Intégrale double/Intégration de fonctions numériques sur un pavé quelconque

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Définition de l'intégrale double

Définition — Fonction intégrable réelle

On dit qu'une fonction continue $f:I\times J\to \mathbb {R}$ est intégrable si $|f|$ l'est ou ce qui est équivalent, si $f_{+}$ et $f_{-}$ le sont.

On pose alors :

$\iint f=\iint f_{+}-\iint f_{-}$.

Définition — Fonction intégrable complexe

On dit qu'une fonction continue $f:I\times J\to \mathbb {C}$ est intégrable si $|f|$ l'est ou ce qui est équivalent, si $\Re (f)$ et $\Im (f)$ le sont.

On pose alors :

$\iint f=\iint {\Re (f)}+\mathrm {i} \iint {\Im (f)}$.

Début d’un théorème

Théorème

Soit une fonction continue intégrable $f:P=I\times J\to \mathbb {C}$, et $(K_{n})$ une suite exhaustive de pavés compacts dans $P$. Alors

$\lim _{n\to \infty }\iint _{K_{n}}f=\iint _{P}f$.

Fin du théorème

Propriétés de base

La linéarité de l'intégrale double est claire, au vu des résultats précédents : $\iint (\lambda f+\mu g)=\lambda \iint f+\mu \iint g$.

Début d’un théorème

Théorème

${\mathcal {L}}^{1}(I\times J,\mathbb {K} )$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal {C}}(I\times J,\mathbb {K} )$, et sur ${\mathcal {L}}^{1}(I\times J,\mathbb {K} )$ l’application $N_{1}$ définit une norme.

Fin du théorème

Début d'un lemme

Lemme

Soit $f$ et $g$ deux applications telles que $|f|^{2}$ et $|g|^{2}$ soient intégrables. Alors $f\cdot g$ est intégrable.

Fin du lemme

'Démonstration'

La continuité de $f\cdot g$ étant claire, il suffit de remarquer que :

$|fg|\leq {\frac {1}{2}}(|f|^{2}+|g|^{2})$

pour conclure.

 

Début d’un théorème

Théorème

${\mathcal {L}}^{2}(I\times J,\mathbb {K} )$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal {C}}(I\times J,\mathbb {K} )$, et l’application $(\cdot |\cdot )$ est un produit scalaire qui fait de ${\mathcal {L}}^{2}(I\times J,\mathbb {K} )$ un espace hermitien.

Fin du théorème

Proposition

Si $f$ est intégrable sur $I\times J$, alors $f$ est aussi intégrable sur ${\stackrel {\ \circ }{I}}\times {\stackrel {\ \circ }{J}}$ et :

$\iint _{I\times J}f=\iint _{{\stackrel {\ \circ }{I}}\times {\stackrel {\ \circ }{J}}}f$.

Théorème de Fubini

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