Leçons de niveau 18

Introduction à la mécanique analytique/Le formalisme hamiltonien

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Le formalisme hamiltonien
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Chapitre no 3
Leçon : Introduction à la mécanique analytique
Chap. préc. :Le formalisme lagrangien
Chap. suiv. :Applications
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Introduction à la mécanique analytique/Le formalisme hamiltonien
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Remarque: ce texte reprend celui du chapitre "Hamiltonien" de la leçon "Rappels de mécanique analytique" du département de mécanique quantique. Il est précisé que cette reprise est le fait de l'auteur initial de ce chapitre, Sguerin6971.

Pour cette leçon on se placera dans le cas d'un système à un seul degré de liberté (coordonnée généralisée ), la généralisation à un nombre quelconque de degrés de liberté étant évidente.


Position du problème[modifier | modifier le wikicode]

Les équations du mouvement en formalisme lagrangien font jouer un rôle disymétrique à la coordonnée généralisée et à la vitesse généralisée . Par ailleurs ces équations sont du deuxième ordre par rapport au temps .

Il est possible de développer un autre formalisme, dû à Hamilton, qui permet d'obtenir un système de deux équations du premier ordre avec des "coordonnées" jouant un rôle symétrique (et en fait, équivalent).

Impulsion généralisée et transformation de Legendre du Lagrangien[modifier | modifier le wikicode]

Le formalisme hamiltonien est basé sur la susbstitution de la vitesse généralisée par une nouvelle variable indépendante appelée l'impulsion généralisée, notée , et définie par: , (1).

À partir du lagrangien on obtient une nouvelle fonction dite de Hamilton ou hamiltonien, notée , en effectuant une transformation de Legendre sur , définie par:

, (2).

Équations de Hamilton[modifier | modifier le wikicode]

En effectuant cette transformation l'équation du mouvement de Lagrange,

, (3),


devient aussitôt , (4).

Par ailleurs on a, en considérant et comme des variables indépendantes, et d’après la définition (1) du hamiltonien, on a: , (5).

Au final, avec la transformation (1) utilisant l'impulsion généralisée (2), l'équation du mouvement de Lagrange est équivalente aux deux équations dite de Hamilton:

, et , (6).

Commentaires[modifier | modifier le wikicode]

Les équations de Hamilton constitue donc un système d'équations du premier ordre, strictement équivalents à l'équation de Lagrange, et donc au principe de moindre action. Par ailleurs les nouvelles "coordonnées" et jouent un rôle symétrique, ce qui n'était pas le cas des coordonnées et vitesses généralisées et du formalisme de Lagrange.


On dit que et sont conjuguées l'une de l'autre, car la dérivée temporelle de l'une s'obtient par dérivation partielle par rapport à l'autre du hamiltonien


En fait il est possible d'effectuer le changement de variables conjuguées et , ce qui donne aussitôt dans (6):

, et ,

qui sont donc des équations identiques à celle de Hamilton (le changement de variables conjuguées utilisées est un exemple trivial de transformation canonique). Par conséquent il est possible d'échanger les rôles entre coordonnées et impulsion généralisées en formalisme hamiltonien, alors que ceci n’est pas possible avec la vitesse généralisée dans le cadre lagrangien.

Intégrales premières[modifier | modifier le wikicode]

Expression de la dérivée totale d'une fonction des coordonnées et impulsions généralisées[modifier | modifier le wikicode]

On considère une fonction des coordonnées et impulsions généralisées ainsi que du temps . La différentielle de cette fonction s'écrit:

,


d'où l’on tire l’expression de la dérivée totale de par rapport au temps:

,


or d’après les équations de Hamilton (6) on peut aussi écrire cette expression sous la forme:

, (7).


Crochets de Poisson[modifier | modifier le wikicode]

L'expression (7) peut être écrite sous une forme encore plus suggestive en introduisant le crochet de Poisson de deux fonctions et des coordonnées et impulsions généralisées et du temps, défini par:

, (8),


ce qui permet de réécrire l’expression (7) de la dérivée totale de par rapport au temps sous la forme:

, (8).

Cette expression est formellement très proche de celle obtenue en mécanique quantique pour l'évolution temporelle d'un opérateur dans le point de vue dit de Heisenberg, où le vecteur d'état est constant et les opérateurs représentant les observables sont variables. Dans ce cas le crochet de Poisson correspond au commutateur et des termes multiplicatifs en interviennent.

Condition pour l’existence d'une intégrale première du mouvement[modifier | modifier le wikicode]

On rappelle qu'on appelle intégrale première un grandeur physique qui se conserve au cours du mouvement: par suite sa dérivée totale doit être nulle, on déduit de (8) que est une intégrale première du mouvement si: , soit si cette grandeur ne dépend pas explicitement du temps (cas le plus fréquent) , .

En particulier si le hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, il est évident que , donc est une intégrale première du mouvement dans ce cas.