Identités remarquables/Définition

**Définition**
Leçon : Identités remarquables

Chapitre n^o 1
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Chap. suiv. :	Factorisation
Exercices :	Développement

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Identités remarquables[modifier | modifier le wikicode]

À quoi sert une identité remarquable ?[modifier | modifier le wikicode]

Les identités remarquables sont des raccourcis pour développer ou factoriser des expressions algébriques ou calculs littéraux. En troisième, on en voit seulement trois différentes, mais il en existe d’autres….

La première identité remarquable[modifier | modifier le wikicode]

Soient a et b deux nombres quelconques, calculons $(a+b)^{2}$ .

$(a+b)^{2}=(a+b)\times (a+b)=a\times a+a\times b+b\times a+b\times b=a^{2}+2ab+b^{2}$

Première identité remarquable

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

La deuxième identité remarquable[modifier | modifier le wikicode]

Soient a et b deux nombres quelconques, calculons $(a-b)^{2}$ .

$(a-b)^{2}=(a-b)\times (a-b)=a\times a-a\times b-b\times a+b\times b=a^{2}-2ab+b^{2}$

Deuxième identité remarquable

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

La troisième identité remarquable[modifier | modifier le wikicode]

Soient a et b deux nombres quelconques, calculons $(a-b)(a+b)$ .

$(a-b)(a+b)=a\times a+a\times b-b\times a-b\times b=a^{2}-b^{2}$

Troisième identité remarquable

$(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$

Factorisation[modifier | modifier le wikicode]

Quand on transforme une somme de termes en un produit de facteurs, on dit que l’on factorise. La factorisation est donc la transformation inverse du développement. On peut utiliser les identités remarquables pour factoriser les expressions.

Factoriser avec la première identité remarquable[modifier | modifier le wikicode]

Exemple : Soit à factoriser l’expression $x^{2}+4x+4$ .

L’expression comporte trois termes avec uniquement des additions, on utilise donc la première identité remarquable.

$a^{2}=x^{2}$ donc $a=x$

$b^{2}=4$ donc $b=2$

Finalement,

$x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}$

Factoriser avec la deuxième identité remarquable[modifier | modifier le wikicode]

Exemple : Soit à factoriser l’expression $x^{2}-14x+49$

L’expression comporte trois termes avec une soustraction, on utilise donc la deuxième identité remarquable.

$a^{2}=x^{2}$ donc $a=x$

$b^{2}=49$ donc $b=7$

Finalement,

$x^{2}-14x+49=(x-7)^{2}$

Factoriser avec la troisième identité remarquable[modifier | modifier le wikicode]

Exemple : Soit à factoriser l’expression $x^{2}-16$

L’expression comporte deux termes et c’est une différence, on utilise donc la troisième identité remarquable.

$a^{2}=x^{2}$ donc $a=x$

$b^{2}=16$ donc $b=4$

Finalement ,

$x^{2}-16=(x+4)\times (x-4)$

Factoriser en trouvant un facteur commun[modifier | modifier le wikicode]

Parfois, l’expression à factoriser n’est pas une identité remarquable. Il ne reste plus qu’à revenir à la distributivité simple, en espérant trouver un facteur commun.

Exemple : Soit à factoriser l’expression $5(x+3)+(x+4)(x+3)$