Initiation au calcul intégral/Exercices/Primitives et fonctions puissances

Fonctions de la forme u’ × uⁿ

Exercice 1

On cherche une primitive sur $\mathbb {R}$ de la fonction $f(x)=(x+5)^{2}$

a. Rappeler la formule donnant la dérivée d'une fonction de la forme $u^{n}~:~\cdots$

b. À titre d'exemple, dériver la fonction $G(x)=(x+5)^{3}$

$G'(x)=\cdots$

c. Écrire f(x) en faisant apparaître la dérivée de G.

d. En déduire une primitive F de f sur $\mathbb {R}$ :

$F(x)=\cdots$

e. Vérification : $F'(x)=\cdots =f(x)$

Solution

a. $(u^{n})'=n~u'~u^{n-1}$

b. Ici :

• u(x)=x+5
• u'(x)=1
• n=3

$G'(x)=3(x+5)^{2}$

c. $f(x)={\frac {G'(x)}{3}}$

d. Une primitive F de f sur $\mathbb {R}$ est alors $F(x)={\frac {G(x)}{3}}={\frac {(x+5)^{3}}{3}}$

e. ${\begin{aligned}F'(x)&={\frac {1}{3}}~G'(x)\\&={\frac {1}{3}}~3(x+5)^{2}\\&=(x+5)^{2}\\&=f(x)\end{aligned}}$

Donc $F:x\mapsto {\frac {(x+5)^{3}}{3}}$ est bien une primitive de f.

 

Exercice 2

De même avec $f(x)=(3x-2)^{3}$ en faisant apparaître la dérivée de $G(x)=(3x-2)^{\cdots }$

• $G'(x)=\cdots$
• $f(x)=\cdots$
• $F(x)=\cdots$
• Vérification : $F'(x)=\cdots$

Solution

• Comme lorsqu'on dérive, l'exposant est diminué de 1, il faut poser la fonction $G(x)=~(3x-2)^{4}$
• On pose $u:x\mapsto 3x-2$. Sa dérivée est $u':x\mapsto 3$
• On a alors $G(x)=u(x)^{4}$
• On calcule la dérivée de G avec la formule $(u^{n})'=n~u'u^{n-1}$ (avec n=4) : $G'(x)=4\times 3\times (3x-2)^{3}=12~(3x-2)^{3}$
• On exprime f en fonction de G' : $f(x)={\frac {G'(x)}{12}}$
• On pose F une fonction dont on attend qu'elle soit une primitive de f : $F(x)={\frac {G(x)}{12}}$
• On vérifie que F est une primitive de f, c'est-à-dire on vérifie que F'=f :

${\begin{aligned}F'(x)&={\frac {1}{12}}G'(x)\\&={\frac {1}{12}}~12~(3x-2)^{3}\\&=(3x-2)^{3}\\&=f(x)\end{aligned}}$

Donc $F:x\mapsto {\frac {(3x-2)^{4}}{12}}$ est une primitive de f

 

Exercice 3

De même avec $f(x)=x(x^{2}-4)^{2}$ en faisant apparaître la dérivée de $G(x)=\cdots$

• $G'(x)=\cdots$
• $f(x)=\cdots$
• $F(x)=\cdots$
• Vérification : ...

Solution

• On cherche à utilier la formule $(u^{n})'=n~u'u^{n-1}$. On essaye alors de poser :
  • n=3 (car l'exposant va diminuer de 1 en dérivant et on veut un 2)
  • $u(x)=x^{2}-4$
  • $G(x)=u(x)^{n}=(x^{2}-4)^{3}$
• On dérive u : $u'(x)=2x$
• La dérivée de G est alors $G'(x)=3~(2x)~(x^{2}-4)^{2}=6~x(x^{2}-4)^{2}$
• On relie f à G' en remarquant que $G'(x)=6~f(x)$
• On pose F une fonction dont on attend qu'elle soit une primitive de f : $F(x)={\frac {G(x)}{6}}$
• On vérifie que F est une primitive de f, c'est-à-dire on vérifie que F'=f :

${\begin{aligned}F'(x)&={\frac {1}{6}}G'(x)\\&={\frac {1}{6}}~6~x(x^{2}-4)^{2}\\&=x(x^{2}-4)^{2}\\&=f(x)\end{aligned}}$

Donc $F:x\mapsto {\frac {(x^{2}-4)^{3}}{6}}$ est une primitive de f

 

Fonctions de la forme ${\frac {u'}{u^{n}}}$

Exercice 1

On cherche une primitive sur $]-5;+\infty [$ de la fonction $f(x)={\frac {3}{(x+5)^{2}}}$

a. Rappeler la formule donnant la dérivée d'une fonction de la forme ${\frac {1}{u^{n}}}:\cdots$

b. À titre d'exemple, dériver la fonction $G(x)={\frac {1}{x+5}}$

$G'(x)=\cdots$

c. Écrire f(x) en faisant apparaître la dérivée de G.

