Avec
et
On a
![{\displaystyle \delta S=\int _{a}^{b}(-mc~u_{\mu }-qA_{\mu })d(\delta x^{\mu })+\int _{a}^{b}-q\delta (A_{\mu })dx^{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d24b8638a1de1c15e8ce8386f5fe1cc7d9df9b59)
La première intégrale s'intègre par parties (comme dans la démonstration générale des équations d'Euler-Lagrange) :
et, comme
, le terme intégré est nul.
On a ainsi :
car en échangeant les indices muets,
.
On obtient la forme finale de
est factorisant
:
![{\displaystyle \delta S=\int _{a}^{b}\left[mc~a_{\mu }+q\left({\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}-{\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}\right)u^{\nu }\right]\delta x^{\mu }~ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa5b6a77e5942172a79aa16bb2051b42b93a002b)