Leçons de niveau 10

Identités remarquables/Factorisation

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Factorisation
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Chapitre no 2
Leçon : Identités remarquables
Chap. préc. :Définition
Chap. suiv. :Quotient

Exercices :

Factorisation
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Identités remarquables/Factorisation
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Nous avons déjà, dans la leçon Calcul littéral, commencé à étudier la factorisation. Nous allons, dans ce chapitre, continuer cette étude en envisageant des méthodes plus élaborées.

Définition[modifier | modifier le wikicode]

En mathématiques, factoriser signifie décomposer un polynôme en un produit de facteurs.

En général, il y a quatre méthodes pour factoriser un polynôme :

  • La mise en évidence
  • La mise en évidence successive
  • Les identités remarquables
  • Le trinôme du 2e degré

Méthodes de factorisation[modifier | modifier le wikicode]

La mise en évidence[modifier | modifier le wikicode]

Prenons un exemple :

Nous pouvons constater qu’il y a un facteur commun, qui est "a". Nous allons donc le mettre en évidence, pour faire en sorte qu’il distribue les autres facteurs. La factorisation est la suivante :

La mise en évidence successive[modifier | modifier le wikicode]

Prenons un exemple :

Nous voyons deux fois deux facteurs communs (il y en a quatre fois deux en réalité mais c’est pour l'exemple) qui sont "m" et "n". Nous allons les mettre en évidence pour qu’ils distribuent chaque autre facteur, mais successivement :

Nous pouvons encore factoriser de la manière suivante, vu que nos termes "m" et "n" distribuent les mêmes binômes "(a+b)", ce qui donne au final :

Les identités remarquables[modifier | modifier le wikicode]

Le carré d'une somme (1e)[modifier | modifier le wikicode]

Nous pouvons commencer par un exemple du carré d'une somme :

Nous voyons directement qu’il s'agit de la première identité remarquable, (le carré d'une somme). Nous voyons deux carrés parfaits plus les deux produits de leur racine. Ce qui donne :

Le carré d'une différence (2e)[modifier | modifier le wikicode]

Un autre exemple avec le carré d'une différence :

Il s'agit du carré d'une différence par ses deux carrés parfaits moins le double produit de ses deux termes. La factorisation sera donc :

ou

Le carré d'une somme par une différence (3e)[modifier | modifier le wikicode]

Un dernier exemple avec le carré d'une somme pas une différence :

Nous voyons le premier terme au carré moins le deuxième termes au carré, donc c'est la troisième identité remarquable à utiliser. En factorisant, nous trouvons :

Le trinôme du 2e degré[modifier | modifier le wikicode]

Prenons l'expression suivante :

Panneau d’avertissement À ne pas confondre avec une identité remarquable ! Cela prête à confusion.

Passons directement à la réponse avec quelques explications :

Il n'y a pas de méthode exacte si ce n'est que le premier terme est un carré parfait, que le second est une addition du terme "b + c" multiplié par "a" et que le dernier est la multiplication des terme "b" et "c". Si nous voulons définir une règle, nous pouvons la faire de la manière suivante :

Ou, pour plus simplifier encore :

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