Intégrale double/Intégration de fonctions positives
Apparence
Définition et premières propriétés
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Cette notion étend donc l'intégrale sur un pavé compact à un pavé quelconque, dans le cadre des fonctions positives (on peut procéder de même pour des fonctions négatives).
Une définition équivalente peut être apportée à l'aide d'une suite exhaustive de pavés compacts dans .
Théorème
Soit continue, et une suite exhaustive de pavés compacts dans . Alors les propositions suivantes sont équivalentes :
- est intégrable sur ;
- la suite est majorée ;
- la suite est convergente.
Auquel cas .
La propriété de linéarité (restreinte ici aux coefficients positifs) est, comme précédemment, vérifiée.
Dans le cadre de fonctions positives, on a aussi une propriété de comparaison :
- .
Théorème de Fubini-Tonelli
[modifier | modifier le wikicode]Théorème
Soit continue telle que pour tout , soit intégrable sur et soit continue par morceaux sur . Alors :
- intégrable sur intégrable sur ,
auquel cas .