Initiation au calcul intégral/Exercices/Primitives et fonctions puissances

Fonctions de la forme u’ × uⁿ

Exercice 1

On cherche une primitive sur $ℝ$ de la fonction $f(x)=(x+5{)}^2$

a. Rappeler la formule donnant la dérivée d'une fonction de la forme $u^n:\cdots$

b. À titre d'exemple, dériver la fonction $G(x)=(x+5{)}^3$

$G^{\prime }(x)=\cdots$

c. Écrire f(x) en faisant apparaître la dérivée de G.

d. En déduire une primitive F de f sur $ℝ$ :

$F(x)=\cdots$

e. Vérification : $F^{\prime }(x)=\cdots =f(x)$

Solution

a. $(u^n{)}^{\prime }=n{u}^{\prime }{u}^{n-1}$

b. Ici :

• u(x)=x+5
• u'(x)=1
• n=3

$G^{\prime }(x)=3(x+5{)}^2$

c. $f(x)=\frac{G^{\prime }(x)}{3}$

d. Une primitive F de f sur $ℝ$ est alors $F(x)=\frac{G(x)}{3}=\frac{(x+5{)}^3}{3}$

e. $\begin{array}{cc}{F}^{\prime }(x)& =\frac{1}{3}{G}^{\prime }(x)\\ & =\frac{1}{3}3(x+5{)}^2\\ & =(x+5{)}^2\\ & =f(x)\end{array}$

Donc $F:x\mapsto \frac{(x+5{)}^3}{3}$ est bien une primitive de f.

 

Exercice 2

De même avec $f(x)=(3x-2{)}^3$ en faisant apparaître la dérivée de $G(x)=(3x-2{)}^{\cdots }$

• $G^{\prime }(x)=\cdots$
• $f(x)=\cdots$
• $F(x)=\cdots$
• Vérification : $F^{\prime }(x)=\cdots$

Solution

• Comme lorsqu'on dérive, l'exposant est diminué de 1, il faut poser la fonction $G(x)=(3x-2{)}^4$
• On pose $u:x\mapsto 3x-2$. Sa dérivée est $u^{\prime }:x\mapsto 3$
• On a alors $G(x)=u(x{)}^4$
• On calcule la dérivée de G avec la formule $(u^n{)}^{\prime }=n{u}^{\prime }{u}^{n-1}$ (avec n=4) : $G^{\prime }(x)=4\times 3\times (3x-2{)}^3=12(3x-2{)}^3$
• On exprime f en fonction de G' : $f(x)=\frac{G^{\prime }(x)}{12}$
• On pose F une fonction dont on attend qu'elle soit une primitive de f : $F(x)=\frac{G(x)}{12}$
• On vérifie que F est une primitive de f, c'est-à-dire on vérifie que F'=f :

$\begin{array}{cc}{F}^{\prime }(x)& =\frac{1}{12}{G}^{\prime }(x)\\ & =\frac{1}{12}12(3x-2{)}^3\\ & =(3x-2{)}^3\\ & =f(x)\end{array}$

Donc $F:x\mapsto \frac{(3x-2{)}^4}{12}$ est une primitive de f

 

Exercice 3

De même avec $f(x)=x(x^2-4{)}^2$ en faisant apparaître la dérivée de $G(x)=\cdots$

• $G^{\prime }(x)=\cdots$
• $f(x)=\cdots$
• $F(x)=\cdots$
• Vérification : ...

Solution

• On cherche à utilier la formule $(u^n{)}^{\prime }=n{u}^{\prime }{u}^{n-1}$. On essaye alors de poser :
  • n=3 (car l'exposant va diminuer de 1 en dérivant et on veut un 2)
  • $u(x)=x^2-4$
  • $G(x)=u(x{)}^n=(x^2-4{)}^3$
• On dérive u : $u^{\prime }(x)=2x$
• La dérivée de G est alors $G^{\prime }(x)=3(2x)(x^2-4{)}^2=6x(x^2-4{)}^2$
• On relie f à G' en remarquant que $G^{\prime }(x)=6f(x)$
• On pose F une fonction dont on attend qu'elle soit une primitive de f : $F(x)=\frac{G(x)}{6}$
• On vérifie que F est une primitive de f, c'est-à-dire on vérifie que F'=f :

$\begin{array}{cc}{F}^{\prime }(x)& =\frac{1}{6}{G}^{\prime }(x)\\ & =\frac{1}{6}6x(x^2-4{)}^2\\ & =x(x^2-4{)}^2\\ & =f(x)\end{array}$

Donc $F:x\mapsto \frac{(x^2-4{)}^3}{6}$ est une primitive de f

 

Fonctions de la forme $\frac{u^{\prime }}{u^n}$

Exercice 1

On cherche une primitive sur $]-5;+\mathrm{\infty }[$ de la fonction $f(x)=\frac{3}{(x+5{)}^2}$

a. Rappeler la formule donnant la dérivée d'une fonction de la forme $\frac{1}{u^n}:\cdots$

b. À titre d'exemple, dériver la fonction $G(x)=\frac{1}{x+5}$

$G^{\prime }(x)=\cdots$

c. Écrire f(x) en faisant apparaître la dérivée de G.

