Géométrie différentielle/Fibré et Fibré tangent

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Fibré vectoriel

Soient $E$ et $M$ deux variétés telles qu’il existe $\pi :E\longrightarrow M$ continue et surjective.

Définition : Trivialisation locale

Soit $U$ ouvert de $M$ et $V_{\phi _{U}}$ un espace vectoriel. Si $\phi _{U}:\pi ^{-1}(U)\longrightarrow U\times V_{\phi _{U}}$ est $C^{\infty }$ et vérifie $\forall x\in U$, $\forall y\in \pi ^{-1}(x)$ on a $\phi _{U}(y)=(x,*)$, alors $\phi _{U}$ est appelé trivialisation locale.

Définition : Compatibilité

On dit que deux trivialisations locales $\phi _{U}$ et $\phi _{U'}$ sont compatibles si $\phi _{U}\circ \phi _{U'}^{-1}:(U\cap U')\times V_{\phi _{U'}}\longrightarrow (U\cap U')\times V_{\phi _{U}}$ est telle que $\forall x\in U\cap U',\phi _{U}\circ \phi _{U'}^{-1}(x):V_{\phi _{U'}}\longrightarrow \{x\}\times V_{\phi _{U}}$ soit une application linéaire.

Définition : Fibré vectoriel

$E$ est un fibré vectoriel de base $M$ si $E$ peut être recouvert par des trivialisations locales compatibles.

Définition : Fibre

Soit $x\in M$. $\pi ^{-1}(\{x\})$ est appelé une fibre. La fibre est souvent notée $E_{x}$.

Propriété :

Une fibre possède une structure d'espace vectoriel. PREUVE À FAIRE.

Définition : Section d'un fibré

Une section $s$ d'un fibré est une application $C^{\infty }$ de $M\longrightarrow E$ telle que $\forall x\in M,s(x)\in E_{x}$.

Notation : Ensemble des sections

On note l’ensemble des sections d'un fibré $\Gamma E$.

Fibré tangent

Définition : Cartes de l'espace tangent

Début d’un théorème

Théorème : Fibré tangent

L'espace tangent $TM$ est en fait un fibré vectoriel de base $M$ où les trivialisations locales sont les cartes définies ci-dessus. On appelle donc souvent l'espace tangent le fibré tangent.

Fin du théorème