Leçons de niveau 11

Initiation aux probabilités/Probabilité sur un univers

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Probabilité sur un univers
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Chapitre no 2
Leçon : Initiation aux probabilités
Chap. préc. :Expérience aléatoire
Chap. suiv. :Calculs de probabilités
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Initiation aux probabilités/Probabilité sur un univers
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Le chapitre précédent a permis de poser le contexte dans lequel nous allons pouvoir définir, dans ce nouveau chapitre, un nouveau concept mathématique que l'on appelle probabilité.

Notion de probabilité[modifier | modifier le wikicode]

Il est courant d'apprécier ses chances de réussite dans une expérience aléatoire en donnant une estimation sous forme de nombre. Si on tire une carte au hasard, on dira par exemple : « J'ai une chance sur deux de tirer une carte noire ».

Cela signifie qu'à l'événement : « tirer une carte noire », on associe le nombre .

Définir une probabilité consiste donc à associer un nombre à chaque événement.

Si est un événement et si est le nombre associé, on notera cette association : . On remarque que cette notation est similaire à celle utilisée pour les fonctions.

Pour que cette association ait un sens et nous permette de construire une théorie susceptible de nous rendre service, les mathématiciens ont montré que cette association doit obéir aux trois règles fondamentales suivantes :

  • Première règle : À tout événement est associé un nombre positif.
  • Deuxième règle : À l'événement certain, on associe le nombre 1. (on écrira )
  • Troisième règle : Si et sont des événements incompatibles, on a : .

Conséquences immédiates[modifier | modifier le wikicode]

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Première conséquence

La somme des probabilités de tous les événements élémentaires est égale à 1.

En effet, peut s'écrire comme réunion de tous les événements élémentaires qui le composent :

Comme les événements élémentaires sont des événements incompatibles, on peut appliquer la troisième règle :

et comme d'après la règle deux, on a , on a :


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Deuxième conséquence

.

En effet, les événements et sont incompatibles et tels que :

et donc d'après la troisième règle :

d'où l'on déduit :

.


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Troisième conséquence

Soit un événement quelconque de , on a :

.


En effet, la première inégalité découle directement de la première règle.

Dans la deuxième conséquence immédiate ci-dessus, nous avons vu que :

mais comme d'après la première règle, on en déduit :

qui s'écrit aussi :


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Quatrième conséquence

La probabilité de l'événement impossible est 0.

En effet si dans la formule :

.

on remplace par , on obtient :

.

et comme est événement impossible , on obtient :


Exemples de définition de probabilité[modifier | modifier le wikicode]

La définition des probabilités dans des cas concrets sort du cadre des mathématiques. Les mathématiques n'imposent rien d'autre que les trois règles fondamentales précédemment citées. On pourrait donc associer n'importe quel nombre positif aux événements élémentaires pourvu que la somme de ces nombres soit égale à un. Toutefois, on sent bien que le choix de ces nombres doit se baser sur une certaine logique si l'on veut que les calculs ultérieurs soient utiles.

Deux critères principaux vont nous guider dans le choix de ces nombres.

Premier critère:Équiprobabilité[modifier | modifier le wikicode]

Notre intuition nous amène à penser que chaque événement élémentaire a la même probabilité de se produire. On dit qu'il sont équiprobables.

On associera donc à chaque événement élémentaire le nombre , étant le cardinal de

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Exemple : lancé de dé

On lance un dé. Si le dé n'est pas truqué, la probabilité de sortie de chaque face est la même.

On associera donc à chaque événement élémentaire la probabilité

Dans le cas où les événements élémentaires seraient équiprobables, on peut calculer la probabilité d'un événement en faisant le rapport entre le nombre d'événements élémentaires appartenant à cet événement (qu'on appelle cas favorables) par le cardinal de que l'on appelle cas possibles. On obtient alors la formule :



Deuxième critère:Statistique[modifier | modifier le wikicode]

On choisit comme probabilité la fréquence de sortie d'un événement obtenue à partir d'une étude statistique.

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Exemple : Production de pièces défectueuses

Une usine fabrique des pièces. On a constaté que sur 1000 pièces fabriquées, il y a en moyenne 3 pièces défectueuses. Dans ce cas, pour toute fabrication de pièce, on peut définir un univers contenant deux événements élémentaires :

  • « La pièce fabriquée est défectueuse ».
  • « La pièce fabriquée est bonne ».

Comme on a remarqué qu'il y avait en moyenne 3 pièces défectueuses sur 1000 fabriquées. On associera donc la probabilité à l'événement « La pièce fabriquée est défectueuse ».

Pour que la somme des probabilités des événements élémentaires soit 1, il ne nous reste plus qu'à associer la probabilité à l'événement « La pièce fabriquée est bonne ».


C'est à cause du deuxièmes critère que les probabilités et les statistiques sont deux domaines très liés.


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Remarque : Différence entre fréquence et probabilité

Il est important de bien faire la différence entre une probabilité et une fréquence. Si nous reprenons l'exemple du lancé de dé, nous avons déterminé logiquement que la probabilité d'apparition d'une face particulière est de . Cela ne signifie pas que la fréquence d'apparition de cette face sera de lorsqu'on lancera le dé un certain nombre de fois. Il se peut même que la fréquence ne puisse pas être de si le nombre de lancés n'est pas divisible par 6. Ce qu'on remarque, c'est que plus le nombre de lancés est grand, plus on obtiendra une fréquence proche de la probabilité d'apparition de la face. Par exemple, si on lance le dé 100 fois, on obtiendra peut-être 18 fois la face 1, ce qui nous fait une fréquence de 0,18 alors que la probabilité est de .