Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Formulation relativiste de l'électromagnétisme : Équations du mouvement
Formulation relativiste de l'électromagnétisme/Équations du mouvement », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
La donnée du Lagrangien de la particule plongée dans le champ permet de déterminer son impulsion,son énergie, et l'équation de son mouvement.
Par définition,
d'où, après calcul,
![{\displaystyle \mathbf {P} ={\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+q\mathbf {A} =\mathbf {p} +q\mathbf {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcbcc33214c55f82669e34539a04c53d935c525f)
avec
l'impulsion relativiste de la particule (partie spatiale de la quadri-impulsion).
Par définition,
d'où, après calcul :
![{\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+q\phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02758d24caa85f17e2cc541249ff33f79526e4a2)
Il s'agit de l'équation de Lagrange :
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {v} }}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {r} }}=\mathbf {0} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52a8a8f23fd340b1259e40f480dcd62cf42d60f8)
On a d’une part
Et d’autre part
or
d'où
et l'équation du mouvement est donc :
![{\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=-q\mathbf {\nabla } \phi -q{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+q\mathbf {v} \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} )=q\mathbf {E} +q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47288865f163aa868ff3ecc6e8bf6bbfa79f5853)
On retrouve bien l’expression de la force de Lorentz