Initiation aux probabilités/Expérience aléatoire

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Ce premier chapitre présente la notion d’expérience aléatoire et définit ce que l’on appelle l’événement élémentaire, élément de base d’un nouveau type d’ensemble que l’on appellera univers.

Expérience aléatoire et événement élémentaire

Toute situation où l’on souhaiterait deviner l’avenir, mais où on ne connaît pas à l’avance le résultat (ou l’issue), toute opération dont l’issue est à priori imprévisible est une expérience aléatoire.

Chaque résultat indivisible possible de cette expérience aléatoire est appelé un événement élémentaire. Un résultat indivisible signifie qu'il n’y a qu'une seule façon de l’obtenir dans l’expérience aléatoire. L’ensemble des événements élémentaires d’une expérience aléatoire est appelé univers, on le note souvent $\Omega$.

On appelle cardinal le nombre d’événements élémentaires dans l’univers.

On appelle issue le résultat observable ou final de l’expérience élémentaire.

Début de l'exemple

Exemple

Supposons par exemple que l’on tire au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes.

Si les cartes sont retournées, le résultat (ou l’issue) de l’expérience est imprévisible : c'est une expérience aléatoire.

« Tirer un roi de pique » constitue ce qu’on appelle un événement élémentaire. « Tirer une dame de trèfle » est un autre événement élémentaire.

« Tirer un pique » n’est pas un événement élémentaire : on peut obtenir ce résultat de différentes façons.

L’univers de cette expérience aléatoire est constitué des 52 cartes du jeu : on peut tirer n’importe laquelle d’entre elles ! Le cardinal de l’univers est donc 52.

Si l’expérience aléatoire est : « Regarder la carte obtenue », alors il y a 52 issues et chaque événement élémentaire correspond à une issue.

Mais si l’expérience aléatoire est « Regarder la couleur de la carte obtenue », alors on a 2 issues : Rouge ou Noir. Chaque issue correspond à 26 événements élémentaires !

Fin de l'exemple

L’événement élémentaire est l’élément fondamental en probabilité, de même que le point est l’élément fondamental en géométrie, ou que le nombre est l’élément fondamental en algèbre.

Cette notion est très importante et doit être parfaitement assimilée.

Exemple

Prenons un deuxième exemple pour illustrer et bien comprendre le paragraphe précédent.

On lance deux dés simultanément. Décrire l’univers $\Omega$ constituant cette expérience aléatoire. Quel est son cardinal ?

Solution

L’univers $\Omega$ est constitué des événements élémentaires suivants :

		Résultat du deuxième dé
		Tirer le 1	Tirer le 2	Tirer le 3	Tirer le 4	Tirer le 5	Tirer le 6
Résultat du premier dé	Tirer le 1	Tirer le 1 et le 1.	Tirer le 1 et le 2.	Tirer le 1 et le 3.	Tirer le 1 et le 4.	Tirer le 1 et le 5.	Tirer le 1 et le 6.
	Tirer le 2	Tirer le 2 et le 1.	Tirer le 2 et le 2.	Tirer le 2 et le 3.	Tirer le 2 et le 4.	Tirer le 2 et le 5.	Tirer le 2 et le 6.
	Tirer le 3	Tirer le 3 et le 1.	Tirer le 3 et le 2.	Tirer le 3 et le 3.	Tirer le 3 et le 4.	Tirer le 3 et le 5.	Tirer le 3 et le 6.
	Tirer le 4	Tirer le 4 et le 1.	Tirer le 4 et le 2.	Tirer le 4 et le 3.	Tirer le 4 et le 4.	Tirer le 4 et le 5.	Tirer le 4 et le 6.
	Tirer le 5	Tirer le 5 et le 1.	Tirer le 5 et le 2.	Tirer le 5 et le 3.	Tirer le 5 et le 4.	Tirer le 5 et le 5.	Tirer le 5 et le 6.
	Tirer le 6	Tirer le 6 et le 1.	Tirer le 6 et le 2.	Tirer le 6 et le 3.	Tirer le 6 et le 4.	Tirer le 6 et le 5.	Tirer le 6 et le 6.

Il y a 36 événements élémentaires possibles : le cardinal de l’univers $\Omega$ est donc 36.

