Géométrie différentielle/Espace tangent

**Espace tangent**
Leçon : Géométrie différentielle

Chapitre n^o 2
Chap. préc. :	Définitions élémentaires
Chap. suiv. :	Fibré et Fibré tangent

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Géométrie différentielle/Espace tangent », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Introduction

La définition d'une variété $C^{k}$ a été donnée dans le chapitre précédent, mais elle ne répond pas à notre principale question : comment dériver des fonctions ? Pour cela, il faut introduire un nouvel espace : l'espace tangent.

Soient $M$ et $N$ deux variétés $C^{k}$ , et soit $f:M\longrightarrow N$ . Comment parler de la différentielle de $f$ ? Pour cela, il faut se placer dans des cartes.

Soit $x\in M$ . Soit $(U,\phi _{U})$ une carte de $M$ et $(V,\phi _{V})$ une carte de $N$ tel que $x\in U$ et $f(x)\in V$ . Il est alors naturel de considérer l’application $\varphi _{V}\circ f\circ \varphi _{U}^{-1}$ , qui va d'un espace vectoriel dans un autre. On peut alors étudier la différentiabilité de cette fonction.

La question est : que se passe-t-il quand on change de carte ? L'espace tangent est là pour répondre à cette question.

Espace tangent

Notation

Soit $(U,\phi _{U})$ une carte. On note $E_{U}$ l'espace vectoriel d'arrivée dans lequel $U$ est inclus.

Relation d'équivalence

Soient $(U,\varphi _{U})$ et $(V,\varphi _{V})$ deux cartes de M. Soient $u\in E_{U}$ et $v\in E_{V}$ . Soit $x\in U,y\in V$ .

Alors $(u,\varphi _{U},x){\sim }(v,\varphi _{V},y)$ si $x=y$ , et $v=d(\varphi _{V}\circ \varphi _{U}^{-1})(\varphi _{U}(x))(u)$ .

Proposition :

La relation définie ci-dessus est bien une relation d'équivalence.

Définition : Espace tangent

On appelle espace tangent à $M$ l’ensemble des classes d'équivalences pour la relation précédemment définie.
On le note $TM$ .

Définition : Espace tangent en x

Soit $x\in M$ . On appelle espace tangent en $x$ l’ensemble des classes d'équivalences dont le troisième membre est égal à $x$ .
On le note $T_{x}M$ .

Différentielle

Reprenons notre fonction $f$ définie dans l'introduction. Grâce à l'espace tangent, nous allons pouvoir écrire sa différentielle.

Définition : différentielle d'une fonction

On définit $df:TM\longrightarrow TN$ de la manière suivante :
Soit $x\in M$ , $(U,\varphi _{U})$ une carte de $M$ telle que $x\in U$ et $(V,\varphi _{V})$ une carte de $N$ telle que $f(x)\in V$ . On définit alors $df({\overline {(u,\varphi _{U},x)}})={\overline {(d(\varphi _{V}\circ f\circ \varphi _{U}^{-1})(\varphi _{U}(x))(u),\varphi _{V},f(x))}}$ .
Il est fondamental de noter que cette définition de dépend pas des cartes (preuve à écrire).