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Exercice : Étude de fonctions 2Fonctions trigonométriques/Exercices/Étude de fonctions 2 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Étudier et tracer la fonction
f
{\displaystyle f}
f
(
x
)
=
sin
2
x
+
cos
3
x
{\displaystyle f(x)=\sin ^{2}x+\cos ^{3}x}
Étudier et tracer la fonction
f
{\displaystyle f}
f
(
x
)
=
(
1
−
2
sin
x
1
+
2
sin
x
)
2
{\displaystyle f(x)=\left({\frac {1-2\sin x}{1+2\sin x}}\right)^{2}}
Solution
f
{\displaystyle f}
sin
x
{\displaystyle \sin x}
[
−
π
2
,
π
2
]
∖
{
−
π
6
}
{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\setminus \left\{-{\frac {\pi }{6}}\right\}}
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
(
sin
2
x
−
1
4
)
cos
x
{\displaystyle \left(\sin ^{2}x-{\frac {1}{4}}\right)\cos x}
x
−
π
2
−
π
6
π
6
π
2
+
∞
‖
+
∞
↗
‖
9
‖
‖
↘
1
9
‖
↗
‖
0
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccccccccc|}x&-{\frac {\pi }{2}}&&&-{\frac {\pi }{6}}&&&{\frac {\pi }{6}}&&{\frac {\pi }{2}}\\\hline &&&+\infty &\|&+\infty &&&&\\&&\nearrow &&\|&&&&&\\&9&&&\|&&&&&\\&&&&\|&&\searrow &&&{\frac {1}{9}}\\&&&&\|&&&&\nearrow &\\&&&&\|&&&0&&\\\hline \end{array}}}
Tracé Google
Étudier et tracer la fonction
f
{\displaystyle f}
f
(
x
)
=
cos
2
x
sin
x
{\displaystyle f(x)={\frac {\cos 2x}{\sin x}}}
Solution
f
:
x
↦
1
sin
x
−
2
sin
x
{\displaystyle f:x\mapsto {\frac {1}{\sin x}}-2\sin x}
sin
x
{\displaystyle \sin x}
]
0
,
π
2
]
{\displaystyle \left]0,{\frac {\pi }{2}}\right]}
Sur cet intervalle, elle est décroissante car
sin
{\displaystyle \sin }
lim
0
+
f
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{0^{+}}f=+\infty }
f
(
π
2
)
=
−
1
{\displaystyle f\left({\frac {\pi }{2}}\right)=-1}
Tracé sur Google
Étudier et tracer la fonction
f
{\displaystyle f}
f
(
x
)
=
2
cos
x
−
1
1
−
2
cos
x
{\displaystyle f(x)={\frac {{\sqrt {2}}\cos x-1}{1-2\cos x}}}
Solution
f
{\displaystyle f}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
[
0
,
π
]
∖
{
π
3
}
{\displaystyle [0,\pi ]\setminus \left\{{\frac {\pi }{3}}\right\}}
Sur ce domaine,
f
′
>
0
{\displaystyle f'>0}
x
0
π
3
π
+
∞
‖
↗
‖
f
(
x
)
1
−
2
‖
‖
−
1
+
2
3
‖
↗
‖
−
∞
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccccccc|}x&0&&&{\frac {\pi }{3}}&&&\pi \\\hline &&&+\infty &\|&&&\\&&\nearrow &&\|&&&\\f(x)&1-{\sqrt {2}}&&&\|&&&\\&&&&\|&&&-{\frac {1+{\sqrt {2}}}{3}}\\&&&&\|&&\nearrow &\\&&&&\|&-\infty &&\\\hline \end{array}}}
Tracé sur Google
![{\displaystyle [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e2a912eda6ef1afe46a81b518fe9da64a832751)
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\setminus \left\{-{\frac {\pi }{6}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/818a8a2a24b53e12c1bb17f4b2ea9cb2e9dc5113)
![{\displaystyle \left]0,{\frac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80bd1284e7528d6295a12fe1e04e25bcffb0a87d)
![{\displaystyle [0,\pi ]\setminus \left\{{\frac {\pi }{3}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29880abcf7c978c2da950d9119f02666d9654be8)