 

Remarque importante

Attention à ne pas confondre !

Dans l’exemple précédent, à la question « combien y a-t-il d’événements élémentaires ? », certains vont répondre 6 car il y a 6 faces dans un dé. D’autres vont répondre 12 car il y a deux dés et chaque dé a 6 faces. Ces réponses sont fausses.

Il faut bien retenir que le cardinal d’un univers est le nombre d’événements élémentaires susceptibles de se produire dans cet univers et ne doit pas être confondu avec la morphologie des objets utilisés pour réaliser cette expérience aléatoire (même si les deux sont souvent liés).

Si, pour prendre un autre exemple, on tire 5 cartes dans un jeu de 52 cartes. Le cardinal de l’univers ne sera pas 52 mais le nombre de possibilités que l’on a de tirer les 5 cartes, c’est-à-dire 2 598 960, ce nombre se calcule en Combinatoire (dénombrement).

La confusion précédente provient du fait qu’au lieu d’écrire :

• « Tirer le 3 et le 2 en lançant deux dés »

on écrira simplement :

• $(3;\,2)$

Il faut bien prendre conscience que la notation $(3;\,2)$ ne signifie pas : L’ensemble des deux faces 3 et 2 d’un dé (car sinon on aurait écrit $\{2;3\}$) mais signifie l’événement élémentaire : « Tirer le 3 et le 2 en lançant deux dés ».

Il faut bien penser à la notion d’action dans un événement élémentaire.

L’univers est constitué d’événements élémentaires qui mènent à l’une des issues de l’expérience aléatoire. Le nombre d’événements élémentaires peut être égal au nombre d’issues possibles dans l’expérience aléatoire. Dans ce cas, par abus de concept, on pourra dire que l’univers est l’ensemble des issues de l’expérience aléatoire (bien qu’une issue en elle-même ne soit pas une action mais le résultat observable d’une expérience aléatoire).

Début de l'exemple

Exemple où événement élémentaire = issue

Dans l’expérience aléatoire « Lancer un dé », il y a 6 événements élémentaires :

Tirer le 1 ; … ; Tirer le 6

Il y a deux même 6 issues :

Obtenir un 1 ; … ; Obtenir un 6.

Il est alors assez naturel de confondre les deux.

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple où événement élémentaire ≠ issue

Dans l’expérience aléatoire « Lancer deux dés et faire la somme », on vient de voir qu'il y a 36 événements élémentaires :

Tirer le 1 et le 1 ; … ; Tirer le 6 et le 6.

Mais on a ce coup-ci seulement 11 issues !

Obtenir un 2 (1+1) ; Obtenir un 3 (2+1 ou 1+2) ; Obtenir un 4 (1+3 ou 2+2 ou 3+1) ; … ; Obtenir un 12 (6 + 6).

Certaines issues correspondent à plusieurs événements élémentaires. Confondre les deux amènerait sans aucun doute à des erreurs !

Fin de l'exemple

Événements

On appellera événement, un sous-ensemble de l’univers considéré.

Par exemple, supposons qu’on lance un dé. L’univers $\Omega$ sera constitué des événements élémentaires suivants :

• « Le dé s’immobilise sur la face 1 »
• « Le dé s’immobilise sur la face 2 »
• « Le dé s’immobilise sur la face 3 »
• « Le dé s’immobilise sur la face 4 »
• « Le dé s’immobilise sur la face 5 »
• « Le dé s’immobilise sur la face 6 »

On peut même écrire que $\Omega =\{1;2;3;4;5;6\}$

Dans cette expérience aléatoire, après avoir défini $\Omega$, nous pouvons alors imaginer des événements plus élaborés comme, par exemple, l’événement :

« Le dé s’immobilise sur une face portant un numéro pair »

Cet événement ne fait pas partie des 6 événements élémentaires constituant l’univers précédent, mais on peut dire qu’il est réalisé si un des trois événements élémentaires suivants est réalisé :

• « Le dé s’immobilise sur la face 2 »
• « Le dé s’immobilise sur la face 4 »
• « Le dé s’immobilise sur la face 6 »

On dira donc que l’événement :