$f(x)=\cdots$

d. En déduire une primitive F de f sur $ℝ$ :

$F(x)=\cdots$

e. Vérification : $F^{\prime }(x)=\cdots$

Solution

a. Cette question est un peu piégeuse :

• si n = 0, il s'agit d'une constante, dont la dérivée est nulle ;
• sinon, on utilise la dérivée d'un quotient :

$\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u^{\prime }v-v^{\prime }u}{v^2}$

adapté au cas qui nous concerne, la dérivée recherchée est :

$-\frac{n{u}^{n-1}{u}^{\prime }}{u^{2n}}=-n{u}^{\prime }{u}^{n-1-2n}=-n{u}^{\prime }{u}^{-(n+1)}$

Remarque : on aurait pu la retrouver à partir de la formule donnant la dérivée de uⁿ.

b. On a simplement : $G^{\prime }\left(x\right)=\frac{-1}{{(x+5)}^2}$

c. D'après les questions précédentes :

$f(x)=\frac{3}{(x+5{)}^2}=-d$

Il est immédiat qu'une primitive de ƒ est -3G. En effet :

$(-3G)(x)=-3G^{\prime }(x)=f(x)$

e.

 

Exercice 2

De même sur $]\frac{3}{2};+\mathrm{\infty }[$ avec $f(x)=\frac{5}{(3x-2{)}^3}$ en faisant apparaître la dérivée de $G(x)=\frac{1}{(3x-2{)}^{\cdots }}$

• $G^{\prime }(x)=\cdots$
• $f(x)=\cdots$
• $F(x)=\cdots$

Solution

• Dans cette configuration, la dérivation « augmente de 1 l'exposant du dénominateur ». On pose donc pour tout $x\in ]\frac{3}{2};+\mathrm{\infty }[,G(x)=\frac{1}{(3x-2{)}^2}$.
• On dérive alors G :
  • pour tout $x\in ]\frac{3}{2};+\mathrm{\infty }[,u(x)=3x-2\text{et}G(x)=\frac{1}{u(x)}$
  • pour tout $x\in ]\frac{3}{2};+\mathrm{\infty }[,u^{\prime }(x)=3$
  • n=2
  • pour tout $x\in ]\frac{3}{2};+\mathrm{\infty }[,G^{\prime }(x)=-\frac{n.u^{\prime }(x)}{u(x{)}^{n+1}}=-\frac{6}{(3x-2{)}^3}$
• On relie G' à f par pour tout $x\in ]\frac{3}{2};+\mathrm{\infty }[,-\frac{5}{6}{G}^{\prime }(x)=f(x)$

Une primitive F de f est alors définie par pour tout $x\in ]\frac{3}{2};+\mathrm{\infty }[,F(x)=-\frac{5}{6}G(x)=-\frac{5}{6(3x-2{)}^2}$

 

• Vérification : $F^{\prime }(x)=\cdots$

Exercice 3

De même sur $]1;+\mathrm{\infty }[$ avec $f(x)=\frac{x^2}{(5x^3-4{)}^4}$ en faisant apparaître la dérivée de G(x)=...

[ Pourquoi 1 est-il exclu ? f(1) = 1, G(1) = 1 / ((5x1x1x1 - 4) puis. 3) = 1 et G'(1) = -45 x f(1) = -45. La valeur à exclure est la racine cubique de 4/5 qui est inférieure à 1.]

• $G^{\prime }(x)=\dots$
• $f(x)=\dots$
• $F(x)=\dots$
• Vérification : ...

[Dans la solution ci-dessous, on trouve G(x) = 1 / ((5x puis.3 - 4) puis. 3) et u(x) = 5x puis.3 - 4. Plus loin, on trouve G(x) = 1 / u(x) ce qui est une incohérence. Il faudrait écrire G(x) = 1 / (u(x) puis. 3).]

Solution

• Là encore, la dérivation « augmente de 1 l'exposant du dénominateur ». On pose donc pour tout $x\in ]1;+\mathrm{\infty }[,G(x)=\frac{1}{(5x^3-4{)}^3}$.
• On dérive G :
  • pour tout $x\in ]1;+\mathrm{\infty }[,u(x)=5x^3-4\text{et}G(x)=\frac{1}{u(x)}$
  • pour tout $x\in ]1;+\mathrm{\infty }[,u^{\prime }(x)=5\times 3x^2=15x^2$
  • n=3
  • pour tout $x\in ]1;+\mathrm{\infty }[,G^{\prime }(x)=-\frac{n.u^{\prime }(x)}{u(x{)}^{n+1}}=-\frac{45x^2}{(5x^3-4{)}^4}$
• On relie G' à f par pour tout $x\in ]1;+\mathrm{\infty }[,-\frac{1}{45}{G}^{\prime }(x)=f(x)$

Une primitive F de f est alors définie par pour tout $x\in ]1;+\mathrm{\infty }[,F(x)=-\frac{1}{45}G(x)=-\frac{1}{45(5x^3-4{)}^3}$