Fonctions trigonométriques/Exercices/Étude de fonctions 1

Exercice 4-1

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)=\cos x+\sin x$

Solution

Les variations et la courbe de $f(x)=\sqrt{2}\sin (x+\pi /4)$ se déduisent immédiatement de celle de $\sin$.

 

Exercice 4-2

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)={\sin }^{2}x+\sin 2x$.

Solution

Les variations et la courbe de $f(x)=\sin 2x+\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}(\sin 2x\frac{2}{\sqrt{5}}-\cos 2x\frac{1}{\sqrt{5}})=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\sin (2x-\theta )$, où $\theta =\arccos \frac{2}{\sqrt{5}}$, se déduisent immédiatement de celle de $\sin$.

 

Exercice 4-3

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)=\frac{\tan 3x}{{\tan }^{3}x}=\frac{3-{\tan }^{2}x}{(1-3{\tan }^{2}x){\tan }^{2}x}$.

Solution

$f$ est $\pi$-périodique et paire donc il suffit de l'étudier sur $]0,\frac{\pi }{2}[\setminus \left\{\frac{\pi }{6}\right\}$.

$f(x)=g({\tan }^{2}x)$ avec $g(y):=\frac{y-3}{3y^2-y}$, $(3y^2-y{)}^2{g}^{\prime }(y)=3y^2-y-(y-3)(6y-1)=-3(y^2-6y+1)$ s'annule pour $y_{\pm }:=3\pm \sqrt{8}$ donc $f$ a un extremum local en $x_{\pm }:=\arctan \sqrt{y_{\pm }}$.

$\begin{array}{cccccccccccccc}x& 0& & & x_{-}& & & \frac{\pi }{6}& & & x_{+}& & & \frac{\pi }{2}\\ & \Vert & +\mathrm{\infty }& & & & +\mathrm{\infty }& \Vert & & & & & & \Vert \\ & \Vert & & \searrow & & \nearrow & & \Vert & & & & & & \Vert \\ & \Vert & & & g(y_{-})& & & \Vert & & & & & & \Vert \\ f(x)& \Vert & & & & & & \Vert & & & g(y_{+})& & & \Vert \\ & \Vert & & & & & & \Vert & & & & \searrow & & \Vert \\ & \Vert & & & & & & \Vert & & \nearrow & & & 0^{+}& \Vert \\ & \Vert & & & & & & \Vert & -\mathrm{\infty }& & & & & \Vert \end{array}$

Tracé sur Google

 

Exercice 4-4

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)=\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}$.

Solution

$f(x+\pi )=-f(x)$ et $f(\pi /2-x)=f(x)$ donc il suffit d'étudier $f$ sur $[-\pi /4,\pi /4]\setminus \{0\}$.

Sur ce domaine, $f^{\prime }=\frac{{\sin }^3-{\cos }^3}{{\sin }^2{\cos }^2}<0$.

$f(-\pi /4)=0,\underset{0^{\pm }}{lim}f=\pm \mathrm{\infty },f(\pi /4)=2\sqrt{2}$.

Tracé sur Google