Introduction à la mécanique analytique/Le formalisme lagrangien

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Principe de moindre action de Hamilton

Le principe dit de moindre action, proposé par Hamilton (1805-1865), est à la base du formalisme lagrangien de la mécanique analytique. On peut l'énoncer ainsi (on considère un système à un seul degré de liberté) :

L'état de tout système mécanique est déterminé par la donnée d'une fonction $L=L(q,{\dot {q}},t)$ appelée lagrangien du système. Le mouvement du système entre les instants $t_{1}$ et $t_{2}>t_{1}$ est tel que l'action

$S\equiv \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q,{\dot {q}},t)\,\mathrm {d} t$, (1)

du système soit extrémale (ou stationnaire).

En mécanique newtonienne, le principe fondamental de la dynamique (pour un point matériel)

$m{\vec {\gamma }}=\sum _{i}{\vec {f}}_{i}$

exprime une relation entre les forces ${\vec {f}}_{i}$ agissant sur le point matériel, et la variation de la vitesse de celui-ci, donnée par son accélération ${\vec {\gamma }}$. Il s'agit d'une relation de la forme cause (force) / effet (accélération), autrement dit d'une vision causale de la mécanique.

Le principe de moindre action est à la base d'une formulation variationnelle de la mécanique classique, qu’il convient de rapprocher par exemple de celle de l'optique géométrique, dont la base est le principe de Fermat :

Le trajet de la lumière entre deux points A et B est tel que le chemin optique

${\mathcal {L(AB)}}\equiv \int _{\widehat {AB}}n\mathrm {d} s$

soit stationnaire.

Dans ce cas c’est le chemin optique qui « remplace » en quelque sorte l'action du système donnée par (1). De même que ce principe permet de retrouver les lois usuelles de l'optique géométrique (notamment les lois de Snell-Descartes), le principe de moindre action permet d'obtenir des équations du mouvement, dites de Lagrange, strictement équivalentes à celles de Newton.

Remarque sur les unités

la dimension de l'action $S$ est celle d'une énergie par une durée (soit en J.s dans le système international), il est clair que celle du lagrangien $L(q,{\dot {q}},t)$ est celle d'une énergie.

Remarque sur la validité du principe

le principe de moindre action n'est valable que pour les systèmes conservatifs, ou de façon plus générale dans le cas d'existence de liaisons, celles-ci doivent être holonomes, c'est-à-dire telles qu’elles puissent se mettre sous la forme $f(q_{1},\dots ,q_{N},t)=0$. Ainsi en cas de présence de frottements, le principe variationnel ne sera plus valable. Il est toutefois possible de généraliser les équations de Lagrange (cf. infra) en introduisant dans leur second membre un terme dit de « force généralisée », noté $Q_{i}$.

Équation du mouvement de Lagrange

Obtention

Soit un système mécanique, que l’on prend ici à un seul degré de liberté noté $q$, évoluant entre les instants $t_{1}$ et $t_{2}$ sur une trajectoire donnée correspondant à l'extremum de l'action $S$. Supposons que l’on fasse varier de façon infinitésimale la trajectoire du système, de telle sorte qu’à chaque instant $t(t_{1}\leq t\leq t_{2})$ la coordonnée généralisée $q$ ait varié de $\delta q$, et la vitesse généralisée de $\delta {\dot {q}}={\frac {\rm {d}}{\rm {dt}}}\left(\delta q\right)$, les positions extrêmes occupées par le système aux instants $t_{1}$ et $t_{2}$ étant maintenues fixées, i.e. $\delta q(t_{1})=\delta q(t_{2})=0$.
D'après le principe de moindre action, la variation correspondante $\delta S$ de l'action $S$ doit être nulle au premier ordre en $\delta q$ et $\delta {\dot {q}}$, or on a en cet ordre :

$\delta S=S(q+\delta q,{\dot {q}}+\delta {\dot {q}})-S(q,{\dot {q}})=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q+\delta q,{\dot {q}}+\delta {\dot {q}},t)\,\mathrm {d} t-\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q,{\dot {q}},t)\,\mathrm {d} t$, (2),

soit en tenant compte du fait que $L(q+\delta q,{\dot {q}}+\delta {\dot {q}},t)=L(q,{\dot {q}},t)+\left({\frac {\partial L}{\partial q}}\right)\delta q+\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta {\dot {q}}$ au même ordre en $\delta q$ et $\delta {\dot {q}}$, d'où en remplaçant dans (2) et en intégrant par parties le terme en $\delta {\dot {q}}={\frac {\rm {d}}{\rm {dt}}}\left(\delta q\right)$:

$\delta S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\left({\frac {\partial L}{\partial q}}\right)\delta q+\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta {\dot {q}}\right]\,\mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\left({\frac {\partial L}{\partial q}}\right)\delta q+\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right){\frac {\rm {d}}{\rm {dt}}}\left(\delta q\right)\right]\,\mathrm {d} t=\left.\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q\right|_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\left({\frac {\partial L}{\partial q}}\right)-{\frac {\rm {d}}{\rm {dt}}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\right]\delta q\,\mathrm {d} t$

,

or le terme "tout intégré" doit être nul puisque par hypothèse on a $\delta q(t_{1})=\delta q(t_{2})=0$, d'où au final l’expression de la variation $\delta S$ de l'action $S$ est donnée par :

$\delta S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\left({\frac {\partial L}{\partial q}}\right)-{\frac {\rm {d}}{\rm {dt}}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\right]\delta q\,\mathrm {d} t$, (3).

La condition $\delta S=0$ traduisant le principe de moindre action implique donc, puisque la trajectoire ayant fait l’objet de la variation est arbitraire, tout comme l'amplitude $\delta q$ de celle-ci, que l'intégrande de (3) soit la fonction nulle, d'où l'équation du mouvement de Lagrange:

${\frac {\rm {d}}{\rm {dt}}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)-\left({\frac {\partial L}{\partial q}}\right)=0$, (4).

Remarque: en présence de liaisons non holonomes, et notamment de forces de frottements, il faut tenir compte d'un terme de "force généralisée" notée $Q_{i}$ au second membre et l'équation de Lagrange (4) s'écrit alors : ${\frac {\rm {d}}{\rm {dt}}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)-\left({\frac {\partial L}{\partial q}}\right)=Q_{i}$. Ce point sera repris plus loin.

Équivalence avec les équations de Newton

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