Identités remarquables/Définition

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Identités remarquables

À quoi sert une identité remarquable ?

Les identités remarquables sont des raccourcis pour développer ou factoriser des expressions algébriques ou calculs littéraux. En troisième, on en voit seulement trois différentes, mais il en existe d’autres.

La première identité remarquable

Soient a et b deux nombres quelconques, calculons $(a+b)^{2}$.

$(a+b)^{2}=(a+b)\times (a+b)=a\times a+a\times b+b\times a+b\times b=a^{2}+2ab+b^{2}$

Première identité remarquable

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

La deuxième identité remarquable

Soient a et b deux nombres quelconques, calculons $(a-b)^{2}$.

$(a-b)^{2}=(a-b)\times (a-b)=a\times a-a\times b-b\times a+b\times b=a^{2}-2ab+b^{2}$

Deuxième identité remarquable

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

La troisième identité remarquable

Soient a et b deux nombres quelconques, calculons $(a-b)(a+b)$.

$(a-b)(a+b)=a\times a+a\times b-b\times a-b\times b=a^{2}-b^{2}$

Troisième identité remarquable

$(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$

Factorisation

Quand on transforme une somme de termes en un produit de facteurs, on dit que l’on factorise. La factorisation est donc la transformation inverse du développement. On peut utiliser les identités remarquables pour factoriser les expressions.

Factoriser avec la première identité remarquable

Exemple : Soit à factoriser l’expression $x^{2}+4x+4$.

L’expression comporte trois termes avec uniquement des additions, on utilise donc la première identité remarquable.

$a^{2}=x^{2}$ donc $a=x$

$b^{2}=4$ donc $b=2$

Finalement,

$x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}$

Factoriser avec la deuxième identité remarquable

Exemple : Soit à factoriser l’expression $x^{2}-14x+49$

L’expression comporte trois termes avec une soustraction, on utilise donc la deuxième identité remarquable.

$a^{2}=x^{2}$ donc $a=x$

$b^{2}=49$ donc $b=7$

Finalement,

$x^{2}-14x+49=(x-7)^{2}$

Factoriser avec la troisième identité remarquable

Exemple : Soit à factoriser l’expression $x^{2}-16$

L’expression comporte deux termes et c’est une différence, on utilise donc la troisième identité remarquable.

$a^{2}=x^{2}$ donc $a=x$

$b^{2}=16$ donc $b=4$

Finalement ,

$x^{2}-16=(x+4)\times (x-4)$

Factoriser en trouvant un facteur commun

Parfois, l’expression à factoriser n’est pas une identité remarquable. Il ne reste plus qu’à revenir à la distributivité simple, en espérant trouver un facteur commun.

Exemple : Soit à factoriser l’expression $5(x+3)+(x+4)(x+3)$

Le facteur commun est $(x+3)$.

Finalement,

$5(x+3)+(x+4)(x+3)=(5+(x+4))\times (x+3)=(x+9)\times (x+3)$