$f(x)=\cdots$

d. En déduire une primitive F de f sur $\mathbb {R}$ :

$F(x)=\cdots$

e. Vérification : $F'(x)=\cdots$

Solution

a. Cette question est un peu piégeuse :

• si n = 0, il s'agit d'une constante, dont la dérivée est nulle ;
• sinon, on utilise la dérivée d'un quotient :

$\left({\frac {u}{v}}\right)'={\frac {u'v-v'u}{v^{2}}}$

adapté au cas qui nous concerne, la dérivée recherchée est :

$-{\frac {nu^{n-1}u'}{u^{2n}}}=-nu'u^{n-1-2n}=-nu'u^{-\left(n+1\right)}$

Remarque : on aurait pu la retrouver à partir de la formule donnant la dérivée de uⁿ.

b. On a simplement : $G'\left(x\right)={\frac {-1}{\left(x+5\right)^{2}}}$

c. D'après les questions précédentes :

$f(x)={\frac {3}{(x+5)^{2}}}=-d$

Il est immédiat qu'une primitive de ƒ est -3G. En effet :

$\left(-3G\right)'(x)=-3G'(x)=f(x)$

e.

 

Exercice 2

De même sur $\left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[$ avec $f(x)={\frac {5}{(3x-2)^{3}}}$ en faisant apparaître la dérivée de $G(x)={\frac {1}{(3x-2)^{\cdots }}}$

• $G'(x)=\cdots$
• $f(x)=\cdots$
• $F(x)=\cdots$

Solution

• Dans cette configuration, la dérivation « augmente de 1 l'exposant du dénominateur ». On pose donc pour tout $x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~G(x)={\frac {1}{(3x-2)^{2}}}$.
• On dérive alors G :
  • pour tout $x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~u(x)=3x-2~{\textrm {et}}~G(x)={\frac {1}{u(x)}}$
  • pour tout $x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~u'(x)=3$
  • n=2
  • pour tout $x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~G'(x)=-{\frac {n.u'(x)}{u(x)^{n+1}}}=-{\frac {6}{(3x-2)^{3}}}$
• On relie G' à f par pour tout $x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~-{\frac {5}{6}}G'(x)=f(x)$

Une primitive F de f est alors définie par pour tout $x\in \left]{\frac {3}{2}};+\infty \right[,~F(x)=-{\frac {5}{6}}G(x)=-{\frac {5}{6(3x-2)^{2}}}$

 

• Vérification : $F'(x)=\cdots$

Exercice 3

De même sur $]1;+\infty [$ avec $f(x)={\frac {x^{2}}{(5x^{3}-4)^{4}}}$ en faisant apparaître la dérivée de G(x)=...

[ Pourquoi 1 est-il exclu ? f(1) = 1, G(1) = 1 / ((5x1x1x1 - 4) puis. 3) = 1 et G'(1) = -45 x f(1) = -45. La valeur à exclure est la racine cubique de 4/5 qui est inférieure à 1.]

• $G'(x)=\ldots$
• $f(x)=\ldots$
• $F(x)=\ldots$
• Vérification : ...

[Dans la solution ci-dessous, on trouve G(x) = 1 / ((5x puis.3 - 4) puis. 3) et u(x) = 5x puis.3 - 4. Plus loin, on trouve G(x) = 1 / u(x) ce qui est une incohérence. Il faudrait écrire G(x) = 1 / (u(x) puis. 3).]

Solution

• Là encore, la dérivation « augmente de 1 l'exposant du dénominateur ». On pose donc pour tout $x\in ]1;+\infty [,~G(x)={\frac {1}{(5x^{3}-4)^{3}}}$.
• On dérive G :
  • pour tout $x\in ]1;+\infty [,~u(x)=5x^{3}-4~{\textrm {et}}~G(x)={\frac {1}{u(x)}}$
  • pour tout $x\in ]1;+\infty [,~u'(x)=5\times 3x^{2}=15x^{2}$
  • n=3
  • pour tout $x\in ]1;+\infty [,~G'(x)=-{\frac {n.u'(x)}{u(x)^{n+1}}}=-{\frac {45x^{2}}{(5x^{3}-4)^{4}}}$
• On relie G' à f par pour tout $x\in ]1;+\infty [,~-{\frac {1}{45}}G'(x)=f(x)$

Une primitive F de f est alors définie par pour tout $x\in ]1;+\infty [,~F(x)=-{\frac {1}{45}}G(x)=-{\frac {1}{45(5x^{3}-4)^{3}}}$