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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Limites d'une fonction : Exemple corrigé Limites d'une fonction/Exemple corrigé », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Début de l'exemple
Exemple
Soit
f
:
x
↦
x
2
−
3
x
+
2
−
3
x
2
+
5
x
+
2
{\displaystyle f:x\mapsto {\frac {x^{2}-3x+2}{-3x^{2}+5x+2}}}
Déterminer l’ensemble de définition de f .
Quelles sont les limites de f aux bords de son domaine de définition ?
Fin de l'exemple
Soit
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
−
3
x
2
+
5
x
+
2
=
0
⇔
x
=
−
1
3
ou
x
=
2
{\displaystyle -3x^{2}+5x+2=0\Leftrightarrow x=-{\frac {1}{3}}{\mbox{ ou }}x=2}
Le domaine de définition de f est
D
f
=
R
−
{
−
1
3
;
2
}
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{f}=\mathbb {R} -\left\{-{\frac {1}{3}};2\right\}}
Question 2 : Étude des limites de f aux bords de son domaine de définition [ modifier | modifier le wikicode ] Nous allons étudier la limite de f aux infinis, en
−
1
3
{\displaystyle -{\frac {1}{3}}}
Soit
x
∈
D
f
{\displaystyle x\in {\mathcal {D}}_{f}}
x
2
−
3
x
+
2
−
3
x
2
+
5
x
+
2
=
x
2
(
1
−
3
x
+
2
x
2
)
x
2
(
−
3
+
5
x
+
2
x
2
)
=
1
−
3
x
+
2
x
2
−
3
+
5
x
+
2
x
2
{\displaystyle {\frac {x^{2}-3x+2}{-3x^{2}+5x+2}}={\frac {x^{2}\left(1-{\frac {3}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}\right)}{x^{2}\left(-3+{\frac {5}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}\right)}}={\frac {1-{\frac {3}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}}{-3+{\frac {5}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}}}}
lim
x
→
+
∞
−
3
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }-{\frac {3}{x}}=0}
lim
x
→
+
∞
2
x
2
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {2}{x^{2}}}=0}
Donc
lim
x
→
+
∞
1
−
3
x
+
2
x
2
=
1
−
0
+
0
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }1-{\frac {3}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}=1-0+0=1}
lim
x
→
+
∞
5
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {5}{x}}=0}
lim
x
→
+
∞
2
x
2
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {2}{x^{2}}}=0}
Donc
lim
x
→
+
∞
−
3
+
5
x
+
2
x
2
=
−
3
+
0
+
0
=
−
3
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }-3+{\frac {5}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}=-3+0+0=-3}
Donc
lim
x
→
+
∞
1
−
3
x
+
2
x
2
−
3
+
5
x
+
2
x
2
=
−
1
3
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {1-{\frac {3}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}}{-3+{\frac {5}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}}}=-{\frac {1}{3}}}
lim
x
→
+
∞
x
2
−
3
x
+
2
−
3
x
2
+
5
x
+
2
=
−
1
3
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}-3x+2}{-3x^{2}+5x+2}}=-{\frac {1}{3}}}
De même,
lim
x
→
−
∞
1
−
3
x
+
2
x
2
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }1-{\frac {3}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}=1}
lim
x
→
−
∞
−
3
+
5
x
+
2
x
2
=
−
3
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }-3+{\frac {5}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}=-3}
Donc
lim
x
→
−
∞
x
2
−
3
x
+
2
−
3
x
2
+
5
x
+
2
=
−
1
3
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{2}-3x+2}{-3x^{2}+5x+2}}=-{\frac {1}{3}}}
On pose les deux fonctions suivantes sur
D
f
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{f}}
N
:
x
↦
x
2
−
3
x
+
2
{\displaystyle N:x\mapsto x^{2}-3x+2}
D
:
x
↦
−
3
x
2
+
5
x
+
2
{\displaystyle D:x\mapsto -3x^{2}+5x+2}
On a ainsi pour tout
x
∈
D
f
,
f
(
x
)
=
N
(
x
)
D
(
x
)
{\displaystyle x\in {\mathcal {D}}_{f},~f(x)={\frac {N(x)}{D(x)}}}
lim
x
→
−
1
3
N
(
x
)
=
N
(
−
1
3
)
=
28
9
{\displaystyle \lim _{x\to -{\frac {1}{3}}}N(x)=N\left(-{\frac {1}{3}}\right)={\frac {28}{9}}}
lim
x
→
−
1
3
D
(
x
)
=
D
(
−
