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Exercice : Primitives et fonctions puissancesInitiation au calcul intégral/Exercices/Primitives et fonctions puissances », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On cherche une primitive sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
f
(
x
)
=
(
x
+
5
)
2
{\displaystyle f(x)=(x+5)^{2}}
a. Rappeler la formule donnant la dérivée d'une fonction de la forme
u
n
:
⋯
{\displaystyle u^{n}~:~\cdots }
b. À titre d'exemple, dériver la fonction
G
(
x
)
=
(
x
+
5
)
3
{\displaystyle G(x)=(x+5)^{3}}
G
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle G'(x)=\cdots }
c. Écrire f(x) en faisant apparaître la dérivée de G.d. En déduire une primitive F de f sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
F
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle F(x)=\cdots }
e. Vérification :
F
′
(
x
)
=
⋯
=
f
(
x
)
{\displaystyle F'(x)=\cdots =f(x)}
Solution
a.
(
u
n
)
′
=
n
u
′
u
n
−
1
{\displaystyle (u^{n})'=n~u'~u^{n-1}}
b. Ici :
G
′
(
x
)
=
3
(
x
+
5
)
2
{\displaystyle G'(x)=3(x+5)^{2}}
c.
f
(
x
)
=
G
′
(
x
)
3
{\displaystyle f(x)={\frac {G'(x)}{3}}}
d. Une primitive F de f sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
F
(
x
)
=
G
(
x
)
3
=
(
x
+
5
)
3
3
{\displaystyle F(x)={\frac {G(x)}{3}}={\frac {(x+5)^{3}}{3}}}
e.
F
′
(
x
)
=
1
3
G
′
(
x
)
=
1
3
3
(
x
+
5
)
2
=
(
x
+
5
)
2
=
f
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}F'(x)&={\frac {1}{3}}~G'(x)\\&={\frac {1}{3}}~3(x+5)^{2}\\&=(x+5)^{2}\\&=f(x)\end{aligned}}}
Donc
F
:
x
↦
(
x
+
5
)
3
3
{\displaystyle F:x\mapsto {\frac {(x+5)^{3}}{3}}}
De même avec
f
(
x
)
=
(
3
x
−
2
)
3
{\displaystyle f(x)=(3x-2)^{3}}
G
(
x
)
=
(
3
x
−
2
)
⋯
{\displaystyle G(x)=(3x-2)^{\cdots }}
G
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle G'(x)=\cdots }
f
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle f(x)=\cdots }
F
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle F(x)=\cdots }
Vérification :
F
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle F'(x)=\cdots }
De même avec
f
(
x
)
=
x
(
x
2
−
4
)
2
{\displaystyle f(x)=x(x^{2}-4)^{2}}
G
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle G(x)=\cdots }
G
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle G'(x)=\cdots }
f
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle f(x)=\cdots }
F
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle F(x)=\cdots }
Vérification : ... Fonctions de la forme
u
′
u
n
{\displaystyle {\frac {u'}{u^{n}}}}
[ modifier | modifier le wikicode ] On cherche une primitive sur
]
−
5
;
+
∞
[
{\displaystyle ]-5;+\infty [}
f
(
x
)
=
3
(
x
+
5
)
2
{\displaystyle f(x)={\frac {3}{(x+5)^{2}}}}
a. Rappeler la formule donnant la dérivée d'une fonction de la forme
1
u
n
:
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{u^{n}}}:\cdots }
b. À titre d'exemple, dériver la fonction
G
(
x
)
=
1
x
+
5
{\displaystyle G(x)={\frac {1}{x+5}}}
G
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle G'(x)=\cdots }
c. Écrire f(x) en faisant apparaître la dérivée de G.
f
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle f(x)=\cdots }
d. En déduire une primitive F de f sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
F
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle F(x)=\cdots }
e. Vérification :
F
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle F'(x)=\cdots }
Solution
a. Cette question est un peu piégeuse :
si n = 0, il s'agit d'une constante, dont la dérivée est nulle ;
sinon, on utilise la dérivée d'un quotient :
(
u
v
)
′
=
u
′
v
−
v
′
u
v
2
{\displaystyle \left({\frac {u}{v}}\right)'={\frac {u'v-v'u}{v^{2}}}}
adapté au cas qui nous concerne, la dérivée recherchée est :
−
n
u
n
−
1
u
′
u
2
n
=
−
n
u
′
u
n
−
1
−
2
n
=
−
n
u
′
u
−
(
n
+
1
)
{\displaystyle -{\frac {nu^{n-1}u'}{u^{2n}}}=-nu'u^{n-1-2n}=-nu'u^{-\left(n+1\right)}}
Remarque : on aurait pu la retrouver à partir de la formule donnant la dérivée de uⁿ .
