Initiation aux probabilités/Probabilité sur un univers

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Le chapitre précédent a permis de définir le contexte dans lequel nous allons pouvoir étudier, dans ce nouveau chapitre, un nouveau concept mathématique que l'on appelle probabilité.

Notion de probabilité

Il est courant d'apprécier ses chances de réussite dans une expérience aléatoire en donnant une estimation sous forme de nombre. Si on tire une carte au hasard, on dira par exemple : « J'ai une chance sur deux de tirer une carte noire ».

Cela signifie qu'à l'événement : « tirer une carte noire », on associe le nombre ${\frac {1}{2}}$.

Définir une probabilité consiste à associer un nombre à chaque événement.

Si $A$ est un événement et si $q$ est le nombre associé, on note cette association : $p(A)=q$. On remarque que cette notation est similaire à celle utilisée pour les fonctions.

Pour que cette association ait un sens et nous permette de construire une théorie susceptible de nous rendre service, les mathématiciens ont montré que cette association doit obéir aux trois règles fondamentales suivantes :

• Première règle : À tout événement est associé un nombre positif.
• Deuxième règle : À l'événement certain, on associe le nombre 1. (on écrira $p(\Omega )=1$)
• Troisième règle : Si $A$ et $B$ sont des événements incompatibles, on a : $p(A\cup B)=p(A)+p(B)$.

Conséquences immédiates des trois règles fondamentales

Première conséquence La somme des probabilités de tous les événements élémentaires est égale à 1.

En effet, $\Omega$ peut s'écrire comme la réunion de tous les événements élémentaires qui le composent :

$\Omega =a_{1}\cup a_{2}\cup a_{3}\cup \cdots \cup a_{n}$

Comme les événements élémentaires sont des événements incompatibles, on peut appliquer la troisième règle :

$p(\Omega )=p(a_{1})+p(a_{2})+p(a_{3})+\cdots +p(a_{n})$

et comme d'après la règle deux, on a $p(\Omega )=1$, alors :

$p(a_{1})+p(a_{2})+p(a_{3})+\cdots p(a_{n})=1$

Deuxième conséquence $p\left({\bar {A}}\right)=1-p\left(A\right)$.

En effet, les événements $A$ et ${\bar {A}}$ sont incompatibles et tels que :

$A\cup {\bar {A}}=\Omega$

et donc d'après la troisième règle :

$p(A)+p({\bar {A}})=p(A\cup {\bar {A}})=p(\Omega )=1$

d'où l'on déduit :

$p\left({\bar {A}}\right)=1-p\left(A\right)$.

Troisième conséquence Soit $A$ un événement quelconque de $\Omega$, on a : $0\leqslant p\left(A\right)\leqslant 1$.

En effet, la première inégalité $0\leqslant p\left(A\right)$ découle directement de la première règle.

Dans la deuxième conséquence immédiate ci-dessus, nous avons vu que :

$p\left({\bar {A}}\right)=1-p\left(A\right)$

mais comme $0\leqslant p\left({\bar {A}}\right)$ d'après la première règle, on en déduit :

$0\leqslant 1-p\left(A\right)$

qui s'écrit aussi :

$p\left(A\right)\leqslant 1$

Quatrième conséquence La probabilité de l'événement impossible est 0.

En effet, si dans la formule :

$p\left({\bar {A}}\right)=1-p\left(A\right)$.

on remplace $A$ par $\Omega$, on obtient :

$p\left({\bar {\Omega }}\right)=1-p\left(\Omega \right)$.

et comme ${\bar {\Omega }}$ est événement impossible $\varnothing$, on obtient :

$p\left(\varnothing \right)=1-p\left(\Omega \right)=1-1=0$

Exemples de définition de probabilité

La définition des probabilités, dans des cas concrets, sort du cadre des mathématiques. Les mathématiques n'imposent rien d'autre que les trois règles fondamentales précédemment citées. On pourrait donc associer n'importe quel nombre positif aux événements élémentaires pourvu que la somme de ces nombres soit égale à un. Toutefois, on sent bien que le choix de ces nombres doit se baser sur une certaine logique si l'on veut que les calculs ultérieurs soient utiles.

Deux critères principaux vont nous guider dans le choix de ces nombres.

Premier critère:Équiprobabilité

Notre intuition nous amène à penser que chaque événement élémentaire a la même probabilité de se produire. On dit qu'il sont équiprobables.

On associera donc à chaque événement élémentaire le nombre ${\frac {1}{n}}$, $n$ étant le cardinal de $\Omega$.

Exemple : lancé de dé On lance un dé. Si le dé n'est pas truqué, la probabilité de sortie de chaque face est la même. On associera donc à chaque événement élémentaire la probabilité ${\frac {1}{6}}$

Dans le cas où les événements élémentaires seraient équiprobables, on peut calculer la probabilité d'un événement $A$ en faisant le rapport du nombre d'événements élémentaires appartenant à cet événement (qu'on appelle cas favorables) par le cardinal de $\Omega$ que l'on appelle cas possibles.

On obtient alors la formule :

$p(A)={\frac {cas\,favorables}{cas\,possibles}}$

Deuxième critère:Statistique

On choisit comme probabilité la fréquence de sortie d'un événement obtenue à partir d'une étude statistique.

Exemple : Production de pièces défectueuses Une usine fabrique des pièces. On a constaté que sur 1000 pièces fabriquées, il y a en moyenne 3 pièces défectueuses. Dans ce cas, pour toute fabrication de pièce, on peut définir un univers $\Omega$ contenant deux événements élémentaires : « La pièce fabriquée est défectueuse ». « La pièce fabriquée est bonne ». On a remarqué qu'il y avait en moyenne 3 pièces défectueuses sur 1000 pièces fabriquées. On associera donc la probabilité ${\frac {3}{1000}}$ à l'événement « La pièce fabriquée est défectueuse ». Pour que la somme des probabilités des événements élémentaires soit 1, il ne nous reste plus qu'à associer la probabilité ${\frac {997}{1000}}$ à l'événement « La pièce fabriquée est bonne ».

Les probabilités et les statistiques sont donc deux domaines très liés.

Remarque : Différence entre fréquence et probabilité Il est important de bien faire la différence entre une probabilité et une fréquence. Si nous reprenons l'exemple du lancé de dé, nous avons déterminé logiquement que la probabilité d'apparition d'une face particulière est de ${\frac {1}{6}}$. Cela ne signifie pas que la fréquence d'apparition de cette face sera de ${\frac {1}{6}}$ lorsqu'on lancera le dé un certain nombre de fois. Il se peut même que la fréquence ne puisse pas être de ${\frac {1}{6}}$ si le nombre de lancés n'est pas divisible par 6. Ce qu'on remarque, c'est que plus le nombre de lancés est grand, plus on obtiendra une fréquence proche de la probabilité d'apparition de la face. Par exemple, si on lance le dé 100 fois, on obtiendra peut-être 18 fois la face 1, ce qui nous fait une fréquence de 0,18 alors que la probabilité est de ${\frac {1}{6}}\simeq 0,166666\cdots$.