1
3
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to -{\frac {1}{3}}}D(x)=D\left(-{\frac {1}{3}}\right)=0}
On a devant nous une limite de la forme
l
≠
0
0
{\displaystyle {\frac {l\not =0}{0}}}
f pour savoir si la limite vaut +∞ ou -∞, c'est-à-dire connaître les signes de N et D aux alentours de
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
N
(
−
1
3
)
=
28
9
{\displaystyle N\left(-{\frac {1}{3}}\right)={\frac {28}{9}}}
N est positive au voisinage de
x
=
−
1
3
{\displaystyle x=-{\frac {1}{3}}}
La fonction D est une fonction polynomiale du second degré. Son tableau de signes est le suivant :
x
−
∞
−
1
3
2
+
∞
Signe~de
D
(
x
)
−
0
+
0
−
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-{\frac {1}{3}}&&2&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~D(x)&&-&0&+&0&-&\\\hline \end{array}}}
pour
x
<
−
1
3
{\displaystyle x<-{\frac {1}{3}}}
D
(
x
)
<
0
{\displaystyle D(x)<0}
N
(
−
1
3
)
=
28
9
>
0
{\displaystyle N\left(-{\frac {1}{3}}\right)={\frac {28}{9}}>0}
Ainsi
lim
x
→
−
1
3
−
f
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to -{\frac {1}{3}}^{-}}f(x)=-\infty }
pour
x
∈
]
−
1
3
;
2
[
{\displaystyle x\in \left]-{\frac {1}{3}};2\right[}
D
(
x
)
>
0
{\displaystyle D(x)>0}
N
(
−
1
3
)
=
28
9
>
0
{\displaystyle N\left(-{\frac {1}{3}}\right)={\frac {28}{9}}>0}
Ainsi,
lim
x
→
−
1
3
+
f
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to -{\frac {1}{3}}^{+}}f(x)={+\infty }}
lim
x
→
2
N
(
x
)
=
N
(
2
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 2}N(x)=N(2)=0}
lim
x
→
2
D
(
x
)
=
D
(
2
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 2}D(x)=D(2)=0}
Nous sommes a priori en présence d'une forme indéterminée de type «
0
0
{\displaystyle {\frac {0}{0}}}
Il y a cependant un moyen simple de remédier à ce problème. Comme
N
(
2
)
=
0
{\displaystyle N(2)=0}
D
(
2
)
=
0
{\displaystyle D(2)=0}
N et D sont des fonctions polynomiales, il est possible de les factoriser toutes deux par x -2.
Pour trouver la factorisation, il y a plusieurs manières de faire.
On sait qu'une racine de N est 2 et que le produit des racines vaut
c
a
=
2
{\displaystyle {\frac {c}{a}}=2}
On en déduit que pour tout
x
∈
D
f
,
N
(
x
)
=
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
{\displaystyle x\in {\mathcal {D}}_{f},N(x)=(x-1)(x-2)}
Poser α la racine de N que l’on ne connaît pas et déduire α par identification de
x
2
−
3
x
+
2
{\displaystyle x^{2}-3x+2}
(
x
−
2
)
(
x
−
α
)
=
x
2
−
(
α
+
2
)
x
+
2
α
{\displaystyle (x-2)(x-\alpha )=x^{2}-(\alpha +2)x+2\alpha }
Trouver les racines par calcul du discriminant etc , ici DÉCONSEILLÉ car induit beaucoup de calcul pour retomber sur un résultat que l’on connaît déjà à moitié. Dans ce cas c’est une perte de temps.La question 1 nous apprend directement que pour tout
x
∈
D
f
,
D
(
x
)
=
−
3
(
x
−
2
)
(
x
+
1
3
)
{\displaystyle x\in {\mathcal {D}}_{f},~D(x)=-3(x-2)\left(x+{\frac {1}{3}}\right)}
Finalement, soit
x
∈
D
f
{\displaystyle x\in {\mathcal {D}}_{f}}
f
(
x
)
=
N
(
x
)
D
(
x
)
=
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
−
3
(
x
−
2
)
(
x
+
1
3
)
=
x
−
1
−
3
x
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {N(x)}{D(x)}}\\&={\frac {(x-1)(x-2)}{-3(x-2)\left(x+{\frac {1}{3}}\right)}}\\&={\frac {x-1}{-3x-1}}\end{aligned}}}
On a fait disparaître la forme indéterminée. Il ne reste plus qu’à écrire la limite :
lim
x
→
2
f
(
x
)
=
2
−
1
−
3
×
2
−
1
{\displaystyle \lim _{x\to 2}f(x)={\frac {2-1}{-3\times 2-1}}}
Finalement :
lim
x
→
2
f
(
x
)
=
−
1
7
{\displaystyle \lim _{x\to 2}f(x)=-{\frac {1}{7}}}
![{\displaystyle x\in \left]-{\frac {1}{3}};2\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbfdce7fa93654af39ffedf00ec66dae57a26787)
voir le cours sur les équations du second degré)
