Exercices de niveau 14.
Étudier arcsin ( sin x ) {\displaystyle \arcsin(\sin x)} , x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } , en déduire arcsin ( sin ( 2 x ) ) {\displaystyle \arcsin(\sin(2x))} .
Soit w = arcsin ( sin x ) {\displaystyle w=\arcsin(\sin x)} : w ∈ [ − π / 2 , π / 2 ] {\displaystyle w\in [-\pi /2,\pi /2]} et sin w = sin x {\displaystyle \sin w=\sin x} donc w = x − 2 k π {\displaystyle w=x-2k\pi } ou π − x + 2 k π {\displaystyle \pi -x+2k\pi } avec k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } : w = x − 2 k π ⇔ x − 2 k π ∈ [ − π / 2 , π / 2 ] ⇔ x ∈ [ − π / 2 + 2 k π , π / 2 + 2 k π ] {\displaystyle w=x-2k\pi \Leftrightarrow x-2k\pi \in [-\pi /2,\pi /2]\Leftrightarrow x\in [-\pi /2+2k\pi ,\pi /2+2k\pi ]} , w = π − x + 2 k π ⇔ x − π − 2 k π ∈ [ − π / 2 , π / 2 ] ⇔ x ∈ [ π / 2 + 2 k π , 3 π / 2 + 2 k π ] {\displaystyle w=\pi -x+2k\pi \Leftrightarrow x-\pi -2k\pi \in [-\pi /2,\pi /2]\Leftrightarrow x\in [\pi /2+2k\pi ,3\pi /2+2k\pi ]} .
Vérification des recollements aux bornes : si x = π / 2 + 2 k π {\displaystyle x=\pi /2+2k\pi } , x − 2 k π = π / 2 = π − x + 2 k π {\displaystyle x-2k\pi =\pi /2=\pi -x+2k\pi } , et si x = 3 π / 2 + 2 k π = − π / 2 + 2 ( k + 1 ) π {\displaystyle x=3\pi /2+2k\pi =-\pi /2+2(k+1)\pi } , π − x + 2 k π = − π / 2 = x − 2 ( k + 1 ) π {\displaystyle \pi -x+2k\pi =-\pi /2=x-2(k+1)\pi } .
Conséquence pour w ′ = arcsin ( sin 2 x ) {\displaystyle w'=\arcsin(\sin 2x)} : w ′ = 2 x − 2 k π ⇔ x ∈ [ − π / 4 + k π , π / 4 + k π ] {\displaystyle w'=2x-2k\pi \Leftrightarrow x\in [-\pi /4+k\pi ,\pi /4+k\pi ]} , w ′ = π − 2 x + 2 k π ⇔ x ∈ [ π / 4 + k π , 3 π / 4 + k π ] {\displaystyle w'=\pi -2x+2k\pi \Leftrightarrow x\in [\pi /4+k\pi ,3\pi /4+k\pi ]} .
Montrer, directement puis à l'aide des dérivées :
Soient u = arcsin x {\displaystyle u=\arcsin {\sqrt {x}}} et v = arcsin ( 2 x − 1 ) {\displaystyle v=\arcsin(2x-1)} : u ∈ [ 0 , π / 2 ] {\displaystyle u\in [0,\pi /2]} et sin 2 u = x {\displaystyle \sin ^{2}u=x} , v ∈ [ − π / 2 , π / 2 ] {\displaystyle v\in [-\pi /2,\pi /2]} et sin v = 2 x − 1 {\displaystyle \sin v=2x-1} , et l'on veut montrer que v = 2 u − π 2 {\displaystyle v=2u-{\pi \over 2}} .
sin v = 2 sin 2 u − 1 = − cos ( 2 u ) = sin ( 2 u − π 2 ) {\displaystyle \sin v=2\sin ^{2}u-1=-\cos(2u)=\sin \left(2u-{\frac {\pi }{2}}\right)} , et 2 u − π 2 {\displaystyle 2u-{\frac {\pi }{2}}} appartient, comme v {\displaystyle v} , à [ − π / 2 , π / 2 ] {\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]} .
Par la seconde méthode :