Leçons de niveau 18

Géométrie différentielle/Espace tangent

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Espace tangent
Icône de la faculté
Chapitre no 2
Leçon : Géométrie différentielle
Chap. préc. :Définitions élémentaires
Chap. suiv. :Fibré et Fibré tangent
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Géométrie différentielle : Espace tangent
Géométrie différentielle/Espace tangent
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

La définition d'une variété a été donnée dans le chapitre précédent, mais elle ne répond pas à notre principale question : comment dériver des fonctions ? Pour cela, il faut introduire un nouvel espace : l'espace tangent.

Soient et deux variétés , et soit . Comment parler de la différentielle de  ? Pour cela, il faut se placer dans des cartes.


Soit . Soit une carte de et une carte de tel que et . Il est alors naturel de considérer l’application , qui va d'un espace vectoriel dans un autre. On peut alors étudier la différentiabilité de cette fonction.


La question est : que se passe-t-il quand on change de carte ? L'espace tangent est là pour répondre à cette question.

Espace tangent[modifier | modifier le wikicode]






Différentielle[modifier | modifier le wikicode]

Reprenons notre fonction définie dans l'introduction. Grâce à l'espace tangent, nous allons pouvoir écrire sa différentielle.