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Exercice : Nombres premiersInitiation à l'arithmétique/Exercices/Nombres premiers », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
a) Décomposer 118 et 177 en produits de facteurs premiers puis,
après réduction au même dénominateur, calculer :
15
118
+
11
177
{\displaystyle {\frac {15}{118}}+{\frac {11}{177}}}
.
b) De même avec :
2
75
−
3
50
{\displaystyle {\frac {2}{75}}-{\frac {3}{50}}}
.
c) De même avec :
1
56
−
3
49
+
5
42
{\displaystyle {\frac {1}{56}}-{\frac {3}{49}}+{\frac {5}{42}}}
.
Solution
a) 118 = 2 × 59 et 177 = 3 × 59. Le plus petit dénominateur commun est 2 × 3 × 59 = 3 × 118 = 2 × 177.
15
118
+
11
177
=
15
×
3
118
×
3
+
11
×
2
177
×
2
=
45
+
22
354
=
67
354
≈
0
,
19
{\displaystyle {\frac {15}{118}}+{\frac {11}{177}}={\frac {15\times 3}{118\times 3}}+{\frac {11\times 2}{177\times 2}}={\frac {45+22}{354}}={\frac {67}{354}}\approx 0{,}19}
.
b) 75 = 3 × 25 et 50 = 2 × 25.
2
75
−
3
50
=
2
×
2
2
×
75
−
3
×
3
3
×
50
=
4
−
9
150
=
−
5
150
=
−
1
30
≈
−
0
,
33
{\displaystyle {\frac {2}{75}}-{\frac {3}{50}}={\frac {2\times 2}{2\times 75}}-{\frac {3\times 3}{3\times 50}}={\frac {4-9}{150}}=-{\frac {5}{150}}=-{\frac {1}{30}}\approx -0{,}33}
.
c) 56 = 7 × 8, 49 = 7 × 7 et 42 = 7 × 6.
1
56
−
3
49
+
5
42
=
21
56
×
21
−
3
×
24
49
×
24
+
5
×
28
42
×
28
=
21
−
72
+
140
1176
=
89
1176
≈
0,076
{\displaystyle {\frac {1}{56}}-{\frac {3}{49}}+{\frac {5}{42}}={\frac {21}{56\times 21}}-{\frac {3\times 24}{49\times 24}}+{\frac {5\times 28}{42\times 28}}={\frac {21-72+140}{1176}}={\frac {89}{1176}}\approx 0{,}076}
.
a) Décomposer 210 en produits de facteurs premiers.
b) Calculer en réduisant au même dénominateur puis en simplifiant :
17
42
+
13
210
−
31
105
{\displaystyle {\frac {17}{42}}+{\frac {13}{210}}-{\frac {31}{105}}}
.
Solution
a) 210 = 2 × 3 × 5 × 7.
b)
17
42
+
13
210
−
31
105
=
17
×
5
42
×
5
+
13
210
−
31
×
2
105
×
2
=
85
+
13
−
62
210
=
36
210
=
6
35
≈
0
,
17
{\displaystyle {\frac {17}{42}}+{\frac {13}{210}}-{\frac {31}{105}}={\frac {17\times 5}{42\times 5}}+{\frac {13}{210}}-{\frac {31\times 2}{105\times 2}}={\frac {85+13-62}{210}}={\frac {36}{210}}={\frac {6}{35}}\approx 0{,}17}
.
a) Décomposer 45 et 210 en produits de facteurs premiers.
b) Calculer en choisissant le plus petit dénominateur commun possible puis simplifier :
17
30
−
13
210
+
31
45
{\displaystyle {\frac {17}{30}}-{\frac {13}{210}}+{\frac {31}{45}}}
.
Solution
a) 45 = 32 × 5 et 210 = 2 × 3 × 5 × 7.
b)
17
30
−
13
210
+
31
45
=
17
×
21
30
×
21
−
13
×
3
210
×
3
+
31
×
14
45
×
14
=
357
−
39
+
434
630
=
752
630
=
376
315
≈
1
,
19
{\displaystyle {\frac {17}{30}}-{\frac {13}{210}}+{\frac {31}{45}}={\frac {17\times 21}{30\times 21}}-{\frac {13\times 3}{210\times 3}}+{\frac {31\times 14}{45\times 14}}={\frac {357-39+434}{630}}={\frac {752}{630}}={\frac {376}{315}}\approx 1{,}19}
.
a) Calculer à la calculatrice
27
20000
{\displaystyle {\frac {27}{20000}}}
et
5
×
10
6
3703703703
{\displaystyle {\frac {5\times 10^{6}}{3703703703}}}
. Qu'observe-t-on ?
Solution
On trouve 0.00135 pour les deux.
b) Démontrer que ces deux nombres sont distincts.
Solution
27
×
3703703703
{\displaystyle 27\times 3703703703}
est impair donc différent de
20000
×
5
×
10
6
{\displaystyle 20000\times 5\times 10^{6}}
(en fait, le second est égal à
10
11
{\displaystyle 10^{11}}
et le premier un peu moins : 99 999 999 981).
a) Décomposer 36 et 52 en produit de facteurs premiers.
Solution
36 = 22 × 32 et 52 = 22 × 13.
b) Donner toutes les tailles entières possibles, en dm de côté, de dalles carrées identiques permettant de carreler une pièce rectangulaire de 3,60 m sur 5,20 m .
Indiquer dans chaque cas le nombre de dalles.
Solution
Les diviseurs communs à 36 et 52 sont les diviseurs de 22 . On pourra donc carreler en dalles de côté :
4 dm (32 × 13 = 117 dalles) ;
2 dm (4 × 117 = 468 dalles) ;
1 dm (4 × 468 = 1 872 dalles).