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Exercice : Primitives et fonctions puissances
Initiation au calcul intégral/Exercices/Primitives et fonctions puissances », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On cherche une primitive sur
de la fonction
- a. Rappeler la formule donnant la dérivée d'une fonction de la forme
![{\displaystyle u^{n}~:~\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a94ba763248e92df2bb7beea5718cc382450f42)
- b. À titre d'exemple, dériver la fonction
![{\displaystyle G(x)=(x+5)^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccdf1e16e9f217fe2f431f392a2c7851161c6151)
- c. Écrire f(x) en faisant apparaître la dérivée de G.
- d. En déduire une primitive F de f sur
:
- e. Vérification :
![{\displaystyle F'(x)=\cdots =f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2d93621647e6514d980b4931d1e63692d6aff5)
Solution
a.
b. Ici :
|
c.
d. Une primitive F de f sur
est alors
e.
Donc est bien une primitive de f.
|
De même avec
en faisant apparaître la dérivée de
![{\displaystyle G'(x)=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/744815a17ef20b713c30ac930d696ed6c65b1546)
![{\displaystyle f(x)=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15268633acc870f0f9f3fc51d690f7923eadba54)
![{\displaystyle F(x)=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf03698e05ac324054b6d04229d3e2040220290a)
- Vérification :
![{\displaystyle F'(x)=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef8969500cef2dae127606f856d7b51296903033)
De même avec
en faisant apparaître la dérivée de
![{\displaystyle G'(x)=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/744815a17ef20b713c30ac930d696ed6c65b1546)
![{\displaystyle f(x)=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15268633acc870f0f9f3fc51d690f7923eadba54)
![{\displaystyle F(x)=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf03698e05ac324054b6d04229d3e2040220290a)
- Vérification : ...
On cherche une primitive sur
de la fonction
- a. Rappeler la formule donnant la dérivée d'une fonction de la forme
![{\displaystyle {\frac {1}{u^{n}}}:\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec3198776ae3020bafc4e60700f9b44f76ea2a3)
- b. À titre d'exemple, dériver la fonction
![{\displaystyle G(x)={\frac {1}{x+5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022b46d5a43d44205d8c9a2d4ec61a85f5b76be4)
- c. Écrire f(x) en faisant apparaître la dérivée de G.
- d. En déduire une primitive F de f sur
:
- e. Vérification :
![{\displaystyle F'(x)=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef8969500cef2dae127606f856d7b51296903033)
Solution
a. Cette question est un peu piégeuse :
- si n = 0, il s'agit d'une constante, dont la dérivée est nulle ;
- sinon, on utilise la dérivée d'un quotient :
- adapté au cas qui nous concerne, la dérivée recherchée est :
Remarque : on aurait pu la retrouver à partir de la formule donnant la dérivée de uⁿ.
b. On a simplement :
c. D'après les questions précédentes :
Il est immédiat qu'une primitive de ƒ est -3G. En effet :
e.
De même sur
avec
en faisant apparaître la dérivée de
![{\displaystyle G'(x)=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/744815a17ef20b713c30ac930d696ed6c65b1546)
![{\displaystyle f(x)=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15268633acc870f0f9f3fc51d690f7923eadba54)
![{\displaystyle F(x)=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf03698e05ac324054b6d04229d3e2040220290a)
Solution
- Dans cette configuration, la dérivation « augmente de 1 l'exposant du dénominateur ». On pose donc pour tout
.
- On dérive alors G :
- pour tout
![{\displaystyle x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~u(x)=3x-2~{\textrm {et}}~G(x)={\frac {1}{u(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e7c90890ebd870fd52f7b41fd2dc8938f32b83)
- pour tout
![{\displaystyle x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~u'(x)=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e634598fe0ae939ee1dee4653ced2afc6b18b9)
- n=2
- pour tout
![{\displaystyle x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~G'(x)=-{\frac {n.u'(x)}{u(x)^{n+1}}}=-{\frac {6}{(3x-2)^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea98c3be22b453ad1581364e323cc3de4a097a99)
- On relie G' à f par pour tout
![{\displaystyle x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~-{\frac {5}{6}}G'(x)=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b281dcd8d44c88f39efb3f0019e1f25745eab4b4)
Une primitive F de f est alors définie par pour tout
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- Vérification :
![{\displaystyle F'(x)=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef8969500cef2dae127606f856d7b51296903033)
De même sur
avec
en faisant apparaître la dérivée de G(x)=...
[ Pourquoi 1 est-il exclu ? f(1) = 1, G(1) = 1 / ((5x1x1x1 - 4) puis. 3) = 1 et G'(1) = -45 x f(1) = -45. La valeur à exclure est la racine cubique de 4/5 qui est inférieure à 1.]
![{\displaystyle G'(x)=\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4468e14c3696be35dd08b491c368647502fbf0a)
![{\displaystyle f(x)=\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e946513d9012842a74663b07f89839d9b5a8b5f0)
![{\displaystyle F(x)=\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9bd004782a5ad3f0c3f51065f3a68b5716cec21)
- Vérification : ...
[Dans la solution ci-dessous, on trouve G(x) = 1 / ((5x puis.3 - 4) puis. 3) et u(x) = 5x puis.3 - 4. Plus loin, on trouve G(x) = 1 / u(x) ce qui est une incohérence. Il faudrait écrire G(x) = 1 / (u(x) puis. 3).]
Solution
- Là encore, la dérivation « augmente de 1 l'exposant du dénominateur ». On pose donc pour tout
.
- On dérive G :
- pour tout
![{\displaystyle x\in ]1;+\infty [,~u(x)=5x^{3}-4~{\textrm {et}}~G(x)={\frac {1}{u(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc91522f0d978a3d00dee74a0dc0075aeedfa6f5)
- pour tout
![{\displaystyle x\in ]1;+\infty [,~u'(x)=5\times 3x^{2}=15x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dd6faf6cf850b5a0cbd6d19a88da54e342ca2be)
- n=3
- pour tout
![{\displaystyle x\in ]1;+\infty [,~G'(x)=-{\frac {n.u'(x)}{u(x)^{n+1}}}=-{\frac {45x^{2}}{(5x^{3}-4)^{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f17b449227a6943a2c6182f91ce9993124b3dd4)
- On relie G' à f par pour tout
![{\displaystyle x\in ]1;+\infty [,~-{\frac {1}{45}}G'(x)=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec3aa637fa36baae996eb3b372d6341848768135)
Une primitive F de f est alors définie par pour tout
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