Initiation à l'arithmétique/Nombres premiers
Diviseurs d'un nombre entier[modifier | modifier le wikicode]
Définition
Soient et deux entiers. On dit que est un diviseur de — ou que est un multiple de — s'il existe un entier tel que .
Exemple[modifier | modifier le wikicode]
- donc 6 et 2 sont des diviseurs de 12.
- mais 1,5 n’est pas entier donc 8 n’est pas un diviseur de 12.
- Tout nombre pair positif s'écrit sous la forme 2n avec n entier naturel.
Nombres premiers[modifier | modifier le wikicode]
Définition
Un nombre premier est un entier naturel n qui a exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et n.
Exemple[modifier | modifier le wikicode]
- 2, 3, 5 et 7 sont premiers.
- 12 n’est pas premier.
- 1 n’est pas premier.
- 0 n’est pas premier.
Crible d'Ératosthène[modifier | modifier le wikicode]
On forme une table avec tous les nombres entiers naturels compris entre 2 et 120 (par exemple) et on raye les nombres qui ne sont pas premiers, de la manière suivante : dès que l’on trouve un entier qui n'a pas encore été rayé, il est déclaré premier, et l'on raye tous les autres multiples de celui-ci.
Il suffit de poursuivre jusqu'à 11 ... pourquoi ?
Décomposition en produit de facteurs premiers[modifier | modifier le wikicode]
Propriété
Tout entier supérieur ou égal à 2 :
- est un nombre premier
ou
- se décompose de manière unique en un produit de nombres premiers.
Exemple[modifier | modifier le wikicode]
- .
Méthode de décomposition[modifier | modifier le wikicode]
Décomposons 1 848 en produit de facteurs premiers.
| nombre | diviseurs |
|---|---|
| 1848 | 2 |
| 924 | 2 |
| 462 | 2 |
| 231 | 3 |
| 77 | 7 |
| 11 | 11 |
| 1 |
donc
- .