b. On a simplement :
G
′
(
x
)
=
−
1
(
x
+
5
)
2
{\displaystyle G'\left(x\right)={\frac {-1}{\left(x+5\right)^{2}}}}
c. D'après les questions précédentes :
f
(
x
)
=
3
(
x
+
5
)
2
=
−
d
{\displaystyle f(x)={\frac {3}{(x+5)^{2}}}=-d}
Il est immédiat qu'une primitive de ƒ est -3G . En effet :
(
−
3
G
)
′
(
x
)
=
−
3
G
′
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle \left(-3G\right)'(x)=-3G'(x)=f(x)}
e.
De même sur
]
3
2
;
+
∞
[
{\displaystyle \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[}
f
(
x
)
=
5
(
3
x
−
2
)
3
{\displaystyle f(x)={\frac {5}{(3x-2)^{3}}}}
G
(
x
)
=
1
(
3
x
−
2
)
⋯
{\displaystyle G(x)={\frac {1}{(3x-2)^{\cdots }}}}
G
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle G'(x)=\cdots }
f
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle f(x)=\cdots }
F
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle F(x)=\cdots }
Solution
Dans cette configuration, la dérivation « augmente de 1 l'exposant du dénominateur ». On pose donc pour tout
x
∈
]
3
2
;
+
∞
[
,
G
(
x
)
=
1
(
3
x
−
2
)
2
{\displaystyle x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~G(x)={\frac {1}{(3x-2)^{2}}}}
On dérive alors G :
pour tout
x
∈
]
3
2
;
+
∞
[
,
u
(
x
)
=
3
x
−
2
et
G
(
x
)
=
1
u
(
x
)
{\displaystyle x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~u(x)=3x-2~{\textrm {et}}~G(x)={\frac {1}{u(x)}}}
pour tout
x
∈
]
3
2
;
+
∞
[
,
u
′
(
x
)
=
3
{\displaystyle x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~u'(x)=3}
n=2
pour tout
x
∈
]
3
2
;
+
∞
[
,
G
′
(
x
)
=
−
n
.
u
′
(
x
)
u
(
x
)
n
+
1
=
−
6
(
3
x
−
2
)
3
{\displaystyle x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~G'(x)=-{\frac {n.u'(x)}{u(x)^{n+1}}}=-{\frac {6}{(3x-2)^{3}}}}
On relie G' à f par pour tout
x
∈
]
3
2
;
+
∞
[
,
−
5
6
G
′
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~-{\frac {5}{6}}G'(x)=f(x)}
Une primitive F de f est alors définie par pour tout
x
∈
]
3
2
;
+
∞
[
,
F
(
x
)
=
−
5
6
G
(
x
)
=
−
5
6
(
3
x
−
2
)
2
{\displaystyle x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~F(x)=-{\frac {5}{6}}G(x)=-{\frac {5}{6(3x-2)^{2}}}}
Vérification :
F
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle F'(x)=\cdots }
De même sur
]
1
;
+
∞
[
{\displaystyle ]1;+\infty [}
f
(
x
)
=
x
2
(
5
x
3
−
4
)
4
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}}{(5x^{3}-4)^{4}}}}
G
′
(
x
)
=
…
{\displaystyle G'(x)=\ldots }
f
(
x
)
=
…
{\displaystyle f(x)=\ldots }
F
(
x
)
=
…
{\displaystyle F(x)=\ldots }
Vérification : ...
