Formulation relativiste de l'électromagnétisme/Le quadri-potentiel et le Lagrangien

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Le quadri-vecteur potentiel

Le champ $(\mathbf {E} ,\mathbf {B} )$ dérive du potentiel $(\phi ,\mathbf {A} )$ selon :

$\mathbf {E} =-\mathbf {grad} ~\phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$

$\mathbf {B} =\mathbf {rot} ~\mathbf {A}$

On postule que ces potentiels constituent les composantes d'un quadri-vecteur ${\tilde {A}}=({\frac {1}{c}}\phi ,\mathbf {A} )$

Le Lagrangien électromagnétique

En relativité restreinte, l'action d'une particule libre est $S_{l}=-mc\int _{a}^{b}ds$, où $ds=c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}dt$ est l'intervalle élémentaire.

En présence d'un champ électromagnétique, si la particule est chargée, il faut lui ajouter un terme d'interaction $S_{i}~$

Pour que les équations du mouvement soient invariantes par changement de référentiel galiléen (conformément au principe de relativité), il faut que l'action soit invariante sous une transformation de Lorentz. D'autre part, le terme d'interaction doit faire intervenir le quadri-vecteur potentiel, l'invariant relativiste le plus simple que l’on puisse trouver est donc le pseudo-produit scalaire du quadri-potentiel par la quadri-vitesse ${\tilde {A}}\cdot {\tilde {u}}$. On postule donc que l'action s'écrit $S_{i}=\alpha \int _{a}^{b}{\tilde {A}}\cdot {\tilde {u}}~ds$. Cette action doit aussi dépendre de la charge de la particule considérée, pour des raisons de dimension on a donc :

$S_{i}=-q\int _{a}^{b}{\tilde {A}}\cdot {\tilde {u}}~ds=q\int _{t_{a}}^{t_{b}}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} -\phi )~dt$

On a donc

$S=S_{l}+S_{i}=\int _{t_{a}}^{t_{b}}(-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}+q\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} -q\phi )~dt$

Et on en déduit le Lagrangien

${\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}+q\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} -q\phi$