Intégrale double/Intégration de fonctions numériques sur un pavé quelconque
Apparence
Définition de l'intégrale double
[modifier | modifier le wikicode]Définition — Fonction intégrable réelle
On dit qu'une fonction continue est intégrable si l'est ou ce qui est équivalent, si et le sont.
On pose alors :
- .
Définition — Fonction intégrable complexe
On dit qu'une fonction continue est intégrable si l'est ou ce qui est équivalent, si et le sont.
On pose alors :
- .
Théorème
Soit une fonction continue intégrable , et une suite exhaustive de pavés compacts dans . Alors
- .
Propriétés de base
[modifier | modifier le wikicode]La linéarité de l'intégrale double est claire, au vu des résultats précédents : .
Démonstration
La continuité de étant claire, il suffit de remarquer que :
pour conclure.
Théorème
est un sous-espace vectoriel de , et l’application est un produit scalaire qui fait de un espace hermitien.
Théorème de Fubini
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