Géométrie différentielle/Définitions élémentaires

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Géométrie différentielle

En mathématiques, la géométrie différentielle est l’application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles, ensembles ayant une régularité suffisante pour envisager la notion de dérivation, et les fonctions définies sur ces variétés.

La géométrie différentielle trouve sa principale application physique dans la théorie de la relativité où elle permet une modélisation d'une courbure de l'espace-temps. On peut également citer d'autres applications en physique classique. En mécanique des milieux continus par exemple, elle est utile à la description des déformations des corps élastiques, en particulier des poutres ou des coques.

Point de vue intrinsèque et extrinsèque

Jusqu'au milieu du XIX^e siècle, la géométrie différentielle avait essentiellement un point de vue extrinsèque au sujet des variétés rencontrées, ce qui signifie que celles-ci étaient définies comme un sous-ensemble d'un espace vectoriel (le plus souvent $\mathbb {R} ^{n}\,\!$). Par exemple, on étudiait les propriétés d'une courbe dans le plan, ou d'une surface dans l'espace de dimension trois (géométrie différentielle classique).

Les travaux de Bernhard Riemann ont introduit une vision intrinsèque des variétés, sans cesse développées depuis ; elles sont alors considérées comme un objet « brut », et non pas comme partie d'un autre. Il n'y a plus de sens à vouloir « sortir » de la variété puisqu'elle existe indépendamment de toute notion d'espace ambiant, et pourtant on pourra donner un sens aux notions de tangence, de courbure, etc.

Le point de vue intrinsèque a l'avantage d’être bien plus flexible que le point de vue extrinsèque, ne serait-ce que parce qu’il ne force pas à trouver un espace pouvant « contenir » la variété considérée, ce qui peut parfois se révéler difficile. Par exemple la bouteille de Klein est une surface (c'est-à-dire une variété de dimension 2) mais pour la plonger dans un espace ambiant il faut choisir $\mathbb {R} ^{4}\,\!$. De même, il n’est pas évident de trouver un espace « contenant » l'espace-temps courbé. Cependant, la flexibilité gagnée se traduit en une abstraction et une difficulté accrues pour définir les notions géométriques comme la courbure ou topologiques comme la connexité.

Explication mathématique

La géométrie différentielle couvre l'analyse et l'étude de divers concepts :

• l'étude des variétés
• les fibrés tangents et cotangents
• les formes différentielles
• les dérivées extérieures
• les intégrales des p-formes sur des p-variétés
• le théorème de Stokes
• les dérivées de Lie
• la courbure

Tous sont en rapport avec l'analyse à plusieurs variables, mais pour les applications géométriques, il est nécessaire de raisonner sans privilégier un système de coordonnées. Ces concepts distincts de la géométrie différentielle peuvent être considérés comme ceux qui englobent la nature géométrique de la dérivée seconde, c'est-à-dire les caractéristiques de la courbure.

Une variété différentielle dans un espace topologique est une collection d'homéomorphismes d'ensembles ouverts vers une sphère unitaire $\mathbb {R} ^{n}$ tels que les ensembles ouverts couvrent l'espace et que si $f$, $g$ sont des homéomorphismes alors la fonction $f^{-1}\circ g$ d'un sous-ensemble ouvert de la sphère unitaire vers la sphère ouverte unitaire est infiniment différentiable. On dit que la fonction d'une variété vers $\mathbb {R} '$ est infiniment différentiable si la composition de chaque homéomorphisme résulte en une fonction infiniment différentiable à partir de la sphère ouverte unitaire à $\mathbb {R}$.

En chaque point de la variété se trouve un espace tangent à ce point constitué de toutes les vitesses (direction et intensité) possibles et avec lesquelles il est possible de s'écarter de ce point. Pour une variété à n dimensions, l'espace tangent en tout point est un espace vectoriel à $n$ dimensions ou, en d'autres termes, une copie de $\mathbb {R} ^{n}$. L'espace tangent a plusieurs définitions. Une définition possible est l'espace vectoriel des chemins qui passent en ce point, quotienté par la relation d'équivalence qui identifie deux chemins ayant le même « vecteur vitesse » en ce point (c'est-à-dire la même dérivée si on les compose avec une carte quelconque).

Un champ de vecteurs est une fonction d'une variété vers l'union disjointe de ses espaces tangents (l'union en elle-même est une variété connu comme le fibré tangent) de telle manière que, en chaque point, la valeur obtenue est un élément de l'espace tangent en ce point. Une telle relation est appelée section d'un fibré. Un champ vectoriel est différentiable si pour chaque fonction différentiable, l’application du champ en chaque point produit une fonction différentiable. Les champs vectoriels peuvent être perçus comme des équations différentielles indépendantes du temps. Une fonction différentiable des réels vers la variété est une courbe sur la variété. Cela définit une fonction des réels vers les espaces tangents : la vitesse de la courbe sur chacun des points qui la constitue. Une courbe est une solution du champ vectoriel si, pour chaque point, la vitesse de la courbe est égale au champ vectoriel en ce point.

Une k-forme linéaire alternée est un élément de la k^ème puissance d'un tenseur antisymétrique du dual E* d'un espace vectoriel E. Une k-forme différentielle d'une variété est un choix, en chaque point de la variété, d'une telle k-forme alternée où E est l'espace tangent en ce point. Elle sera différentiable si le résultat, après une opération sur des k-champs vectorielles différentiables, est une fonction différentiable de la variété vers les réels.

