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Exercice : Étude de fonctions 3Fonctions trigonométriques/Exercices/Étude de fonctions 3 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Étudier et tracer la fonction
f
{\displaystyle f}
définie par :
f
(
x
)
=
3
+
sin
x
4
+
sin
x
{\displaystyle f(x)={\frac {3+\sin x}{4+\sin x}}}
.
Solution
f
{\displaystyle f}
est une fonction de
sin
x
{\displaystyle \sin x}
donc il suffit de l'étudier sur
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}
.
Sur cet intervalle,
x
↦
4
+
sin
x
{\displaystyle x\mapsto 4+\sin x}
est positive et croissante donc
f
:
x
↦
1
−
1
4
+
sin
x
{\displaystyle f:x\mapsto 1-{\frac {1}{4+\sin x}}}
est croissante.
f
(
−
π
2
)
=
2
3
{\displaystyle f\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {2}{3}}}
et
f
(
π
2
)
=
4
5
{\displaystyle f\left({\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {4}{5}}}
.
Tracé Google
Étudier et tracer la fonction
f
{\displaystyle f}
définie par :
f
(
x
)
=
3
sin
x
2
sin
x
−
1
{\displaystyle f(x)={\frac {3\sin x}{2\sin x-1}}}
.
Solution
f
{\displaystyle f}
est une fonction de
sin
{\displaystyle \sin }
donc il suffit de l'étudier sur
[
−
π
2
,
π
2
]
∖
{
π
6
}
{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\setminus \left\{{\frac {\pi }{6}}\right\}}
.
Sur ce domaine,
f
′
<
0
{\displaystyle f'<0}
.
f
(
−
π
2
)
=
1
,
lim
π
6
±
=
±
∞
,
f
(
π
2
)
=
3
{\displaystyle f\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)=1,\quad \lim _{{\frac {\pi }{6}}^{\pm }}=\pm \infty ,\quad f\left({\frac {\pi }{2}}\right)=3}
.
Tracé sur Google
Étudier et tracer la fonction
f
{\displaystyle f}
définie par :
f
(
x
)
=
sin
x
+
cos
x
+
sin
x
cos
x
{\displaystyle f(x)=\sin x+\cos x+\sin x\cos x}
.
Solution
f
(
π
4
+
h
)
=
g
(
h
)
:=
cos
2
h
+
2
cos
h
−
1
2
{\displaystyle f\left({\frac {\pi }{4}}+h\right)=g(h):=\cos ^{2}h+{\sqrt {2}}\cos h-{\frac {1}{2}}}
donc il suffit d'étudier
g
{\displaystyle g}
sur
[
−
π
,
0
]
{\displaystyle [-\pi ,0]}
.
Sur cet intervalle,
g
′
(
h
)
{\displaystyle g'(h)}
est positif lorsque
h
>
−
3
π
4
{\displaystyle h>-{\frac {3\pi }{4}}}
.
x
−
3
π
4
−
π
2
π
4
1
2
+
2
f
(
x
)
1
2
−
2
↗
↘
−
1
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc|}x&-{\frac {3\pi }{4}}&&-{\frac {\pi }{2}}&&{\frac {\pi }{4}}\\\hline &&&&&{\frac {1}{2}}+{\sqrt {2}}\\f(x)&{\frac {1}{2}}-{\sqrt {2}}&&&\nearrow &\\&&\searrow &&&\\&&&-1&&\\\hline \end{array}}}
Tracé Google
Étudier et tracer la fonction
f
{\displaystyle f}
définie par :
f
(
x
)
=
(
1
+
sin
x
)
2
sin
x
(
1
−
sin
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {(1+\sin x)^{2}}{\sin x(1-\sin x)}}}
.
Solution
f
{\displaystyle f}
est une fonction de
sin
{\displaystyle \sin }
donc il suffit de l'étudier sur
[
−
π
2
,
π
2
[
∖
{
0
}
{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[\setminus \{0\}}
.
Sur ce domaine,
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
est du signe de
3
sin
x
−
1
{\displaystyle 3\sin x-1}
. Soit
θ
:=
arcsin
1
3
{\displaystyle \theta :=\arcsin {\frac {1}{3}}}
.
x
−
π
2
0
θ
π
2
‖
+
∞
+
∞
‖
‖
↘
↗
‖
f
(
x
)
‖
8
‖
0
‖
‖
↘
‖
‖
−
∞
‖
‖
{\displaystyle {\begin{array}{c|cccccccccc|}x&-{\frac {\pi }{2}}&&&0&&&\theta &&&{\frac {\pi }{2}}\\\hline &&&&\|&+\infty &&&&+\infty &\|\\&&&&\|&&\searrow &&\nearrow &&\|\\f(x)&&&&\|&&&8&&&\|\\&0&&&\|&&&&&&\|\\&&\searrow &&\|&&&&&&\|\\&&&-\infty &\|&&&&&&\|\\\hline \end{array}}}
Tracé Google