Leçons de niveau 17

Formulation relativiste de l'électromagnétisme/Le quadri-potentiel et le Lagrangien

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Le quadri-potentiel et le Lagrangien
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Chapitre no 1
Leçon : Formulation relativiste de l'électromagnétisme
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Le quadri-vecteur potentiel[modifier | modifier le wikicode]

Le champ dérive du potentiel selon :

On postule que ces potentiels constituent les composantes d'un quadri-vecteur

Le Lagrangien électromagnétique[modifier | modifier le wikicode]

En relativité restreinte, l'action d'une particule libre est , où est l'intervalle élémentaire.

En présence d'un champ électromagnétique, si la particule est chargée, il faut lui ajouter un terme d'interaction

Pour que les équations du mouvement soient invariantes par changement de référentiel galiléen (conformément au principe de relativité), il faut que l'action soit invariante sous une transformation de Lorentz. D'autre part, le terme d'interaction doit faire intervenir le quadri-vecteur potentiel, l'invariant relativiste le plus simple que l’on puisse trouver est donc le pseudo-produit scalaire du quadri-potentiel par la quadri-vitesse . On postule donc que l'action s'écrit . Cette action doit aussi dépendre de la charge de la particule considérée, pour des raisons de dimension on a donc :

On a donc

Et on en déduit le Lagrangien