« Le dé s'immobilise sur une face portant un numéro pair »

est le sous-ensemble de l’univers $\Omega$ constitué des trois événements élémentaires :

• « Le dé s’immobilise sur la face 2 »
• « Le dé s’immobilise sur la face 4 »
• « Le dé s’immobilise sur la face 6 »

Ou tout simplement $\{2;4;6\}$

Dans la théorie des ensembles, le sous-ensemble d’un univers qui ne contient rien est l’ensemble vide, noté $\varnothing$. On considérera aussi comme sous-ensemble, le sous-ensemble qui contient tous les éléments de $\Omega$, c’est-à-dire $\Omega$ lui-même.

En théorie des probabilités, l’ensemble vide $\varnothing$ sera appelé événement impossible et l’univers $\Omega$ en tant qu’événement sera appelé événement certain.

Par exemple, l’événement :

« Le dé s’immobilise sur une face ayant un numéro supérieur ou égal à 1 »

est un événement certain.

et l’événement :

« Le dé s'immobilise sur la face 7 »

est un événement impossible.

Événements contraires

Soit $A$ un sous-ensemble de $\Omega$. $A$ est donc un événement. Par définition, l’ensemble des événements élémentaires qui ne sont pas dans $A$ est noté ${\bar {A}}$ et est appelé événement contraire de $A$.

Deux événements sont contraires si, à eux deux, ils contiennent tous les événements élémentaires de l’univers $\Omega$ sans avoir d’éléments en commun.

Par exemple les deux événements :

• « Le dé s'immobilise sur une face portant un numéro pair »
• « Le dé s'immobilise sur une face portant un numéro impair »

sont deux événements contraires de l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé.

Corolaire : le contraire de $\Omega$, c'est $\varnothing$.

Événements incompatibles

Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles si aucun événement élémentaire n’appartient à la fois à l’un et à l’autre.

En théorie des ensembles, on note cela :

$A\cap B=\varnothing$

$\varnothing$ étant l’ensemble vide, c’est-à-dire l’événement impossible.

Il est à remarquer que si deux événements sont incompatibles, il peut y avoir des événements élémentaires de $\Omega$ qui ne sont ni dans l’un, ni dans l’autre. Par conséquent on peut dire que deux événements contraires sont incompatibles, mais deux événements incompatibles ne sont pas obligatoirement contraires.

Par exemple, les événements suivants :

• Le dé s’immobilise sur une face ayant un numéro inférieur à 2
• Le dé s’immobilise sur une face ayant un numéro supérieur à 4

sont clairement incompatibles, mais ne couvrent pas le cas :

Le dé s’immobilise sur la face 3

Réunion et intersection de deux événements

Soient $A$ et $B$ deux événements.

En théorie des ensembles, $A\cup B$ désigne un ensemble contenant la réunion de tous les éléments de $A$ et de tous les éléments de $B$. Un élément appartient à $A\cup B$ s’il appartient à $A$ ou s’il appartient à $B$. Traduit dans la théorie des probabilités, cela signifie que $A\cup B$ est réalisé si $A$ est réalisé ou si $B$ est réalisé. Par conséquent, en probabilité, $A\cup B$ se lira « $A$ ou $B$ ».

De même, en théorie des ensembles $A\cap B$ désigne un ensemble contenant les éléments qui sont à la fois dans $A$ et dans $B$. Un élément appartient à $A\cap B$ s’il appartient à $A$ et s’il appartient à $B$. Traduit dans la théorie des probabilités, cela signifie que $A\cap B$ est réalisé si $A$ est réalisé et si $B$ est réalisé. Par conséquent, en probabilité, $A\cap B$ se lira « $A$ et $B$ ».

Un élément de $A\cup B$ peut aussi se trouver dans $A\cap B$ : on dit que c'est un OU inclusif. On définit son contraire, le OU exclusif qui s’écrit $A\,\Delta \,B$ : il comprends les éléments qui sont dans $A$ ou dans $B$ mais pas dans les deux. Cette opération, aussi appelée différence symétrique, est plus rare.

Voir Ensemble_(mathématiques)/Opérations pour plus des explications plus visuelles sur les opérations sur les ensembles.