Leçons de niveau 12

Limites d'une fonction/Droites asymptotes

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Droites asymptotes
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Chapitre no 8
Leçon : Limites d'une fonction
Chap. préc. :Limite des polynômes et fractions rationnelles à l'infini
Chap. suiv. :Exemple corrigé
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Limites d'une fonction/Droites asymptotes
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Définition qualitative[modifier | modifier le wikicode]



On peut classer les asymptotes en trois « catégories » :

  • Les asymptotes horizontales
  • Les asymptotes verticales
  • Les asymptotes obliques

Asymptote horizontale[modifier | modifier le wikicode]

Función Continua 033.svg

Prenons la fonction inverse. On sait que .

Ceci montre que la courbe de la fonction inverse se rapproche de plus en plus de l’axe des abscisses, qui est la droite d'équation .

On dit alors que l'axe des abscisses est asymptote à la courbe de la fonction inverse en +∞.

De même, on a , donc l’axe des abscisses est asymptote à la courbe de la fonction inverse en -∞.



Asymptote verticale[modifier | modifier le wikicode]

Funcion continua 24.svg

Prenons à présent la fonction , dont la courbe est représentée ci-contre.

On a et .

On voit donc bien que se rapproche de plus en plus de la droite verticale tracée en bleu lorsque x tend vers x₁. La droite en bleu a pour équation

On dit que a pour asymptote verticale la droite d'équation en x₁.



Asymptote oblique[modifier | modifier le wikicode]

Exemple 1[modifier | modifier le wikicode]

Début de l'exemple


Fin de l'exemple


1. Déterminer le comportement de ƒ en
On factorise les termes de plus haut degré et on simplifie :
Pour tout
Or et
Donc
2. On note . Pour tout , donner l’expression de E(x).
Soit

3. Déterminer la limite de E(x) quand x tend vers plus l’infini.

Donc
4. Sur la calculatrice, tracer la courbe de ƒ et la droite d’équation y = x - 1. Que remarque-t-on ?

Théorème général sur les asymptotes obliques[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Dans l'exemple précédent, et l'asymptote est ...




Dans l'exemple précédent, .




Dans l'exemple précédent :

Exemple 2[modifier | modifier le wikicode]

Début de l'exemple


Fin de l'exemple


1. Déterminer le comportement de g en +∞

On factorise par les termes de plus haut degré et on simplifie :

Pour tout
Or, et
Donc
2. Trouver a et b tels que pour tout


3. On pose pour tout . Étudier le signe de E(x) et sa limite quand x tend vers plus l’infini.
Pour tout
Or
Donc

On a les positions relatives :