Branches de la géométrie différentielle

Géométrie riemannienne

La géométrie riemannienne est l'étude des métriques riemaniennes : une telle métrique est une famille de produits euclidiens sur une variété différentielle. Cette structure supplémentaire fait apparaître la variété comme un espace euclidien selon un point de vue infinitésimal. Elle permet de généraliser les notions de longueur de la courbe et de mesure de Lebesgue, l'analyse du gradient d'une fonction, de la divergence, etc. Son fort développement durant la seconde moitié du XX^e siècle s'explique par l’intérêt que lui ont porté aussi bien les géomètres que les analystes ou les physiciens. De plus, les métriques riemanniennes peuvent être arbitrairement introduites pour mener à bien les calculs sur les variétés.

Géométrie de Finsler

La géométrie de Finsler est une extension de la géométrie riemannienne, qui prend tout son sens en dimension infinie (par exemple pour l'étude des groupes de difféomorphismes sur une variété). Le principal objet d'étude est la variété de Finsler, id est une variété différentielle munie d'une métrique de Finsler, une norme de Banach définie sur chaque espace tangent.

Géométrie symplectique

La géométrie symplectique est l'étude des formes symplectiques, i.e. des « formes différentielles fermées non dégénérées ». Ces objets ont été introduits dans l'optique d'une formulation mathématique de la mécanique classique. Si les motivations physiques remontent à Lagrange et Hamilton, la géométrie symplectique s'est formée comme domaine d'études à part entière depuis les années 1960 et est aujourd’hui devenu un domaine actif de recherche. Contrairement à la géométrie riemannienne, des questions d'existence des structures se posent. Les principaux moteurs de recherche sont la conjecture d'Arnold, la conjecture de Weinstein et la quantification.

Géométrie de contact

La géométrie de contact est la sœur de la géométrie symplectique en dimension impaire. Il s'agit essentiellement de l'étude des formes de contact, c'est-à-dire des 1-formes différentielles α telles que $\alpha \wedge (d\alpha )^{n}$ soit une forme volume (ne s'annule en aucun point). Même si a priori l’objet d'étude semble différent, « sœur » est une dénomination doublement justifiée. D'une part car les géométries symplectique et de contact présentent des résultats "élémentaires" analogues. D'autre part, car des hypersurfaces présentant des structures de contact sont omniprésentes en géométrie symplectique.

Atlas, cartes locales

Soit $M$ un espace topologique. L'idée générale de la géométrie différentielle est de dire que localement, $M$ "ressemble" à $\mathbb {R} ^{n}$.

Définition : Variétés topologiques

Soit $M$ un espace topologique. On dit que $M$ est une variété topologique de dimension $n$, notée $\dim M$ si :

1. $M$ est séparé.
2. La topologie de $M$ admet une base dénombrable.
3. Pour tout point $p\in M$, il existe un ouvert $U$ tel que $p\in U$ et $U$ est homéomorphe à un ouvert de $\mathbb {R} ^{n}$ (muni de sa topologie usuelle). On dit que $M$ est localement Euclidien.

Il est important de noter que la dimension de $M$ est fixée pour tous les points $p\in M$. On ne s'autorise donc pas à considérer l'union d'une courbe et d'un plan comme une variété topologique par exemple. Il n'est pas obligatoire d'imposer les conditions 1 et 2 dans la définition. Cependant, elles permettent d'éviter les cas pathologiques et d'avoir de bonnes propriétés topologiques dans nos variétés. Par exemple, l'axiome de séparation permet de s'assurer de l'unicité de la limite d'une suite.

Définition : Cartes locales

Soit $U$ un ouvert de $M$. On appelle carte de $U$ sur $E$ où $E$ est un espace vectoriel toute application $\varphi :U\longrightarrow E$ telle que $\varphi :U\longrightarrow \varphi (U)$ soit un homéomorphisme. La carte étant associée à l'ouvert $U$, on note souvent $(U,\varphi )$. Si $\varphi (p)=0$ alors on dit que la carte est centrée en $p$.

Nous avons donc une carte sur un ouvert de $M$. Que se passe-t-il si on veut étudier ce qui ce passe en dehors de $U$ ? Il nous faut alors introduire une nouvelle carte. Cela amène donc une question : que se passe-t-il quand deux cartes cartographient une même zone ? Comment passer d'une carte à l'autre ?

Définition : Compatibilité de deux cartes

On dit que $(U,\varphi _{U})$ et $(V,\varphi _{V})$ sont $C^{k}$ compatibles si l’application $\varphi _{U}\circ \varphi _{V}^{-1}:\varphi _{V}(U\cap V)\to \varphi _{U}(U\cap V)$ est $C^{k}$.

Cette définition permet donc de passer d'une carte à une autre. On peut maintenant agréger plusieurs cartes pour essayer d’avoir une carte en tout point de $M$.

Définition : Atlas

Un atlas $C^{k}$ (resp. $C^{\infty }$) est un ensemble de cartes $C^{k}$ (resp. $C^{\infty }$) compatibles qui recouvrent $M$, i.e. la réunion des ouverts $U$ associées aux cartes est $M$. On parle aussi d'atlas lisse dans le cas d'un atlas $C^{\infty }$.

Définition : Variété

On dit que $M$ est une variété $C^{k}$ s'il existe un atlas $C^{k}$. On dit que $M$ est une variété lisse ou $C^{\infty }$ s'il existe un atlas $C^{\infty }$.

Dans toute la suite, sauf mention contraire, les variétés seront lisses.