Généralités sur les fonctions/Exercices/Ensemble de définition

Exercice 1-1

a) Pourquoi l’expression $\frac{1}{x-1}$ n'est-elle pas définie pour $x=1$ ?

Solution

Pour $x=1$, l’expression $x-1$ s'annule.

Or on ne peut pas diviser par $0$.

Donc $1$ est une valeur interdite pour l’expression $\frac{1}{x-1}$.

 

b) Pourquoi l’expression $\frac{1}{x-2}$ n'est-elle pas définie pour $x=2$ ?

Solution

Pour $x=2$, l’expression $x-2$ s'annule.

Or on ne peut pas diviser par $0$.

Donc $2$ est une valeur interdite pour l’expression $\frac{1}{x-2}$.

 

c) Pourquoi l’expression $\frac{1}{x+1}$ n'est-elle pas définie pour $x=-1$ ?

Solution

Pour $x=-1$, l’expression $x+1$ s'annule.

Or on ne peut pas diviser par $0$.

Donc $-1$ est une valeur interdite pour l’expression $\frac{1}{x+1}$.

 

d) Pourquoi l’expression $\frac{1}{x+2}$ n'est-elle pas définie pour $x=-2$ ?

Solution

Pour $x=-2$, l’expression $x+2$ s'annule.

Or on ne peut pas diviser par $0$.

Donc $-2$ est une valeur interdite pour l’expression $\frac{1}{x+2}$

 

e) Pourquoi l’expression $\frac{1}{x^2-1}$ n'est-elle pas définie pour $x=1$ ?

Solution

Pour $x=1$, l’expression $x^2-1$ s'annule.

Or on ne peut pas diviser par $0$.

Donc $1$ est une valeur interdite pour l’expression $\frac{1}{x^2-1}$.

 

En factorisant $x^2-1$, trouver une autre valeur interdite.

Solution

$x^2-1=(x-1)(x+1)$ donc $x^2-1$ s'annule aussi pour $x=-1$.

Donc $-1$ est aussi une valeur interdite.

 

f) Pourquoi l’expression $\frac{1}{x^2-4}$ n'est-elle pas définie pour $x=2$ ?

Solution

Pour $x=2$, l’expression $x^2-4$ s'annule.

Or on ne peut pas diviser par $0$

donc $2$ est une valeur interdite pour l’expression $\frac{1}{x^2-4}$.

 

En factorisant $x^2-4$, trouver une autre valeur interdite.

Solution

$x^2-4=(x-2)(x+2)$ donc $x^2-4$ s'annule aussi pour $x=-2$.

Donc $-2$ est aussi une valeur interdite.

 

Exercice 1-2

Pour chacune des expressions suivantes, donner les nombres réels pour lesquelles l'expression n'est pas définie.

a) $\frac{2}{x-1}$

Solution

Le dénominateur $x-1$ s'annule si et seulement si $x=1$ donc l’expression $\frac{2}{x-1}$ n’est pas définie si et seulement si $x=1$.

 

b) $1-\frac{2x}{x+2}$

Solution

Le dénominateur $x+2$ s'annule si et seulement si $x=-2$ donc l’expression $1-\frac{2x}{x+2}$ n’est pas définie si et seulement si $x=-2$.

 

c) $\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x^2+1}$

Solution

$x^2+1$ ne s'annule jamais et $x-2$ s'annule si et seulement si $x=2$ donc l’expression $\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x^2+1}$ n’est pas définie si et seulement si $x=2$.

 

d) $\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x^2-1}$

Solution

Cette expression n'est pas définie si et seulement si $x=2$ ou $x^2=1$.

Or $x^2=1\iff (x+1)(x-1)=0\iff x=-1$ ou $x=1$.

Donc l'expression n'est pas définie si et seulement si $x$ est égal à $2$, $-1$ ou $1$.

 

Exercice 1-3

Chacune des expressions ci-dessous définit une fonction $f$. Exprimer l'ensemble de définition $D_f$ (le plus grand possible) sous forme d'intervalle ou d'union d'intervalles.

a) $f(x)=\frac{2}{x-1}$

Solution

$D_f=ℝ\setminus \{1\}=]-\mathrm{\infty },1[\cup ]1,+\mathrm{\infty }[$.

 

b) $f(x)=1-\frac{2x}{x+2}$

Solution

$D_f=ℝ\setminus \{-2\}=]-\mathrm{\infty },-2[\cup ]-2,+\mathrm{\infty }[$.

 

c) $f(x)=\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x^2+1}$

Solution

$D_f=ℝ\setminus \{2\}=]-\mathrm{\infty },2[\cup ]2,+\mathrm{\infty }[$.

 

d) $f(x)=\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x^2-1}$

Solution

$D_f=ℝ\setminus \{-1,1,2\}=]-\mathrm{\infty },-1[\cup ]-1,1[\cup ]2,+\mathrm{\infty }[$.