Leçons de niveau 12

Limites d'une fonction/Exemple corrigé

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Exemple corrigé
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Chapitre no 9
Leçon : Limites d'une fonction
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Limites d'une fonction/Exemple corrigé
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Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Question 1 : Domaine de définition de f[modifier | modifier le wikicode]

Soit


Le domaine de définition de f est



Question 2 : Étude des limites de f aux bords de son domaine de définition[modifier | modifier le wikicode]

Nous allons étudier la limite de f aux infinis, en et en 2.


Étude en +∞ et en -∞[modifier | modifier le wikicode]

Soit On met en facteur les termes de plus haut degré :

Donc


Donc


Donc , c'est-à-dire



De même, et

Donc


Étude en 1/3[modifier | modifier le wikicode]

On pose les deux fonctions suivantes sur :

On a ainsi pour tout

On a devant nous une limite de la forme . Il faut donc connaître le signe de f pour savoir si la limite vaut +∞ ou -∞, c'est-à-dire connaître les signes de N et D aux alentours de .

  • donc N est positive au voisinage de
  • La fonction D est une fonction polynomiale du second degré. Son tableau de signes est le suivant :


Nous pouvons à présent dire que :

  • pour
et

Ainsi


  • pour
et

Ainsi,



Étude en 2[modifier | modifier le wikicode]

Nous sommes a priori en présence d'une forme indéterminée de type «  ».

Il y a cependant un moyen simple de remédier à ce problème. Comme et et que N et D sont des fonctions polynomiales, il est possible de les factoriser toutes deux par x-2.

Pour trouver la factorisation, il y a plusieurs manières de faire.

On sait qu'une racine de N est 2 et que le produit des racines vaut .
On en déduit que pour tout
  • Poser α la racine de N que l’on ne connaît pas et déduire α par identification de et de
  • Trouver les racines par calcul du discriminant etc, ici DÉCONSEILLÉ car induit beaucoup de calcul pour retomber sur un résultat que l’on connaît déjà à moitié. Dans ce cas c’est une perte de temps.

La question 1 nous apprend directement que pour tout

Finalement, soit

On a fait disparaître la forme indéterminée. Il ne reste plus qu’à écrire la limite :


Finalement :