Leçons de niveau 10

Identités remarquables/Factorisation

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Factorisation
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Chapitre no 2
Leçon : Identités remarquables
Chap. préc. : Définition
Chap. suiv. : Quotient

Exercices :

Factorisation
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Nous avons déjà, dans la leçon Calcul littéral commencé à étudier la factorisation. Nous allons, dans ce chapitre, continuer cette étude en envisageant des méthodes plus élaborées.

Définition[modifier | modifier le wikicode]

En mathématiques, factoriser signifie décomposer un polynôme en produit de facteurs.

En général, il y a quatre méthodes pour factoriser un polynôme :

  • La mise en évidence
  • La mise en évidence successive
  • Les identités remarquables
  • Le trinôme du 2e degré

Manières de factoriser[modifier | modifier le wikicode]

La mise en évidence[modifier | modifier le wikicode]

Prenons un exemple :

Nous pouvons constater qu’il y a un facteur commun, qui est "a". Nous allons donc le mettre en évidence, pour faire en sorte qu’il distribue les autres facteurs. ce qui nous donne :

La mise en évidence successive[modifier | modifier le wikicode]

Prenons un exemple :

Nous voyons alors deux fois deux facteurs communs (il y en a quatre fois deux en réalité mais c’est pour l'exemple) qui sont "m" et "n". Nous allons les mettre en évidence pour qu’il distribue chacun des autres facteurs, mais successivement :

Nous pouvons alors encore factoriser de la manière suivante, vu que nos termes "m" et "n" distribuent les mêmes binômes "(a+b)", ce qui donne au final :

Les identités remarquables[modifier | modifier le wikicode]

Le carré d'une somme (1e)[modifier | modifier le wikicode]

Maintenant nous pouvons commencer et ceci par un exemple d'un carré d'une somme :

Nous voyons directement qu’il s'agit de la première identité remarquable, qu'est le carré d'une somme. Nous voyons deux carrés parfaits plus les deux produits de leur racine. Ce qui donne :

Le carré d'une différence (2e)[modifier | modifier le wikicode]

Un autre exemple avec le carré d'une différence :

Il s'agit du carré d'une différence par ses deux carrés parfaits moins son double produit des deux termes. Ce sera donc :

ou

Le carré d'une somme par une différence (3e)[modifier | modifier le wikicode]

Et un dernière exemple par un carré d'une somme pas une différence :

Nous voyons le premier termes au carré moins le deuxième termes au carré, donc la troisième identité remarquable. En factorisant nous trouvons :

Le trinôme du 2e degré[modifier | modifier le wikicode]

Prenons le calcul suivant :

Panneau d’avertissement À ne pas confondre avec une identité remarquable ! Cela prête à confusion.

Passons directement à la réponse avec quelques explications :

Il n'y a pas de méthode exacte si ce n'est que le fait que le premier terme est un carré parfait, que le second est une addition du terme "b" et "c" multiplié par "a" et que le dernier est la multiplication du terme "b" et "c". Si nous voulons définir une règle, nous pouvons la faire de la manière suivante :

Ou, pour plus simplifier encore :

.