Intégration en mathématiques/Exercices/Intégrales 4

Calculer les intégrales suivantes.

Exercice 12-1

${\int }_0^2(1-|x-1|{)}^3\mathrm{d}x$

Solution

${\int }_0^2(1-|x-1|{)}^3\mathrm{d}x={\int }_{-1}^1(1-|t|{)}^3\mathrm{d}t=2{\int }_0^1(1-t{)}^3\mathrm{d}t=\frac{1}{2}$.

 

Exercice 12-2

${\int }_{-6}^4|x^2-2x-3|x\mathrm{d}x$

Solution

$\begin{array}{cc}& ({\int }_{-6}^{-1}+{\int }_3^4-{\int }_{-1}^3)(x^3-2x^2-3x)\mathrm{d}x\\ & ={[\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}]}_{-6}^{-1}+{]}_3^4-{]}_{-1}^3\\ & =\frac{1}{4}(1-6^4+4^4-2.3^4+1)-\frac{2}{3}(-1+6^3+4^3-2.3^3+1)-\frac{3}{2}(1-6^2+4^2-2.3^2+1)\\ & =-300-\frac{452}{3}+54=\frac{-1190}{3}.\end{array}$

 

Exercice 12-3

${\int }_{-1}^2(|x+1|-|3x+2|)\mathrm{d}x$

Solution

${\int }_{-1}^{-2/3}(x+1+3x+2)\mathrm{d}x+{\int }_{-2/3}^2(x+1-3x-2)\mathrm{d}x=$

${[2x^2+3x]}_{-1}^{-2/3}+{[-x^2-x]}_{-2/3}^2=-\frac{19}{3}$.

 

Exercice 12-4

${\int }_0^2(|x^2-x|+|2x-1|-x)\mathrm{d}x$

Solution

${\int }_0^{1/2}(x-x^2+1-2x-x)\mathrm{d}x+{\int }_{1/2}^1(x-x^2+2x-1-x)\mathrm{d}x+{\int }_1^2(x^2-x+2x-1-x)\mathrm{d}x=$

${\int }_0^{1/2}(-x^2+1-2x)\mathrm{d}x+{\int }_{1/2}^1(-x^2+2x-1)\mathrm{d}x+{\int }_1^2(x^2-1)\mathrm{d}x=$

${\left[\frac{-x^3}{3}\right]}_0^1+{\left[\frac{x^3}{3}\right]}_1^2+{\left[x\right]}_0^{1/2}-{\left[x\right]}_{1/2}^2-{\left[x^2\right]}_0^{1/2}+{\left[x^2\right]}_{1/2}^1=\frac{3}{2}$.

 

Exercice 12-5

${\int }_{-3}^3\frac{|x-3|+k}{|x-k|+3}\mathrm{d}x$

Solution

${\int }_{|x|<3,x>k}\frac{3-x+k}{x-k+3}\mathrm{d}x+{\int }_{|x|<3,x<k}\frac{3-x+k}{k-x+3}\mathrm{d}x=$

${\int }_{|x|<3,x>k}(-1+\frac{6}{x-k+3})\mathrm{d}x+{\int }_{|x|<3,x<k}\mathrm{d}x=$

${[-x+6\ln (x-k+3)]}_{|x|<3,x>k}+{\left[x\right]}_{|x|<3,x<k}=$

$\{\begin{array}{cccc}\text{si}& k\ge 3& :& {\left[x\right]}_{-3}^3=6\\ \text{si}& k\le -3& :& {[-x+6\ln (x-k+3)]}_{-3}^3=-6+6\ln (1-6/k)\\ \text{si}& -3\le k\le 3& :& {\left[x\right]}_{-3}^k+{[-x+6\ln (x-k+3)]}_k^3=2k+6\ln (2-k/3)\end{array}$

(dans chacun des deux cas $k=3$ ou $k=-3$, communs à deux expressions, les deux fonctions de $k$ coïncident).

 

Exercice 12-6

${\int }_0^1\frac{|t+2|-1}{|t-1|+2}\mathrm{d}t$

Solution

${\int }_0^1\frac{t+1}{3-t}\mathrm{d}t={\int }_0^1(-1+\frac{4}{3-t})\mathrm{d}t={[-t-4\ln (3-t)]}_0^1=-1+4\ln (3/2)$.

 

Exercice 12-7

${\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{5\pi }{4}}|\sin -\cos |$

Solution

${\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}(\cos -\sin x)-{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{5\pi }{4}}(\cos -\sin x)={[\sin +\cos ]}_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}-{[\sin +\cos ]}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{5\pi }{4}}=2\sqrt{2}$.

 

Exercice 12-8

${\int }_0^{2\pi }(\left|\sin \right|+\left|\cos \right|)$

Solution

$8{\int }_0^{\pi /2}\cos =8$.

 

Exercice 12-9

${\int }_0^{3}f$ avec $f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2& \text{si }x\in [0,1],\\ x& \text{si }x\in ]1,2[,\\ 0& \text{si }x=2,\\ -2x+5& \text{si }x\in ]2,3].\end{array}$

Solution

${\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^1+{\left[\frac{x^2}{2}\right]}_1^2+{[-x^2+5x]}_2^3=\frac{1}{3}+\frac{3}{2}+0=\frac{11}{6}$. (Le fait que la troisième partie de l'intégrale est nulle pouvait se prévoir graphiquement : le milieu du segment $2\le x\le 3,y=-2x+5$ a pour ordonnée $-2\frac{2+3}{2}+5=0$.)