode]

Función Continua 033.svg

Prenons la fonction inverse. On sait que

Ceci montre que la courbe de la fonction inverse se rapproche de plus en plus de l’axe des abscisses, qui est la droite d'équation .

On dit alors que l'axe des abscisses est asymptote à la courbe de la fonction inverse en +∞.

De même, on a , donc l’axe des abscisses est asymptote à la courbe de la fonction inverse en -∞.


Asymptote verticale[modifier | modifier le wikicode]

Funcion continua 24.svg

Prenons à présent la fonction , dont la courbe est représentée ci-contre.

On a et .

On voit donc bien que se rapproche de plus en plus de la droite verticale tracée en bleu lorsque x tend vers x₁. La droite en bleu a pour équation

On dit que a pour asymptote verticale la droite d'équation en x₁.


Asymptote oblique[modifier | modifier le wikicode]

Exemple 1[modifier | modifier le wikicode]

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


1. Déterminer le comportement de ƒ en
On factorise les termes de plus haut degré et on simplifie :
Pour tout
Or et
Donc
2. On note . Pour tout , donner l’expression de E(x).
Soit

3. Déterminer la limite de E(x) quand x tend vers plus l’infini.

Donc
4. Sur la calculatrice, tracer la courbe de ƒ et la droite d’équation y = x - 1. Que remarque-t-on ?

Théorème général sur les asymptotes obliques[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème


Dans l'exemple précédent, et l'asymptote est ...


Dans l'exemple précédent, .


Dans l'exemple précédent :

Exemple 2[modifier | modifier le wikicode]

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


1. Déterminer le comportement de g en +∞

On factorise par les termes de plus haut degré et on simplifie :

Pour tout
Or, et
Donc
2. Trouver a et b tels que pour tout


3. On pose pour tout . Étudier le signe de E(x) et sa limite quand x tend vers plus l’infini.
Pour tout
Or
Donc

On a les positions relatives :