Fractions rationnelles/Exercices/Décomposition en éléments simples dans C

Exercice 2-1

1. Diviser $2-X+3X^4-X^5$ par $1-X+X^3$ suivant les puissances croissantes à l'ordre 7.
2. De même, si $a\in ℝ$ est fixé, diviser $1-X\cos a$ par $1-2X\cos a+X^2$ à tout ordre. On pourra considérer la fraction rationnelle $\frac{1-X{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}a}}{(1-X{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}a})(1-X{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}a})}$.
3. Effectuer à tout ordre la division de $1-ab{X}^2$ par $(1-aX)(1-bX)$ suivant les puissances croissantes.

Solution

1. $2-X+3X^4-X^5=(1-X+X^3)(2+X+X^2-X^3+X^4-X^5)-X^7+X^8$.
2. $\frac{1-X{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}a}}{(1-X{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}a})(1-X{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}a})}=\frac{1}{1-X{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}a}}=1+X{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}a}+X^2{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i}a}+\dots +X^{n-1}{\mathrm{e}}^{-(n-1)\mathrm{i}a}+\frac{(X{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}a}{)}^n}{1-X{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}a}}$
   donc
   $1-X{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}a}=(1+X{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}a}+X^2{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i}a}+\dots +X^{n-1}{\mathrm{e}}^{-(n-1)\mathrm{i}a})(1-2X\cos a+X^2)+X^n{\mathrm{e}}^{-n\mathrm{i}a}$
   donc
   $1-X\cos a=(1+X\cos a+X^2\cos (2a)+\dots +X^{n-1}\cos ((n-1)a))(1-2X\cos a+X^2)+X^n\cos (na)$.
3. $\frac{1-UV}{(1-U)(1-V)}=-1+\frac{1}{1-U}+\frac{1}{1-V}=-1+1+U+U^2+\dots +U^{n-1}+\frac{U^n}{1-U}+1+V+V^2+\dots +V^{n-1}+\frac{V^n}{1-V}$ donc (en remplaçant $U$ par $aX$ et $V$ par $bX$)
   $1-ab{X}^2=(1-aX)(1-bX)(1+(a+b)X+(a^2+b^2)X^2+\dots +(a^{n-1}+b^{n-1})X^{n-1})+X^n((1-bX)a^n+(1-aX)b^n)$.

 

Exercice 2-2

1. Décomposer en éléments simples dans $ℂ(X)$ la fraction rationnelle $\frac{1}{(X^2+1)(X^3-X)}$.
2. En déduire la décomposition dans $ℝ(X)$.

Solution

1. Par imparité, $\frac{1}{(X^2+1)(X^3-X)}=\frac{a}{X-\mathrm{i}}+\frac{a}{X+\mathrm{i}}+\frac{b}{X}+\frac{c}{X-1}+\frac{c}{X+1}$. La méthode du cache donne $a=c=\frac{1}{4}$ et $b=-1$, d'où

   $\frac{1}{(X^2+1)(X^3-X)}=\frac{1/4}{X-\mathrm{i}}+\frac{1/4}{X+\mathrm{i}}-\frac{1}{X}+\frac{1/4}{X-1}+\frac{1/4}{X+1}$.

2. $\frac{1}{(X^2+1)(X^3-X)}=\frac{X/2}{X^2+1}-\frac{1}{X}+\frac{1/4}{X-1}+\frac{1/4}{X+1}$.

 

Exercice 2-3

Décomposer en éléments simples sur $ℝ$ puis $ℂ$ :

$\frac{X^4+2}{X(X^2-1{)}^2(X^2+1)}$.

Solution

$\begin{array}{cc}\frac{X^4+2}{X(X^2-1{)}^2(X^2+1)}& =\frac{2}{X}-\frac{5/8}{X-1}-\frac{5/8}{X+1}+\frac{3/8}{(X-1{)}^2}-\frac{3/8}{(X+1{)}^2}-\frac{3X/4}{X^2+1}\\ & =\frac{2}{X}-\frac{5/8}{X-1}-\frac{5/8}{X+1}+\frac{3/8}{(X-1{)}^2}-\frac{3/8}{(X+1{)}^2}-\frac{3/8}{X-\mathrm{i}}-\frac{3/8}{X+\mathrm{i}}\end{array}$.