Solution
Là encore, la dérivation « augmente de 1 l'exposant du dénominateur ». On pose donc pour tout
x
∈
]
1
;
+
∞
[
,
G
(
x
)
=
1
(
5
x
3
−
4
)
3
{\displaystyle x\in ]1;+\infty [,~G(x)={\frac {1}{(5x^{3}-4)^{3}}}}
On dérive G :
pour tout
x
∈
]
1
;
+
∞
[
,
u
(
x
)
=
5
x
3
−
4
et
G
(
x
)
=
1
u
(
x
)
{\displaystyle x\in ]1;+\infty [,~u(x)=5x^{3}-4~{\textrm {et}}~G(x)={\frac {1}{u(x)}}}
pour tout
x
∈
]
1
;
+
∞
[
,
u
′
(
x
)
=
5
×
3
x
2
=
15
x
2
{\displaystyle x\in ]1;+\infty [,~u'(x)=5\times 3x^{2}=15x^{2}}
n=3
pour tout
x
∈
]
1
;
+
∞
[
,
G
′
(
x
)
=
−
n
.
u
′
(
x
)
u
(
x
)
n
+
1
=
−
45
x
2
(
5
x
3
−
4
)
4
{\displaystyle x\in ]1;+\infty [,~G'(x)=-{\frac {n.u'(x)}{u(x)^{n+1}}}=-{\frac {45x^{2}}{(5x^{3}-4)^{4}}}}
On relie G' à f par pour tout
x
∈
]
1
;
+
∞
[
,
−
1
45
G
′
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle x\in ]1;+\infty [,~-{\frac {1}{45}}G'(x)=f(x)}
Une primitive F de f est alors définie par pour tout
x
∈
]
1
;
+
∞
[
,
F
(
x
)
=
−
1
45
G
(
x
)
=
−
1
45
(
5
x
3
−
4
)
3
{\displaystyle x\in ]1;+\infty [,~F(x)=-{\frac {1}{45}}G(x)=-{\frac {1}{45(5x^{3}-4)^{3}}}}
![{\displaystyle ]-5;+\infty [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b72250f3d4b659d28a9ed047bdc4df5956d0b201)
![{\displaystyle \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6360d890824e1f8a260fc6c698339269306a37bc)
![{\displaystyle x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~G(x)={\frac {1}{(3x-2)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9992efc5ec274cd800770ea9a82cc0a45de7d839)
![{\displaystyle x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~u(x)=3x-2~{\textrm {et}}~G(x)={\frac {1}{u(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e7c90890ebd870fd52f7b41fd2dc8938f32b83)
![{\displaystyle x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~u'(x)=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e634598fe0ae939ee1dee4653ced2afc6b18b9)
![{\displaystyle x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~G'(x)=-{\frac {n.u'(x)}{u(x)^{n+1}}}=-{\frac {6}{(3x-2)^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea98c3be22b453ad1581364e323cc3de4a097a99)
![{\displaystyle x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~-{\frac {5}{6}}G'(x)=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b281dcd8d44c88f39efb3f0019e1f25745eab4b4)
![{\displaystyle x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~F(x)=-{\frac {5}{6}}G(x)=-{\frac {5}{6(3x-2)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c90abca9ca877af3ae04c39acba8522ae45d5af3)
![{\displaystyle ]1;+\infty [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b8a6584803caaee5782c6ffecfa18d78f02178)
![{\displaystyle x\in ]1;+\infty [,~G(x)={\frac {1}{(5x^{3}-4)^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96a870336a3f0d7a6130f7bfe9a7cf8c4b56820b)
![{\displaystyle x\in ]1;+\infty [,~u(x)=5x^{3}-4~{\textrm {et}}~G(x)={\frac {1}{u(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc91522f0d978a3d00dee74a0dc0075aeedfa6f5)
![{\displaystyle x\in ]1;+\infty [,~u'(x)=5\times 3x^{2}=15x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dd6faf6cf850b5a0cbd6d19a88da54e342ca2be)
![{\displaystyle x\in ]1;+\infty [,~G'(x)=-{\frac {n.u'(x)}{u(x)^{n+1}}}=-{\frac {45x^{2}}{(5x^{3}-4)^{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f17b449227a6943a2c6182f91ce9993124b3dd4)
![{\displaystyle x\in ]1;+\infty [,~-{\frac {1}{45}}G'(x)=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec3aa637fa36baae996eb3b372d6341848768135)
![{\displaystyle x\in ]1;+\infty [,~F(x)=-{\frac {1}{45}}G(x)=-{\frac {1}{45(5x^{3}-4)^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1234baf77603b1dcc154a1f206c8348207ae1298)
